Рецензии на произведение «О равномощности множеств»

На странице отображаются все рецензии к этому произведению в обратном порядке, с 7 по 1
Показывать в виде списка | Развернуть сообщения

Рецензия на «О равномощности множеств» (Андрей Рамин)

Андрей, интересная статья. Но. Установление биекции не зависит от порядка. Разные результаты получаются по причине введения дополнительных условий. Соответствие
0, 1, -1, ...
1, 2, 3, ...
биективное, но функция не является непрерывной.
Соответствие
1, 2, 3, ...
1, 2, 3, ...
представляет собой биективную непрерывную функцию.
Непрерывность отображения не является необходимым условием при определении равномощности множеств.

Ваш Зорге 15.07.2018 08:42 • Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Я о том и говорю, что наличие биекции - не является достаточным условием равномощности бесконечных множеств, необходимо введение дополнительного условия. Лишь только в частном случае: при сравнении конечных множеств - наличие биекции является достаточным условием равномощности.

Андрей Рамин 16.07.2018 01:38 Заявить о нарушении

1. Какое же, на Ваш взгляд, должно быть дополнительное к биекции условие для определения равномощности бесконечных множеств?
2. А если не принимать существование актуальной бесконечности, то биекция в принципе не может быть построена между бесконечными множествами.

Ваш Зорге 16.07.2018 15:39 Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Рецензия на «О равномощности множеств» (Андрей Рамин)

Если последовательно следовать графическому доказательству теоремы Георга Кантора о равномощности через проекции точек кривого отрезка на точки прямого отрезка, то количество точек всей Вселенной равномощно одной точке. Как это доказать. Выделим какую ту одну точку. Направим мысленно в эту точку бесконечное множество лучей из всех остальных существующих точек вселенной. Каждый луч будет проекцией одной точки их этого множества точек. То есть все точки вселенной как бы через свои проекции уместились в одной выбранной точке. Теорема доказана.

Лев Полыковский Философия 10.09.2014 09:41 • Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Лев, о равномощности двух множеств можно говорить, когда установлено взаимнооднозначное соответствие между их элементами (биекция): каждому элементу одного множества соответствует один элемент другого множества. У Вас же биекции нет: множеству точек соответствует одна точка - это сюръекция; одной точке соответствует множество точек - это вообще не функциональное соответствие.

Ваш Зорге 15.07.2018 08:08 Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Рецензия на «О равномощности множеств» (Андрей Рамин)

По самому своему определению бесконечное множество - это такое множество, которое равномощно своей части.

Вот вы сделали такие рассуждения, я цитирую:

<<<
2. Множество натуральных чисел неравномощно множеству целых чисел.
Запишем целые числа: -<><>, …, -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5,…,+<><>
Запишем натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5,…,+<><>.
Начнем пересчитывать точки одного множества в другое: Начнем с 1.
Целые числа: 1, 2, 3, 4, 5,…,+<><>
Натуральные: 1, 2, 3, 4, 5,…,+<><>
Как видно натуральные числа нумеруют только положительные целые числа, таким образом, отрицательные числа и 0 не могут быть пронумерованы. Ибо какое бы натуральное число мы ни взяли оно уже занято, т.е. оно нумерует число из ряда положительных целых чисел. Таким образом, для чисел -<><>, …, -5, -4, -3, -2, -1, 0 не существует свободных натуральных чисел, которыми можно пронумеровать этот ряд. Что и требовалось доказать.

Вывод: Мы не можем однозначно утверждать равномощны ли множества Z и N, это неопределённость.
>>>

Рассуждения верные, а вывод неверный. На самом деле вы установили, что множество целых чисел равномощно множеству положительных целых чисел, иными словами, ваши рассуждения - это просто одно из доказательств бесконечности множества целых чисел.

Вл Гв 05.11.2010 12:27 • Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Мы говорим о разных вещах. Вы рассуждаете в рамках существующей теории множеств, я выхожу за ее рамки и показываю необоснованность существующей теории множеств. Вы рассуждаете о другом, точно также как и с методом Крамера.

Андрей Рамин 06.11.2010 01:22 Заявить о нарушении

Андрей, прежде, чем выйти за рамки существующей теории, нужно в ней разобраться. А вы не сумели разобраться даже в таком простом понятии, как биективное (взаимно однозначное) отображение множеств.

Вл Гв 06.11.2010 22:01 Заявить о нарушении

Вы не смогли разобраться в том, о чём я говорил, это печально. Я говорил совсем о других вещах.

Андрей Рамин 06.11.2010 22:06 Заявить о нарушении

Таким образом, вы по прежнему утверждаете, что множество положительных целых чисел не равномощно множеству всех целых чисел ?

Вл Гв 06.11.2010 22:25 Заявить о нарушении

По-прежнему. Это зависит от аксиомы, которую мы приняли. Попробуйте отказаться от существующей и на время принять другую, это совсем не трудно.

Андрей Рамин 06.11.2010 22:29 Заявить о нарушении

Андрей, уточните пожалуйста, что это за две аксиомы. Одна, как я понял - это какая-то аксиома из классической математики, а вторая - это уже ваше изобретение, до которого, кроме вас, еще никто не додумался.

Вл Гв 06.11.2010 22:33 Заявить о нарушении

И ответьте на вопрос: сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на данной прямой в одной плоскости?

Андрей Рамин 06.11.2010 22:34 Заявить о нарушении

Видимо, вы меня решили испытать :-) В геометрии Евклида - одну, в геометрии Лобачевского - сколько угодно.

Но не нужно уводить дискуссию в сторону. Давайте вернемся к равномощности Z и N

Вл Гв 06.11.2010 22:40 Заявить о нарушении

Я хотел понять имеет ли смысл наш диалог, у меня возникли сомнения в связи с Вашими ответами на мои произведения и на рецензию Андрея Фко.

Андрей Рамин 06.11.2010 22:42 Заявить о нарушении

Принятая на сегодня аксиома: установление равномощности множеств не зависит от порядка сопоставления элементов. Моя аксиома: зависит.

Андрей Рамин 06.11.2010 22:47 Заявить о нарушении

Андрей, вы написали: "Принятая на сегодня аксиома: установление равномощности множеств не зависит от порядка сопоставления элементов."

Ну что вы выдумываете ?! Нет такой аксиомы в теории множеств. И в определении мощности множества ничего не говорится о порядке сопоставления элементов.

Это же всё крайне просто! Если множество конечное, то его мощность - это просто число элементов множества. Мощности бесконечных множеств сравниваются с помощью взаимно-однозначных соответствий. В определении взаимно-однозначного соответствия нет никакого упоминания о порядке сопоставления элементов.

Вл Гв 06.11.2010 23:06 Заявить о нарушении

Андрей, вы написали: "Я хотел понять имеет ли смысл наш диалог, у меня возникли сомнения в связи с Вашими ответами на мои произведения и на рецензию Андрея Фко."

Насколько я понял, я выдержал испытание :-) Я закончил Новосибирскую физ-мат школу, а потом закончил механико математический факультет Новосибирского университета со средним баллом 4.2 и с пятеркой за диплом. Это было в советское время, и тогда НГУ был один из лучших ВУЗов страны (тогда было четыре ВУЗа, которым было дано право самостоятельно формировать программу обучения, и НГУ был одним из этих четырех).

В ответ на мою откровенность мне было бы интересно знать, что закончили вы. Я конечно, не настаиваю. Мне просто интересно.

Вл Гв 06.11.2010 23:13 Заявить о нарушении

Именно это «в определении взаимно-однозначного соответствия нет никакого упоминания о порядке сопоставления элементов» говорит о том, что принята аксиома о независимости от порядка сопоставления. Жаль, что не понимаете таких простых вещей. По-вашему, если не написано в учебнике - значит нет.

Андрей Рамин 06.11.2010 23:16 Заявить о нарушении

Андрей, меня зацепила ваша фраза "порядок сопоставления элементов". Это что такое ? В математике есть понятие "отношения порядка". Вероятно именно его вы и имели ввиду?

Но я должен вас разочаровать: далеко не на каждом множестве можно ввести отношение порядка. На числовой прямой порядок ввести можно: например, это отношение "больше", отношение "меньше", "больше или равно". А вот на плоскости ввести отношения порядка невозможно (есть такой математический факт).

Вл Гв 06.11.2010 23:26 Заявить о нарушении

Я учился в школе с математическим уклоном, участвовал в математических олимпиадах, образование экономическое.
Если у Вас такое образование, тогда тем более не понятно, почему Вы не понимаете. Видимо, способность выйти за рамки общепринятого, взглянуть на проблему шире – это определяется не образованием. Вывод один: Вы воспринимали всё, что Вам преподавали как истину в последней инстанции, что для советского человека простительно.

Андрей Рамин 06.11.2010 23:28 Заявить о нарушении

Отношение порядка здесь не причем.

Андрей Рамин 06.11.2010 23:30 Заявить о нарушении

И еще одно замечание, Андрей. Вы пишите о "пересчитывании" или "нумерации" элементов множества.

Но пересчитать элементы можно только в счетном множестве, то есть во множестве Z или в равномощном ему множестве. Более мощное множество, например, множество всех вещественных точек на прямой (континнум) перенумеровать нельзя.

Вл Гв 06.11.2010 23:40 Заявить о нарушении

Объясняю ситуацию: у вас два бильярдных шара с нанесенными на них номерами 1 и 2. У меня два шара с номерами 3 и 4. Мы сопоставляем шары: Вы кладете на стол шар №1, я шар №3, затем вы – шар №2, я – шар №4. Шары закончились, мы установили их равное у нас с Вами количество.
А теперь представьте ситуацию, что если бы на Ваш шар с №1 я положил шар не №3, а №4, а на Ваш шар с №2 – шар с №3 – и в этом случае их количество оказалось разным. Понятно, что такое невозможно в случае с конечным количеством шаров, но именно так происходит в случае их бесконечного количества.

Андрей Рамин 06.11.2010 23:51 Заявить о нарушении

Андрей, вы написали: "Вывод один: Вы воспринимали всё, что Вам преподавали как истину в последней инстанции, что для советского человека простительно."

Андрей, у вас совершенно неверные представления о том, как преподают математику в математическом ВУЗе. У вас школьные представления о математике. А в математическом ВУЗе математику преподают совсем не так, как в школе или на экономическом факультете.

На матфаке одно и тоже понятие преподается по разному, с разных точек зрения. Например, мы изучали такое простое понятие как производная и интеграл три или четыре раза, и всякий раз по разному: начиная от Фихтенгольца и кончая мерами Лебега и функциональным анализом (не путать с мат-анализом).

Вы также написали: "Если у Вас такое образование, тогда тем более не понятно, почему Вы не понимаете.". Я как раз вас прекрасно понимаю: я вижу все ваши ошибки, это не трудно. Скорее всего, они проистекают от того, что вы пытались изучать серьезную математику самостоятельно, без преподавателей.

Уверяю вас, что любой мой однокурсник или любой выпускник мат-фака (если от не троечник) отнесется к вашим рассуждениям примерно также, как и я.

Ваш намек на советского человека меня позабавил. Философию и экономику мы естественно изучали с марксистко-ленинских позиций (хотя ... мы полгода изучали политэкономию капитализма и столько же изучали политэкономию социализма). Но советской математики - такого не было. Наши преподавтели в своих лекциях гораздо чаще упоминали имена немецких и английских математиков, чем русских и советских.

Вл Гв 07.11.2010 00:02 Заявить о нарушении

С точки зрения геометрии Евклида, рассуждения Лобачевского - ошибка. Это не ошибки, а иной взгляд. Для советского человека характерна нетерпимость к иным взглядам.

Андрей Рамин 07.11.2010 00:07 Заявить о нарушении

Андрей, вы написали:

<<
Объясняю ситуацию: у вас два бильярдных шара с нанесенными на них номерами 1 и 2. У меня два шара с номерами 3 и 4. Мы сопоставляем шары: Вы кладете на стол шар №1, я шар №3, затем вы – шар №2, я – шар №4. Шары закончились, мы установили их равное у нас с Вами количество.
А теперь представьте ситуацию, что если бы на Ваш шар с №1 я положил шар не №3, а №4, а на Ваш шар с №2 – шар с №3 – и в этом случае их количество оказалось разным. Понятно, что такое невозможно в случае с конечным количеством шаров, но именно так происходит в случае их бесконечного количества.
>>

Андрей, я понял ваши рассуждения еще тогда, когда вы их опубликовали изначально в своем произведении.

Андрей, в ваших рассуждениях предполагается, что можно "перебрать" все элементы множества один за другим. Это можно сделать, но только для конечного или счетного множества (то есть для Z и любого подмножества Z).

А вот "перебрать" одно за другим все точки на вещественной прямой и тем более на плоскости невозможно.

И вообще, "перебрать" - это не совсем корректное понятие, не математическое, а ... бытовое что-ли. Если говорить о конечных множествах, то нужно говорить о перестановках. Если обобщать, то нужно говорить о нумерации и отношениях порядка.

Кстати, отношение порядка как раз очень даже "причем". Если вы предполагаете, что можно перебрать элементы множества одно за другим, то это означает, что такое множество можно упорядочить (тот элемент, что вытащили раньше, "меньше" следующих). Но как я уже ранее написал, есть такие множества, и их сколько угодно, которые нельзя упорядочить. Например, множество всех точек на плоскости нельзя упорядочить.

Получается, что ваши попытки улучшить понятие мощности множества, некорректны, потому что они применимы не ко всем множествам, а только к тем, которые можно пересчитать и на которых можно установить хотя бы одно отношение порядка.

Вот, например, установлено, что множество всех точек на прямой равномощно множеству всех точек на плоскости. И попробуйте доказать это или опровергнуть с помощью вашего "сопоставления" ? Не получится!

А вот если взять классическое определение мощности с помощью взаимно однозначных соответствий, то оно применимо к любым множествам, и, что важно, любые два множества можно сравнить по их мощности

Вл Гв 07.11.2010 00:35 Заявить о нарушении

Андрей, вы написали: "С точки зрения геометрии Евклида, рассуждения Лобачевского - ошибка. Это не ошибки, а иной взгляд. Для советского человека характерна нетерпимость к иным взглядам."

Ну, понятно ... аргументы по сути темы вы привести не можете, и поэтому пытаетесь уйти на другую тему, в геометрии. Кстати, геометрия Лобачевского вовсе не является ошибкой с точки зрения геометрии Евклида, с чего вы это взяли. Ну, да ладно, это совсем другая тема.

Вл Гв 07.11.2010 00:50 Заявить о нарушении

Утверждение о том, что «множество всех точек на прямой равномощно множеству всех точек на плоскости» уже свидетельствует о том, что можно пронумеровать (или перебрать) точки плоскости точками прямой.

Я не улучшаю понятие мощности. Это слово некорректно.

Именно этот метод я и применяю: определение мощности с помощью взаимно однозначных соответствий и несомненно два любых множества можно сравнить по мощности, только результат такого сравнения может быть разным: равномощны, больше-меньше, неопределенность.

Андрей Рамин 07.11.2010 01:00 Заявить о нарушении

Андрей, по вашему выходит, что множество всех вещественных точек на прямой можно перенумеровать ?

Вл Гв 07.11.2010 01:05 Заявить о нарушении

"Однако, вы весьма оригинальные аргументы выбираете в дискуссиях на математические темы. Может не будем на личности переходить?"

Ну сравнивать штаны Вы предложили – это значит ничего.
Я чувствую Вашу нетерпимость, поэтому и высказал это.

Я не прошу принять мою точку зрения, я прошу понять её.

Вы не сможете доказать несправедливость геометрии Лобачевского с помощью геометрии Евклида.

Андрей Рамин 07.11.2010 01:10 Заявить о нарушении

"Ну, понятно ... аргументы по сути темы вы привести не можете, и поэтому пытаетесь уйти на другую тему, в геометрии. Кстати, геометрия Лобачевского вовсе не является ошибкой с точки зрения геометрии Евклида, с чего вы это взяли. Ну, да ладно, это совсем другая тема".

Это не уход в другую тему, это метод аналогий, чтобы Вам легче было понять.
Попробуйте в рамках геометрии Евклида провести вторую прямую, это будет именно ошибкой, так как это есть нарушение аксиомы.

Андрей Рамин 07.11.2010 01:11 Заявить о нарушении

"Сравнивать штаны" ?! Какие такие штаны ? Это вы о чем ?!

Вл Гв 07.11.2010 01:15 Заявить о нарушении

"Андрей, по вашему выходит, что множество всех вещественных точек на прямой можно перенумеровать ?"

Когда говорится «перенумеровать», то подразумевается перенумеровать натуральными числами. Этого сделать невозможно. Но перенумеровать точки прямой точками прямой возможно.

Андрей Рамин 07.11.2010 01:18 Заявить о нарушении

Андрей, вы написали: "Я не прошу принять мою точку зрения, я прошу понять её."

Да, понял, Андрей, я вашу точку зрения, понял! Я согласен со всеми тем, что вы пытались мне написать по поводу геометрии Лобачевского и Евклида. Как математик я вас уверяю, что вы тут всё верно понимаете. (Хотя и выражаете свои мысли немного коряво. Но это ничего!)

Но и вы мою точку зрения на ваши представления о мощности множества тоже поймите. Можно предложить, пользуясь вашей терминологией, иной взгляд. Но ведь кроме иного взгляда можно еще предложить ошибочный взгляд, математически некорректный.

Так вот, как достаточно квалифицированный математик я вас уверяю, что ваши рассуждения о мощности - это вовсе не иной взгляд! Это ошибочный, то есть математический некорректный взгляд. Свои аргументы я изложил выше, и весьма подробно.

Я допускаю, что подумав, вы сможете со мной согласиться, хотя вряд ли у вас хватит мужества публично в этом признаться. Но я допускаю и обратное: что вы искренне останетесь на своей точке зрения. В любом случае я хочу еще раз подчеркнуть свое мнение, как математика: у вас вовсе не иной взгляд, у вас математически некорректный взгляд.

Вл Гв 07.11.2010 01:35 Заявить о нарушении

Что ж, от Вас дело за малым: обоснуйте неправильность принятия такой аксиомы.

Андрей Рамин 07.11.2010 01:48 Заявить о нарушении

Андрей, всё, что мог, я обосновал. Мне больше нечего добавить, потому что я тогда начну повторяться.

Вл Гв 07.11.2010 01:55 Заявить о нарушении

Решил-таки еще одно замечание сделать.

Андрей, понятие мощности множества было введено для того, чтобы обобщить понятие количество элементов множества. Что такое мощность для конечного множества - это понятно, это чиcло элементов в множестве. А как быть с числом элементов для бесконечного множества - это не очень понятно. Для такого обобщения математики использовали взаимно однозначные отображения множеств.

Для конечных множеств мы знаем, что если A - подмножество B, то мощность А меньше мощности B (в A меньше элементов, чем в B). Когда мы обобщаем понятие "число элементов" на бесконечные множества, то мы естественно хотели бы сохранить такое свойство.

В вашем "ином" подходе получается, что множество положительных целых чисел N нельзя сравнить по числу элементов (по мощности) с множеством всех целых чисел Z. Но N - это часть Z, то есть N - подмножество Z. Как же так?! Они должно быть либо равны по мощности, либо в N должно быть меньше элементов, чем в Z. А у вас выходит, что их сравнить нельзя.

Таким образом, ваш иной подход во-первых математически некорректен: для его ввода вы используете не строгие определения, и он применим только к Z и подмножествам Z (я об этом выше писал). Во-вторых от вашего подхода нет абсолютно никакой пользы, потому что он не позволяет сравнивать по мощности даже те множества, для которых ваш подход можно использовать. По сути дела, ваш подход применим только к конечным множествам.

Вл Гв 07.11.2010 11:56 Заявить о нарушении

То, что мы хотели бы сохранить и что сохранится – разные вещи. Вы же не задаетесь вопросом: «как же так – на ноль делить нельзя», а наверное очень бы хотелось сохранить то свойство, что любое число делится на любое число.

В своем подходе я использую строгие определения, он применим к любым множествам. Во-вторых, вопрос пользы тут вообще не причем. Иначе получается, что если истина бесполезна, то это не истина? Мой подход применим и к бесконечным множествам, термин равномощность не применим к ним. При сравнении мощностей бесконечных множеств можно говорить лишь о большей/меньшей мощности (например, мощность R больше мощности N), либо о неопределенности.

Андрей Рамин 09.11.2010 00:11 Заявить о нарушении

Вл Гв, мне кажется, что Андрей употребил нелучший термин - порядок - говоря о нескольких возможных вариантах взаимнооднозначного соответствия. Отображение, помимо того, что оно биективно, может быть непрерывным и прерывным. И вот тут результаты могут быть разные. Если требовать, чтобы биекция была непрерывной, как в топологии, построить такую между отрезком и интервалом не получится.
А на счет "математической корректности"... Математика, это набор произвольных аксиом и правил. Выбрали аксиомы, установили правила, и получили свою математику. Вспомните интуиционизм. Андрей, как я понял, стоит на позиции невозможности существования актуальной бесконечности.

Ваш Зорге 14.07.2018 20:05 Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Рецензия на «О равномощности множеств» (Андрей Рамин)

Здравствуйте, Андрей.
Очень интересные мысли Вы пишете. Меня в частности интересуют математические проблемы, освещенные Вами.
Только мне не всегда и не все понятно.
Не могли бы Вы привести для большей наглядности примеры бесконечных множеств, равномощных согласно Вашей трактовке этого понятия?

Елена Солдатенко 31.01.2010 22:51 • Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Таковых не существует.

Андрей Рамин 31.01.2010 22:55 Заявить о нарушении

Как не существует?? Хотя я вобщем-то тоже не могу таких подобрать(( А что же тогда это значит? Зачем тогда нужно вводить такое понятие (равномощность бесконечных множеств)? И что же оно обозначает, если его нет? Ведь для классического определения имеется много применения, т.к. многие числовые множества можно охарактеризовать этим понятием (т.е. установить равномощны они или нет).

Елена Солдатенко 01.02.2010 19:56 Заявить о нарушении

Именно, такого понятия вводить не нужно. Оно обозначает равную мощность. Здесь же не равная мощность, а мощность одного класса (уровня).
Т.е. Вы имеете ввиду, что пусть определение неправильное, но даёт много полезного, так давайте его оставим?

Андрей Рамин 01.02.2010 20:03 Заявить о нарушении

Как может определение быть неправильным?? Вы просто даете другое определение понятию равномощности множеств, как я поняла. Но ему нет применения, т.к. получается что любые множества неравномощны и это ничего не значит, ведь для сравнения множеств это ни о чем не говорит.

Елена Солдатенко 01.02.2010 20:44 Заявить о нарушении

Если определение «яблоко – это фрукт» правильное, то определение «яблоко – это овощ» – неправильное.
Как можно дать другое определение понятию равномощность? Равномощность - равная мощность. Если мощности не равные, нельзя называть равномощностью. Термин равномощность применим к конечным множествам. При сравнении мощностей бесконечных множеств можно говорить лишь о большей/меньшей мощности.

Андрей Рамин 01.02.2010 20:59 Заявить о нарушении

А что Вы понимаете под мощностью (в частности бесконечного множества)??

Елена Солдатенко 01.02.2010 21:05 Заявить о нарушении

Мощность множества – это обобщение понятия количества (числа) элементов множества.

Андрей Рамин 01.02.2010 21:11 Заявить о нарушении

Т.е. мощность - понятие неоднозначное для бесконечных множеств, хотя однозначное для конечных - это количество их элементов. Поэтому оно и определяется не само по себе, а через условие(понятие) равномощности множеств. Т.е. чтобы им оперировать (сравнивать мощности множеств) надо задать условие равномощности. Т.е. я хочу сказать, что условие равномощности множеств не следует из понятия мощности, скорее наоборот для бесконечных множеств. Я правильно понимаю?

Елена Солдатенко 01.02.2010 21:24 Заявить о нарушении

Нет, мощность не определяется через понятие равномощности. Наоборот. Чтобы сравнивать, не обязательно задавать условие равномощности.

Андрей Рамин 01.02.2010 22:24 Заявить о нарушении

Андрей, я тут подумала, почитала теорию и пришла к выводу, что все не совсем так понимала, как есть на самом деле. Я пришла к неожиданному выводу - я полностью согласна с вашими доводами и вашей критикой существующего понимания равномощности бесконечных множеств. Проблема в том, что это трудно объяснить другим математикам, принявшим имеющуюся теорию и не желающим посмотреть на доводы здравого смысла. Поэтому мы в меньшинстве, а это наводит на печальные мысли о том, что может мы просто не так это все понимаем как они. Ведь и я сразу не поняла суть ваших взглядов, а подошла к ним с другой стороны. Вобщем, среди такого непонимания, знайте, что у вас имеется единомышленник в данном вопросе, готовый отстаивать новые взгляды на равномощность бесконечных множеств.

Елена Солдатенко 03.02.2010 00:19 Заявить о нарушении

Спасибо. Всегда сложно выйти за рамки общепринятого, Вы – молодец.

Андрей Рамин 03.02.2010 09:44 Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Рецензия на «О равномощности множеств» (Андрей Рамин)

Андрей, позвольте глупый вопрос, свидетельствующий о моём дремучем невежестве. Возьмём, например, всё множество натуральных чисел, и пронумеруем их: N(1)=1, N(2)=2, N(3)=3 и т. д. А теперь возмём множество всех чисел, больших нуля и кратных, допустим, ста: N(1)=100,
N(2)=200, N(3)=300 и т. д. Скажите, какое из этих множеств мощнее? Я, честно говоря, не вижу между ними принципиальной разницы... Это, по-моему, воспрос из серии: "Чем структура фрактала целиком отличается от структуры какой-либо его части?"

Вадим Кузнецов 31.10.2009 17:48 • Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Согласно принятым сейчас аксиомам - они равномощны, согласно моим - это неопределённость.

Андрей Рамин 31.10.2009 18:09 Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Рецензия на «О равномощности множеств» (Андрей Рамин)

хех… бред и ахинея... от начала до конца... ужоснах!

на текущую секунду в математике принято следующее классическое определение: множества называют равномощными, если существует биекция между их элементами… здесь очень важно слово «существует»… оно означает, что для равномощности достаточно установить биекцию хотя бы одним способом… Ваш пример №2 такого способа не дает, но это еще не означает неравномощности множеств N и Z… их неравномощность можно обосновать только одним путем: строго доказать, что биекция этих множеств принципиально невозможна… но упомянутую биекцию Вы приводите в примере №1… т.е. она существует, а это и означает равномощность множеств N и Z…

что касается предлагаемого определения равномощности, которое Вы некорректно называете «правилом», то оно вообще никуда не годится…

если мы считаем количество пассажиров автобуса, то нам не важно, на каких местах они сидят они, или на какой ноге стоят… понятие равномощность – это обобщение понятия количество на случай бесконечных множеств… найти мощность множества на деле означает «посчитать» количество его элементов, которое, очевидно, от порядка не зависит... а Ваше «правило» (основанное, кстати, на ошибке) содержит слово порядок… ясно, что оно там лишнее…

вообще, что такое порядок в математическом смысле? вкратце: если на множестве задано некоторое отношение, то все его элементы можно упорядочить относительно данного отношения… только в этом случае уместно говорить о порядке… к слову, само это отношение принято называть «отношением порядка»… если интересны подробности, почитайте любой учебник по топологии и функциональному анализу… для действительных чисел и их подмножеств все просто: отношение порядка определяется сравнением – среди двух чисел всегда можно выбрать меньшее… но как быть с комплексными числами? или с кватернионами? а с объектами нечисловой природы: точками плоскости, геометрическими фигурами, функциональными пространствами и пр.?

установить отношение порядка на множестве не так легко, как кажется… вот пример… рассмотрим множество из трех элементов а3, с2 и b1, которые являются действительными числами… если его упорядочить по алфавиту, получим а3, b1, с2… если упорядочить по номерам, получим b1, с2, а3… в этом случае алфавитный порядок нарушается… а упорядочить, например, по возрастанию значений элементов вообще невозможно, поскольку эти значения не определены…

этот простой пример показывает, что даже конечное числовое множество не всегда получается упорядочить… кроме того, если это все-таки удается, возникает проблема неоднозначности отношений порядка: если множество, упорядочено относительно некоторого отношения, то оно может оказаться неупорядоченным относительно другого… очевидно, что на бесконечных множествах все только усложняется… поэтому предлагаемое определение равномощности неприменимо ни к одному множеству, за исключением множества действительных чисел, на котором оно совпадает с общепринятым... в целом Ваши рассуждения и «правило» – образец математической неграмотности...

мораль: аффтар, учи матчасть!

Дохтур Сла-Вонг 29.04.2009 01:19 • Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Рецензент, уча матчасть учись ещё и думать.
И осторожно переноси знания о конечных множествах на бесконечные.

Андрей Рамин 29.04.2009 11:33 Заявить о нарушении

хех... обижаетесь? зря: "матчасть" учить необходимо, без нее никуда... если угодно эмоционировать, пообижайтесь лучше на свои ошибки)))))

призываете подумать? ну что ж, давайте подумаем вместе... разумеется, бесконечность придает множеству новые качества... поэтому свойства бесконечных и конечных множеств отличаются... но касается ли это мощности и количества элементов? точнее: имеет ли значение порядок элементов (при допущении, что их можно упорядочить) бесконечного множества для нахождения его мощности? Вы утверждаете, что имеет...

и Вы неправы... разобьем бесконечное множество M на конечные подмножества M[1], M[2] ,..., M[k],... пусть n[i] - количество элементов подмножества M[i]... здесь i = 1, 2, 3, ... числа n[i], заметим, не зависят от порядка элементов в силу того, что M[i] - конечные множества... очевидно, что число элементов множества M находится как n[1]+n[2]+n[3]+... ясно, что эта сумма не зависит от порядка элементов множества M, поскольку ни одно ее слагаемое от этого порядка не зависит... таким образом, порядок не влияет на мощность ни в конечном, ни в бесконечном случае... а Вы утверждаете обратное...

при этом:
1) Вы основываетесь на неверном определении равномощности;
2) из-за этого получаете ошибочный вывод о неравномощности множеств N и Z;
3) Вы используете термин "порядок", абсолютно не понимая его значения...
4) между прочим, из Ваших рассуждений следует, что мощность множества зависит от расположения его элементов... в конечном случае это, очевидно, не так... тогда почему это должно быть верно в бесконечном случае? по-Вашему выходит, что для множества из n элементов при достаточно большом n найдется перестановка из n+1 элемента... т.е. можно стать миллионером, перетряхивая мелочь в кармане)))))

любого из этих пунктов достаточно, чтобы признать Ваши рассуждения безграмотной нелепостью... прежде, чем выводы делать, разумно и естественно сначала изучить литературу ("матчасть")))))... хотя бы учебник почитать повнимательней, чтобы в будущем вот так впросак не попадать...

итог: думать, безусловно, полезно... поэтому я призываю Вас последовать Вашему же призыву: думайте! но помните: думать и выдумывать - разные вещи... думать над какой-нибудь задачей - это одно... и совсем другое - выдумывать проблемы там, где их нет...

Дохтур Сла-Вонг 01.05.2009 02:27 Заявить о нарушении

Странно, что Вы не видите проблемы. Между тем, вопрос о непротиворечивости теории множеств остаётся нерешенным.
Раньше считали, что целых чисел больше, чем четных, пока не пришел Кантор и не показал, как изменив порядок элементов можно доказать их равномощность. А Вы говорите: порядок не имеет значения.
Сумма бесконечного ряда зависит от порядка слагаемых, в отличии от конечной суммы слагаемых, это мой ответ на ваш вопрос: «в конечном случае это, очевидно, не так... тогда почему это должно быть верно в бесконечном случае?».
Это Вы основываетесь на определении и делаете вывод: если мои рассуждения противоречат определению, значит они неверные. Я же анализирую правомерность применения самого определения.
Когда не остается аргументов в защиту своей позиции, остается обвинить меня в безграмотности, невнимательном чтении учебника и т.п. Не опускайтесь до низменностей.

Андрей Рамин 01.05.2009 12:07 Заявить о нарушении

«Странно, что Вы не видите проблемы» – вижу, но не в самой равномощности, а в Вашем непонимании ее определения...

«...вопрос о непротиворечивости теории множеств остаётся нерешенным»... так и есть... но мне казалось, что мы обсуждаем мощность, а не непротиворечивость теории... или я что-то пропустил?)))))))

«...пока не пришел Кантор и не показал, как изменив порядок элементов можно доказать их равномощность» – не стоит выдавать желаемое за действительное)))) Кантор строил биекции, а про порядок ничего не говорил...

«Сумма бесконечного ряда зависит от порядка слагаемых, в отличиЕ от конечной суммы слагаемых, это мой ответ на ваш вопрос...» – вообще-то вопрос был такой: «если мощность конечного множества не зависит от порядка его элементов, то почему мощность бесконечного множества должна от порядка зависеть?» при чем здесь ряды?)))))))

«Это Вы основываетесь на определении и делаете вывод: если мои рассуждения противоречат определению, значит они неверные. Я же анализирую правомерность применения самого определения» – беда в том, что определение, которое Вы анализируете, изначально неправильное (см. рецензию)... а Ваши рассуждения и в самом деле не верны по причинам, которые я уже неоднократно указывал... могу только повторить: во-первых, Вы анализируете неверное определение равномощности (еще раз см. рецензию)))); во-вторых, Вы неправомерно используете термин «порядок» (см. замечание)... все это делает Ваши выводы не только ошибочными, но и безграмотными... самое разумное в такой ситуации – признать ошибки и не повторять их в дальнейшем... но для этого надо иметь разум и мужество... Вы же продолжаете настаивать на своем заблуждении, что глупо вдвойне... чего Вам не хватает?

«Когда не остается аргументов в защиту своей позиции, остается обвинить меня в безграмотности, невнимательном чтении учебника и т.п.» – хех... Вы говорите так, будто с легкостью развенчали мою критику, но что-то этого не видно))))) свою позицию я достаточно подробно аргументировал в рецензии и замечании... и ни один из моих аргументов Вы не опровергли... почему ж их не осталось? куда они делись? похоже на метод страуса: закрыл глаза – и нет аргументов))))

«Не опускайтесь до низменностей» – Вы опять обижаетесь... стоит заметить, что моя критика направлена вовсе не на Вас лично, а на Ваши рассуждения, т.е. на продукт Вашего ума... Вы же принимаете ее на свой счет, т.е. перенаправляете мои удары с Вашего продукта на себя лично... зачем? бывает, что и у хорошего повара, если тот перемудрит, иногда выходит редкостная дрянь...

Вы обижаетесь на критику, потому что относитесь к своему рассказу не как к продукту ума, а как к продолжению собственной личности... значит, цель Ваша – не развитие и познание, а удовлетворение амбиций эго и интеллектуальный эксгибиционизм... думаю, поэтому Вы выставили свои рассуждения на Прозу, вместо того, чтобы показать их ближайшему квалифицированному математику...

Дохтур Сла-Вонг 04.05.2009 11:16 Заявить о нарушении

««Сумма бесконечного ряда зависит от порядка слагаемых, в отличиЕ от конечной суммы слагаемых, это мой ответ на ваш вопрос...» – вообще-то вопрос был такой: «если мощность конечного множества не зависит от порядка его элементов, то почему мощность бесконечного множества должна от порядка зависеть?» при чем здесь ряды?)))))))»

По поводу правил русского языка Вам в другую тему: «новые правила русского языка».
Аналогию не наблюдаете? Если от порядка слагаемых (в случае конечного их числа) сумма не зависит, то почему сумма бесконечного ряда должна от порядка зависеть? А она зависит.

«Это Вы основываетесь на определении и делаете вывод: если мои рассуждения противоречат определению, значит они неверные. Я же анализирую правомерность применения самого определения» – беда в том, что определение, которое Вы анализируете, изначально неправильное (см. рецензию)... а Ваши рассуждения и в самом деле не верны по причинам, которые я уже неоднократно указывал... могу только повторить: во-первых, Вы анализируете неверное определение равномощности (еще раз см. рецензию))));»

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. У вас видимо другое определение?

«во-вторых, Вы неправомерно используете термин «порядок» (см. замечание)... все это делает Ваши выводы не только ошибочными, но и безграмотными... самое разумное в такой ситуации – признать ошибки и не повторять их в дальнейшем... но для этого надо иметь разум и мужество... Вы же продолжаете настаивать на своем заблуждении, что глупо вдвойне... чего Вам не хватает?»

Судя по Вашим словам и вопросам, Вы совершенно не поняли, о чём я говорил в статье. Если бы Вы поняли, то задавали бы другие вопросы. Самоутверждаться извольте в другом месте.

«Вы обижаетесь на критику, потому что относитесь к своему рассказу не как к продукту ума, а как к продолжению собственной личности... значит, цель Ваша – не развитие и познание, а удовлетворение амбиций эго и интеллектуальный эксгибиционизм... думаю, поэтому Вы выставили свои рассуждения на Прозу, вместо того, чтобы показать их ближайшему квалифицированному математику...»

Я выставил свои рассуждения В ТОМ ЧИСЛЕ на Прозу. Не ищите подвоха, там где его нет.

Андрей Рамин 05.05.2009 19:39 Заявить о нарушении

«Аналогию не наблюдаете?» хех... утверждение №1: «сумма ряда зависит (точнее, может зависеть) от порядка слагаемых, а сумма конечного числа слагаемых от него не зависит»... утверждение №2: «мощность бесконечного множества зависит от порядка»... что между ними общего? только слово «бесконечность»... но из истинности первого не следует истинность второго... все-таки мощность и сумма – разные вещи... Ваша «аналогия» неуместна...

«Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. У вас видимо другое определение?» если Вы внимательно читали рецензию, именно это определение я там и привел))) подумайте, что в нем означает слово «существует» и насколько оно там важно... и еще раз см. рецензию)))))))

«Я выставил свои рассуждения В ТОМ ЧИСЛЕ на Прозу.» круто... а МАТЕМАТИКАМ показывали? хоть один ПРОФЕССИОНАЛ ознакомился с Вашими рассуждениями?

Дохтур Сла-Вонг 07.05.2009 21:29 Заявить о нарушении

очевидно, нет...

Дохтур Сла-Вонг 14.06.2009 18:08 Заявить о нарушении

"2. Множество натуральных чисел неравномощно множеству целых чисел."

Нет. Вы, всего - навсего выбрали отображение g : Z -> N которое не сюръективно, а стало быть оно не биективно. (учитывая что биекцию, вы уже нашли в п. 1). Из того что мы НЕ нашли биекцию - не следует, что множество несчётно.

"Вывод: Мы не можем однозначно утверждать равномощны ли множества Z и N, это неопределённость. "

Неверно.

"Таким образом, биекция НЕОБХОДИМОЕ условие равномощности множеств, но совершенно НЕДОСТАТОЧНОЕ условие равномощности."

Существование биекции f : A -> B - является необходимым и достаточным условием равномощности A, B. Т.е.:

A ~ B <=> существует f : A -> B, bijection(F).

Чтобы указать что А неравномощно B, нужно показать, что ЛЮБОЕ отображение f : A -> B не является биекцией. Вы же в п.2 показали, что есть некое g0 (с её ограничениями) которое не является биекцией. Да есть, ну и что?

"Но это не выполняется для бесконечных множеств, так как в зависимости от порядка сопоставления элементов, мы получаем противоречащие друг другу результаты:"

Согласно, тому что я написал выше - это НЕ противоречащие друг - другу результаты.
Противоречие было бы, если бы мы показали, что существует биекция, а потом показали бы что любое отображение - не биекция.
"Полное должно звучать так: "Равномощные множества - это множества между которыми существует биекция при любом порядке взаиморасположения их элементов"."

Это избыточное определение.

Мой вывод: вы не зная азов дискретной математики и мат. логики пытаетесь опровергнуть её положения. Это справедливо лишь, в том случае, когда когда основываясь на существующих её предпосылках вы создаёте новое следствие. Ваши же предпосылки неверны и я показал почему.

Также из ваших же рассуждений, можно вывести также, что {1, 2, 3} не равномощно {4, 5, 6}. Действительно:

Покажем {1, 2, 3} ~ {4, 5, 6}, занумеруем:
1 2 3
4 5 6

Покажем {1, 2, 3} неравномощно {4, 5, 6}
Занумеруем:
1 2 3
4 4 4

Для 5, 6 уже не осталось чисел, значит {1, 2, 3} неравномощно {4, 5, 6}.

Индис Индис 11.09.2009 21:48 Заявить о нарушении

Поправлюсь.

"2. Множество натуральных чисел неравномощно множеству целых чисел."

"Нет. Вы, всего - навсего выбрали отображение g : Z -> N которое не сюръективно, а стало быть оно не биективно. (учитывая что биекцию, вы уже нашли в п. 1). Из того что мы НЕ нашли биекцию - не следует, что множество несчётно."

Вернее так: вы построили отображение g : Z+ -> N а не из Z -> N и тогда это тем-более не показывает, что Z ~ N.

"...Вы же в п.2 показали, что есть некое g0 (с её ограничениями) которое не является биекцией. Да есть, ну и что?"

Вы в п.2 показали, что есть некое g0, которое вообще отображением Z -> N не является.

Индис Индис 13.09.2009 17:03 Заявить о нарушении

Вы доказываете истинность «первого этажа», основанного на своём «фундаменте», и несомненно правы. Я же показываю неправомерность распространённого в настоящее время, общепринятого «фундамента». Все теоремы Евклидовой геометрии справедливы при Евклидовых аксиомах, но не все справедливы при аксиомах Лобачевского.

«Покажем {1, 2, 3} неравномощно {4, 5, 6}
Занумеруем:
1 2 3
4 4 4»
Неверно, элемент не может повторяться. Верно, например, так:
1 2 3
5 4 6

Андрей Рамин 20.09.2009 11:15 Заявить о нарушении

Андрей Рамин,

Нигде в вашем тексте не было написано о том, что элементы не могут повторяться. Между тем, это важное свойство, которое я использовал для аналогии с вашем примером попытки установления биекции между Z+ и N.

В вашем рассуждениях вы лишь показали что множество целых положительных чисел равномощно множеству натуральных. И всё.

Ваша запись:
"Как видно натуральные числа нумеруют только положительные целые числа, таким образом, отрицательные числа и 0 не могут быть пронумерованы."

Ошибочна, потому что этого "не видно". Вы прячетесь за троеточием, когда строгое установление счётности - его не содержит.

Почитайте пожалуйста как устанавливать счётность (равномощность) множеств. Дело "стрелочками" не ограничивается ).

По поводу "фундамента" из которого я исхожу:
Напишите как вы поняли мои соображения, чтобы мы имели хоть какие-то точки соприкосновения, дабы дискуссия не была бы бессмысленной.

P.S. Упоминание многострадального 5-о постулата Евклида и геометрии Лобачевского - первый признак позиции "непонятого гения". Советую этим не злоупотреблять.

С уважением, Индис.

Индис Индис 22.09.2009 01:56 Заявить о нарушении

Я не показал, что множество целых положительных чисел равномощно множеству натуральных, я показал, что это неопределённость. Не существует адекватного способа установить равномощность. Можно назвать равномощностью, то, что обозначается этим слово сейчас, но фраза: «количество чётных чисел равно количеству целых чисел» не верна, т.е. термин «равномощность» не означает равенство мощностей.

Я не прячусь за троеточием, троеточие такой же математический знак, как и все остальные.

Простой вопрос: Почему сумма бесконечного ряда зависит от порядка слагаемых, а мощность множества не зависит?
Например, сумма всех целых чисел S = 0 + 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 ... - неопределенность. Когда Вы говорите о равномощности Z и N, то фактически выбираете один из вариантов:
S = 0 + 1 – 1 + 2 – 2 + 3 – 3 ... = 0
S = (+1 + 0) + (+2 – 1) + (+3 – 2) + (+4 – 3) + ... = +<><> (плюс-бесконечность)
S = (0 – 1) + (+1 – 2) + (+2 – 3) + (+3 – 4) + ... = -<><>
На каком основании Ваш вариант «Z и N – равномощны» предпочтительнее варианта «Z и N – неравномощны»?
Т.е. фактически Вы приняли такие аксиомы, что S = 0 + 1 – 1 + 2 – 2 + 3 – 3 ... = 0, докажите правомерность принятия таких аксиом.

Андрей Рамин 23.09.2009 01:32 Заявить о нарушении

Андрей Рамин,

Вы невнимательно читаете мой текст. В нём я ясно обозначил две просьбы:

1. Почитайте пожалуйста как устанавливать счётность (равномощность) множеств. Дело "стрелочками" не ограничивается ).

2. Напишите как вы поняли мои соображения, чтобы мы имели хоть какие-то точки соприкосновения, дабы дискуссия не была бы бессмысленной.

Продолжение дискуссии (и ответ на ваш вопрос) с вами будет только в том случае, когда будут удовлетворены обе мои просьбы.

С уважением, Индис.

Индис Индис 23.09.2009 02:48 Заявить о нарушении

«Нет. Вы, всего - навсего выбрали отображение g : Z -> N которое не сюръективно, а стало быть оно не биективно. (учитывая что биекцию, вы уже нашли в п. 1). Из того что мы НЕ нашли биекцию - не следует, что множество несчётно»

Правильно: «из того, что мы НЕ нашли биекцию – не следует, что множество несчётно», из этого следуют 2 варианта:
1. либо множество несчётно, если ни один другой вариант не является биективным;
2. либо множество не является ни счётным, ни несчётным, если мы нашли хотя бы один или более биективных вариантов.

Андрей Рамин 23.09.2009 16:26 Заявить о нарушении

Существование отображения g : Z -> N, которое не сюръективно, свидетельствует о неопределенности установления равномощности. Докажите неправомерность этой аксиомы.
Из этой аксиомы следует, что не существует счётных множеств, т.е. множеств равномощных N, даже само N не равномощно N. Но существует возможность утверждать, что одно множество мощнее другого, например множество R мощнее N. Таким образом, можно говорить лишь о множествах, принадлежащих к одной группе (назовём её группа №1): N, Z, Q, но не равномощных между собой. Множества R, С принадлежат к другой группе №2, они также не равномощны между собой, но они мощнее множеств из группы №1.

‘Нигде в вашем тексте не было написано о том, что элементы не могут повторяться’

Я это имел ввиду по умолчанию.

Андрей Рамин 23.09.2009 16:33 Заявить о нарушении

Андрей Рамин,

Насколько я понял вы задаёте бинарное отношение R между двумя множествами A, B следующим образом:

(A, B) принадлежит R <=>
1. Существует биекция g : A -> B
2. Задано отношение порядка на множествах A и B.

Пожалуйста. Только это отношение R не называется отношением равномощности.

Объясните пожалуйста ещё раз, почему вам так важен порядок между элементами в множествах? Постарайтесь обойтись без троеточия.

Индис Индис 27.09.2009 01:09 Заявить о нарушении

Когда я говорю о порядке, то подразумеваю не «отношение порядка». Важно не отношение порядка элементов в одном множестве, а важен порядок сопоставления элементов между двумя множествами.
Порядок сопоставления элементов не важен для конечных множеств, но важен для бесконечных. Для сравнения конечных множеств {1,2,3} и {4,5,6} порядок действительно не важен: не важно соотносим мы элемент 1 с элементом 4, или с элементом 5, а можно и с элементом 6. Если бы из этих трёх вариантов (1-4, 1-5, 1-6) хотя бы один вариант не давал равномощность (например, при соотнесении 1-4 и 1-5 есть равномощность, а в случае 1-6 нет), то говорить о равномощности было бы нельзя. Понятно, что для конечных множеств подобная ситуация просто невозможна. Но имеем ли мы право на этом основании утверждать, что подобное справедливо и для бесконечных множеств? Нет.

Андрей Рамин 09.10.2009 12:09 Заявить о нарушении

Но имеем ли мы право на этом основании утверждать, что подобное справедливо и для бесконечных множеств? Нет.
Потому что например для сопоставления элементов между Z и N:

0 -> 1
1 -> 2
2 -> 3
...

"Не хватает" элементов в N для отрицательных чисел? :)

Индис Индис 09.10.2009 22:51 Заявить о нарушении

Именно так.

Андрей Рамин 10.10.2009 11:03 Заявить о нарушении

Я нашёл, чему равна сумма ряда S = 0 + (+1 - 1) + (+2 -2) + ... = 0. Верно?

Андрей Рамин 10.10.2009 11:28 Заявить о нарушении

Неверно. Сумма ряда зависит от порядка слагаемых. Причём здесь порядок сопоставления элементов в биекции?

Индис Индис 10.10.2009 20:51 Заявить о нарушении

И в том, и в другом случае мы имеем дело с бесконечностью.
На том основании, что сумма конечного числа слагаемых не зависит от их порядка, мы не можем утверждать, что сумма бесконечного ряда также не зависит от порядка. Аналогично мы не можем утверждать, что если мощности конечных множеств не зависят от порядка сопоставления элементов, то мощности бесконечных множеств также не зависят от порядка сопоставления элементов.
Вы (а до Вас Кантор) из бесконечного множества вариантов нашли один, при котором мощности множества равны, хотя все другие варианты свидетельствуют об их неравномощности. Я тоже нашёл к чему приравнять сумму ряда. Либо мы утверждаем, что «множества равномощны и сумма ряда равна 0»; либо что «и то, и другое – неопределённость». А на данный момент в математике существуют двойные стандарты.

Андрей Рамин 10.10.2009 22:56 Заявить о нарушении

Ага. То есть схема ваших рассуждений такова:

Вот кошка. У неё четыре ноги и рогов у неё нет. У коровы по аналогии с кошкой тоже четыре ноги и значит рогов у неё тоже нет. Аналогия ясна?

Насколько я понял, вы заметили свойство суммы ряда и решили "перенести" его на биекцию. Обоснования такого переноса и тем более как результат изменение определения равномощности - я не вижу. Кроме конечно "мы имеем дело с бесконечностью" - но это пустой звук.

Индис Индис 10.10.2009 23:35 Заявить о нарушении

Ваша аналогия некорректна. Корректная аналогия такая: Вы посмотрели на животное спереди и увидели, что это кошка, посмотрели сбоку и увидели, что это корова. И приняли за аксиому, что это всё же корова.

Андрей Рамин 11.10.2009 00:17 Заявить о нарушении

Значит всё-таки аналогия неясна. Поясняю (и повторяю):
Вы увидели свойство, что для бесконечной суммы важен порядок слагаемых (бесконечность - четыре ноги), (важен порядок - нет рогов). Далее вы посмотрели на бесконечные множества и решили что для биекции тоже важен порядок.

На каком основании вы так решили? "И там и там бесконечность?" :)

Индис Индис 11.10.2009 00:29 Заявить о нарушении

Мне тоже интересно на каком основании Вы решили, что для биекции порядок не важен?

Андрей Рамин 11.10.2009 00:38 Заявить о нарушении

Последний вопрос убил наповал ). А на каком основании у вас на голове нет павлиньих перьев? Или на каком основании у вас не 28 пальцев на руке а 5? Вы знакомы с принципом Оккама?

Итак, давайте подытожим нашу дискуссию:

Вы утверждаете что для того чтобы два множества A, B были равномощны недостаточно существования биекции между ними. Дополнительно к существованию биекции необходимо определить и порядок сопоставления элементов из A в B.

На наш (мой и доктор Сла - Вонг) вопрос "почему?" Ваш единственный аргумент "по аналогии с суммой ряда". Всё остальное - извините общие фразы и софистика. Но и этот аргумент - не выдерживает никакой критики потому что сумма ряда и биекция хоть и "имеют дело с бесконечностью" но это разные объекты с разными свойствами. Кстати странно что вы "уцепились" за сумму ряда. Привести вам ещё пару примеров "имеющих дело с бесконечностью" и обладающих дополнительными свойствами? :)

Теперь я отвечу на каком основании мне "не важен порядок".

Во первых не мне а Г. Кантору, а во вторых в установлении равномощности не "важен порядок" и не "не важен порядок", а порядок как таковой не рассматривается потому что для установления равномощности он избыточен. И доказательства почему его там "нет" - не требуется. Иначе мы высосем из пальца (что вы и сделали) ещё какое-нибудь свойство и пойдём доказывать почему и его там нет. Миниатюру "вы не верблюд" смотрели? )

Вы пытаетесь "присобачить" этот порядок к биекции и ваше оправдание "так в сумме ряда он же есть!" примеры с шарами, и псевдоматематические фразы. Извините но это не аргумент для пополнения свойств сущности.

Скажите, с какой целью вы пытаетесь это делать? Это ваш метод познания мат. логики? Не зная основ - потрясать их? (не надо приводить цитату Эйнштейна про незнающего человека - это не ваш случай) Ваши попытки даже философскими невозможно назвать, потому что исходят они из простого как веник соображения: "поменяем числа, поставим троеточие и ещё скажем что в сумме ряда такое есть - значит есть и в биекции".

И ещё можно определить всё что угодно. Важно что следует из этого. Я каждый раз извините с ужасом думаю, что было бы если бы в доказательстве раномощности в биекции был важен порядок. Почитайте хотя бы про числа Каталана, там используется равномощность (попутно поучитесь чему-нибудь), да просто откройте наконец учебник по математической логике и попробуйте сделать из него хоть одно упражнение. Потому что цитируя Доктура Сла - Вонга на данный момент "в целом Ваши рассуждения и «правило» – образец математической неграмотности...".

Не позорьтесь.

Индис Индис 12.10.2009 15:46 Заявить о нарушении

Позоритесь Вы, потому что утверждаете, что доказательства избыточности порядка нет и оно даже не требуется. Вас не научили критически мыслить, но научили слепо верить научным догмам, что само по себе уже антинаучно. Ваше право придерживаться существующей теории множеств, непротиворечивость которой, кстати, не установлена.

Андрей Рамин 12.10.2009 17:38 Заявить о нарушении

Да, да, да. "В школе мне в уши и в рот клизму поставили. Вот получил я полезные нужные знания".

Я ясно показал ваш ход рассуждений. Не вижу здесь "слепого поклонения" догмам (никогда этим не занимался, и это кстати одна из причин, почему я вообще начал с вами разговаривать). Ваши соображения - слабы и наивны, и я показал почему.

Кстати о противоречивости теории множеств: Для наивной теории множеств может парадокс Рассела и покажет противоречивость, но если мы работаем с понятием "множество" как с объектом удовлетворяющим аксиомам ZFC, то тут - извините. Правда есть так называемый парадокс Лёвенгейма - Сколема (поинтересуйтесь), (о нём я только слышал) который и не парадокс вовсе но в нём сталкиваются два подхода к понятию множества наивный и аксиоматический (возможно тут я ошибаюсь).

На вопрос о цели ваших умствований - ответа вы мне не дали. Исходя из этого я делаю вывод что в области о которой вы рассуждаете - вы не компетентны (я конечно видел это и раньше). Поэтому далее вы можете нести всё что вам угодно.

P.S. Советую всё-таки открыть учебник по мат. логике или ТФДП :).

P.P.S. Думаю, что после этого сообщения вид дискуссии перерастёт в "дурак! - сам дурак!", поэтому заранее советую не утруждаться ).

Индис Индис 12.10.2009 18:00 Заявить о нарушении

Как раз непротиворечивость аксиоматики ZFC и не установлена.
Ваши аргументы: «откройте учебник», «почитайте», «не зная основ», «вы не компетентны» и т.п.

Андрей Рамин 12.10.2009 18:17 Заявить о нарушении

А моя цель совпадает с целью науки — получение истины.

Андрей Рамин 12.10.2009 18:22 Заявить о нарушении

"Ваши аргументы: «откройте учебник», «почитайте», «не зная основ», «вы не компетентны» и т.п."

Вот мой список аргументов:

1. Аналогия с суммой ряда неверна.
2. Не из какого предположения, аксиомы, высказывания полученного под правилом вывода - ваше утверждение не следует. Думаю, что вы не станете отрицать - что примеры с шарами, и проведение стрелочек с троеточиями - не доказывают.
3. Существование порядка в биекции - избыточно. Ваше возражение - рассмотрим сумму ряда, там порядок важен - тогда возвращаемся к пункту 1.

"Откройте учебник", "почитайте" - это не аргументы ). Это так сказать "побочные эффекты" моих ответов.

Индис Индис 12.10.2009 18:28 Заявить о нарушении

Обе позиции: «аналогия с суммой ряда не верна» и «аналогия с суммой ряда верна» равнозначны и зависят от нашего подхода к понятию бесконечности и её свойств. Доказательств правомерности первой позиции и неправомерности второй я так и не получил.

Андрей Рамин 12.10.2009 18:46 Заявить о нарушении

Хватит. Доказывать что я не верблюд - я не собираюсь

Повторюсь. С этого момента - вы можете утверждать всё что вашей душе заблагорассудится: что множество натуральных чисел несчётно, что система док-в A1, A2, A3 и MP - неадекватна, что в Гильбертовом пространстве нет нормы или что нужно что-то ещё кроме имеющегося чтобы оно было Гильбертовым и так далее. Полная свобода слова ). Собака лает как говорится, а караван идёт.

Дискуссия закончена.

Индис Индис 12.10.2009 18:47 Заявить о нарушении

Это прекрасно, потому что данная дискуссия бессмысленна, так как Вы не хотите или не можете выйти за пределы существующей теории множеств и взглянуть на неё со стороны.

Андрей Рамин 12.10.2009 18:57 Заявить о нарушении

Дискуссия закончена - дальше будет только стёб и насмешки. Хотите отвечайте - хотите нет.

О вот уже и диалектика пошла ). Здравствуйте герр Гегель ).

Тц.. тц... Про сумму то ряда - тоже не ваше :). Эк вас уносит (и носит) то по форумам.

Индис Индис 12.10.2009 19:02 Заявить о нарушении

Я заметил, что стёб и насмешки – ещё один из ваших способов аргументации. Не опускайтесь до низменностей.

Андрей Рамин 12.10.2009 19:10 Заявить о нарушении

"Я заметил, что стёб и насмешки – ещё один из ваших способов аргументации"

Прошу прощения вашбродь! Больше не повторится! Глаза выкатить? )

Это... "не опускайтесь до низменностей" - это ваше или тоже с какого нибудь форума подцепили? :)

Индис Индис 12.10.2009 19:26 Заявить о нарушении

Во, я вас с похожим "кадром" сосватать могу ). Погуглите "логонетик". Если в ваших рассуждениях что-то интересное и есть и вы сомневаетесь всего лишь в определении равномощности, то этот товарищ берёт в руки логику высказываний (даже не первого порядка) (!) и с её помощью выковывает та-а-акие кхм.. теории любо - дорого смотреть ). Познакомьтесь ).

Индис Индис 12.10.2009 19:40 Заявить о нарушении

Выражение моё, возникшее после посещения форумов :)
Я помню такого участника - логонетик.

Андрей Рамин 12.10.2009 20:05 Заявить о нарушении

Ну так вы подкиньте ему ваши соображения ). Хотя нет, думаю он их не поймёт. Это не человек а какой-то сбесившийся интерпретатор ПРОЛОГа :). Его кажется фон Нейман оживлял...

Ладно уж, давайте ещё раз:
Вы просите объяснить, почему НЕ ТРЕБУЕТСЯ доказывать отсутствие существования порядка в биекции, для того чтобы множества были равномощными?

Индис Индис 12.10.2009 20:15 Заявить о нарушении

Почему не требуется доказывать независимость равномощности от порядка сравнения элементов?

Андрей Рамин 13.10.2009 20:14 Заявить о нарушении

"Почему не требуется доказывать независимость равномощности от порядка сравнения элементов?"

Строго определение равномощности (не ваше) выглядит так:
Множества A, B называются "равномощными" если:
1. Существует биекция f : A -> B

Вы хотите дать такое определение:
Множества A, B называются "равномощными" если:
1. Существует биекция f : A -> B
2. Установлен порядок O в сопоставлении элементов из A в B.

Так или нет?

Индис Индис 13.10.2009 21:13 Заявить о нарушении

Поправлюсь:
2. Установлен порядок O в сопоставлении элементов для f.

Индис Индис 13.10.2009 21:23 Заявить о нарушении

Я утверждаю, что биекция существует только при определённом порядке (точнее порядках) сравнения элементов, при других порядках сравнения биекция не существует. А для того чтобы назвать множества равномощными, биекция должна существовать во всех случаях.

Андрей Рамин 13.10.2009 21:41 Заявить о нарушении

"Я утверждаю, что биекция существует только при определённом порядке (точнее порядках) сравнения элементов, при других порядках сравнения биекция не существует."

То есть теперь вы меняете и определение биекции.

Согласно вашему определению:
Биекция - это иньективное и сюрьективное отображение в котором установлен порядок сопоставления элементов.

Так?

Индис Индис 13.10.2009 21:47 Заявить о нарушении

Определение биекции не меняется. Биекция - это инъективное и сюръективное отображение. Но в зависимости от порядка сопоставления элементов тех же самых множеств: в одних случаях биекция существует, в других случаях не существует.

Андрей Рамин 13.10.2009 22:16 Заявить о нарушении

То есть возмём иньективное и сюрьъективное отображение g : A -> B, и вы говорите что при порядке сопоставления O1 - оно будет биекцией, а при другом порядке O2 - не будет.

Индис Индис 13.10.2009 22:54 Заявить о нарушении

Возьмём отображение g1: A -> B, оно инъективно и сюръективно, т.е. биективно.
Возьмём отображение g2: A -> B, оно не биективно.

Андрей Рамин 14.10.2009 10:22 Заявить о нарушении

g2 не биективно потому что не инъективно или не сюръективно или ещё по какой-либо причине?

Индис Индис 14.10.2009 16:06 Заявить о нарушении

потому что не сюръективно

Андрей Рамин 14.10.2009 18:55 Заявить о нарушении

Итак g2 не биективно потому что оно не сюръективно. Значит g2 не биективно потому что g2 не сюръективно или не инъективно. Отсюда следует, что если g2 инъективно и сюръективно то g2 биективно.

Вывод:
если отображение g2 является сюръекцией и биекцией - то g2 есть биекция.

Вопрос:
Где здесь упоминается порядок сопоставления элементов?

Индис Индис 14.10.2009 19:41 Заявить о нарушении

При одних порядках сопоставления элементов сюръекция имеет место, при других нет.

Андрей Рамин 14.10.2009 19:48 Заявить о нарушении

Отлично. Идём вглубь и меняем определение сюръекции.

То есть по вашему: отображение f: A -> B называется сюръекцией если:
1. для любого элемента b в B существует элемент a в A так что f(a) = b
2. Установлен порядок сопоставления прообраза с образом.

Так?

Индис Индис 14.10.2009 19:52 Заявить о нарушении

Определение сюръекции менять не надо. Отображение является сюръекцией, если каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A.

Андрей Рамин 14.10.2009 20:03 Заявить о нарушении

Совершенно верно. То есть порядок сопоставления элементов не учитывается.

Тогда я не понимаю вот это ваше высказывание:
"При одних порядках сопоставления элементов сюръекция имеет место, при других нет."

Отсюда следует что требуется учесть ещё и порядок в сопоставлении элементов в отображении дабы оно стало сюръекцией.

Индис Индис 14.10.2009 20:14 Заявить о нарушении

Верно

Андрей Рамин 14.10.2009 20:17 Заявить о нарушении

В таком случае произвольное отображение f : A -> B есть биекция если:

(1) Каждый элемент из B является образом хотя бы одного элемента из A
(2) Существует порядок O в сопоставлении элементов из A в B в отображении f.

То есть для другого порядка O' и сохраняя ограничение (1), f может не являться биекцией.

Индис Индис 14.10.2009 20:23 Заявить о нарушении

Также:

"То есть порядок сопоставления элементов не учитывается."

противоречит

"требуется учесть ещё и порядок в сопоставлении элементов в отображении..."

Не так-ли?

Индис Индис 14.10.2009 20:27 Заявить о нарушении

Порядок сопоставления элементов учитывается.

Андрей Рамин 14.10.2009 20:40 Заявить о нарушении

"Порядок сопоставления элементов учитывается."

Раз учитывается то мы возвращаемся к этому определению биекции:

Отображение f : A -> B есть биекция если:
(1) Каждый элемент из B является образом хотя бы одного элемента из A
(2) Существует порядок O в сопоставлении элементов из A в B в отображении f.

Индис Индис 14.10.2009 20:42 Заявить о нарушении

"...определению биекции"

Прошу прощения "определению сюръекции".

Индис Индис 14.10.2009 20:44 Заявить о нарушении

Определение сюръекции менять не надо.
Даны два множества: А и В. При одном порядке сопоставления их элементов сюръекция есть, при другом порядке сопоставления сюръекции нет, при третьем порядке сопоставления – снова есть и т.д.

Андрей Рамин 14.10.2009 20:56 Заявить о нарушении

Какие условия требуются для отображения между множествами A, B чтобы оно было сюръекцией? Ответьте максимально точно.

Индис Индис 14.10.2009 21:08 Заявить о нарушении

Мы уже поменяли определение равномощности: равномощные множества – это множества, между которыми существует биекция при любом порядке взаиморасположения их элементов. Определения как биекции, так и сюръекции менять не нужно, поэтому условия для биекции и для сюръекции не меняются.

Андрей Рамин 14.10.2009 21:23 Заявить о нарушении

Пожалуйста ответьте на мой вопрос.

Индис Индис 14.10.2009 21:25 Заявить о нарушении

Условие одно: каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A.

Андрей Рамин 14.10.2009 21:31 Заявить о нарушении

Вы согласны с тем, что порядок сопоставления элементов является свойством отображения?

Индис Индис 14.10.2009 21:33 Заявить о нарушении

Видимо согласен, если правильно понимаю Ваш вопрос.

Андрей Рамин 14.10.2009 22:01 Заявить о нарушении

"Условие одно: каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A."

Достаточно ли, чтобы отображение f : A -> B выполняло только это условие, чтобы оно было сюрьективным или требуется ещё и определённый порядок (который, как мы выяснили является свойством f) чтобы оно называлось сюрьективным?

Индис Индис 14.10.2009 23:04 Заявить о нарушении

Вы спрашиваете:
Отображение f : A -> B есть сюръекция если:
(1) Каждый элемент из B является образом хотя бы одного элемента из A
(2) Существует порядок O в сопоставлении элементов из A в B в отображении f

Т.е. другими словами:
Отображение f : A -> B есть сюръекция если:
(1) это сюръекция
(2) Существует порядок O в сопоставлении элементов из A в B в отображении f

Для того, чтобы сюръекция была сюръекцией, достаточно выполнения первого условия. Условие 2 лишнее.

Отображение g1 = порядок сопоставления элементов h1.
У порядка сопоставления элементов h1 есть свойство сюръективности или несюръективности. Т.е. сюръективность является условием порядка сопоставления, а не порядок сопоставления является условием сюръективности.

Андрей Рамин 15.10.2009 10:59 Заявить о нарушении

Так. Значит определение сюръекции мы не меняем и определение:

Произвольное отображение f: X -> Y есть сюръекция если:
Для любого элемента y в Y существует элемент x в X так что f(x) = y.

Остаётся в силе.

"Для того, чтобы сюръекция была сюръекцией, достаточно выполнения первого условия. Условие 2 лишнее."

Нет. Для того чтобы произвольное отображение f было сюръекцией достаточно для него выполнения первого условия. Условие 2 лишнее.

"Отображение g1 = порядок сопоставления элементов h1.
У порядка сопоставления элементов h1 есть свойство сюръективности или несюръективности. Т.е. сюръективность является условием порядка сопоставления, а не порядок сопоставления является условием сюръективности."

Поскольку
"Отображение g1 = порядок сопоставления элементов h1".

То:
У отображения g1 есть свойство сюръективности или несюръективности. Т.е. сюръективность является условием отображения, а не отображение является условием сюръективности.

Верно?

Индис Индис 15.10.2009 18:08 Заявить о нарушении

Верно

Андрей Рамин 15.10.2009 18:22 Заявить о нарушении

Мне больше вам нечего сказать. Вы меняете аксиоматику понятия "равномощность" опрометчиво базируясь на собственном "здравом смысле" и отдельно взятом факте о сумме ряда.

Это по-моему то-же самое, что менять гравитационную постоянную планеты Земля, базируясь на том что перо и камень падают с разной скоростью (при присутствии воздушного сопротивления) и один раз увидав луну в телескоп.

Опять-таки: определения можно давать какие угодно (вспомним анекдот про пустой дом и математика). Важно на что они влияют. Ваше определение существенно утяжеляет (а порой и делает невозможным) процесс док-ва равномощности в различных ситуациях, которые важны например в информатике.

Если вы построили такое определение - флаг вам в руки. Что из него следует? Какие теоремы? ОБЛЕГЧАЮТ ли они дальнейший процесс? ЗАЧЕМ это определение нужно?

Индис Индис 16.10.2009 17:48 Заявить о нарушении

+ добавить замечания

Написать рецензию Рецензии на все произведения автора Андрей Рамин