1. Будучи математиком, я вынужден в своей работе постоянно опираться не на доказательства, а на ощущения, догадки и гипотезы, переходя от одного факта к другому при помощи того особенного вида ОЗАРЕНИЯ, который заставляет усматривать общие черты в явлениях, быть может, кажущихся постороннему вовсе не связанными между собой.
2. ОШИБКИ являются важной и поучительной частью математики вероятно, важной настолько же, насколько важны ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
Доказательства играют в математике <лишь – Н.С.> такую же роль, как правописание (или даже чистописание) в поэзии. Математические работы состоят из доказательств, как стихи из букв.
Виктор Игоревич Арнольд
Еще недавно многие считали хорошими математиками тех, кто в уме перемножает гигантские числа (хотя в некоторых очень глубоких разделах встречаются только целые числа первых десятков, - скажем, в топологии или геометрии). Сейчас, вероятно, перемножают на компьютерах, и соответственно с ними связывают представление о математиках.
Приведенные выше слова ученого класса «супер-супер-элита» открывают нам совершенно иной, удивительный мир, прекрасный и бесконечный. Постараемся чуть приблизиться к нему, кратко комментируя эти и другие высказывания известных людей. Ключевыми словами для нас будут: озарения, ошибки и доказательства.
Как видно из текста, озарением автор называет любое усмотрение
неизвестных ранее связей между явлениями или методами, возможность их синтеза итп. Вот пять минут назад не знал, а сейчас что-то забрезжило, - возможно, и ошибочно. В любом случае впереди – большая работа, иногда длительная (и даже оставляемая другим поколениям ). Но важно, что откуда-то возник «центр кристаллизации», вокруг которого могут собираться и проясняться мысли. Представляется, что вероятность такого прорыва зависит от особенностей личности, увеличивается с опытом, расширением кругозора, интенсивностью и длительностью предварительного обдумывания… Но алгоритма, правила, пусть очень сложного, позволяющего достичь такого результата, нет в принципе. И сколько бы успехов не было позади, нет гарантии, что озарение посетит тебя и в новой задаче…
Насколько позволяет мой кругозор, я вообще вижу тут сплошные загадки. Вот, скажем, взял я почти наугад одну научную книгу в библиотеке коллеги, раскрыл ее на платформе в ожидании электрички, - и вдруг понял, что делать и как объединить разные методы. Спрашивается: какую роль сыграли здесь платформа и электричка? Если бы поехал на автобусе – вышло ли бы нечто похожее, или придумался бы совсем другой путь, или вообще ничего: «не той бы улицей прошел, тебя не встретил, не нашел»?
Нет ответа.
В процессе генесиса новых идей важно не ограничивать себя, не бояться совершать ошибки. Время задуматься о корректности наступит позже. Арнольд приводит случаи, когда ошибочные результаты стимулировали появление новых, интересных (и уже верных, конечно) теорем и направлений. Он заканчивает рассуждение в характерном для него полушутливом стиле: «Я мог бы привести десятки более новых примеров ошибок в знаменитых работах, если бы не опасался за свою жизнь».
Вероятно, именно опасность «зажатия» мышления имел в виду и Нильс Бор, предупреждая: «никогда не выражайся точнее, чем ты думаешь». И еще: если утверждение имеет глубокий смысл, то и противоположное ему – тоже глубоко.
По Арнольду, именно генерация, неалгоритмизуемое усмотрение новых связей между разными разделами математики является ее высшей и наиболее креативной частью. На этом пути есть несколько видов препятствий. Первая – чрезмерная и все возрастающая специализация, дробление единой – по его мнению – науки на мелкие части.
Далее, Арнольд приводит слова И.М.Гельфанда: «Математики никогда не оценивают новых идей, принимается во внимание лишь последний шаг восхождения к вершине». Это напоминает слова Тита Ливия: «Всегда считается, что побеждает последний вступивший в бой отряд». В наиболее четком виде это проявляется в таком виде: неоднократно Арнольд спрашивал у (зарубежных) ученых, не знают ли они доказательства только что рожденных им идей. После того обнаруживал в журналах работы этих математиков с доказательствами, без упоминаний подлинного автора идей.
Впрочем, он приводит и более жесткую формулировку М.М.Постникова: «Наука никогда не принимает новых идей, она борется с ними» с таким своим комментарием: математики, подковывающие в данный момент лошадей, естественно, негативно реагируют на лимузины.
Трудно комментировать то, что происходит на заоблачных вершинах науки. Видимо, далеко не все способны к безудержной генерации идей и ограничиваются «детализацией» и совершенствованием имеющихся, что тоже небесполезно. По своему скромному опыту знаю, что статья, где уточняется или дополняется что-то известное, легче проходит рецензентов, чем содержащая синтез каких-то идей и\или методов, пусть и известных.
Вот мы и добрались до этапа доказательств. Из предыдущего видно, что они оцениваются Арнольдом не так высоко, как озарения, даже приводящие к ошибкам.
Не стоит воспринимать это слишком буквально. Во-первых, это – необходимый заключительный этап работы. Во-вторых, и он может быть очень трудным и длительным. И потребовать творчества для создания и\или синтеза методов – как то было с теоремой Ферма или гипотезой Пуанкаре. Правда, обе эти задачи очень просты по формулировке.
Вообще, математика очень разнообразна и практически бесконечна (вызывают умиление подзаголовки на учебниках: вся высшая математика). Есть и такие разделы, например, теория чисел, где сформулировать проблему могут и школьники. Скажем, существуют простые (не имеющие делителей) числа-близнецы: 11 и 13, 17 и 19. Спрашивается: конечно или бесконечно число таких пар? Здесь творческую часть составит придумывание методов решения. Возможно, к задачам такого рода относятся не имеющие связи с физикой.
Приведу по памяти воспоминание академика В.И.Смирнова, пришедшего в гости к академику В.А.Фоку. Тот попросил немного подождать и, ходя по кабинету, думал. Вскоре сказал, что он решил свою задачу, а доказательство проведет завтра. Т.е. эти этапы для него были отчетливо разделены. Думаю, на своем уровне многие теорфизики знакомы с такой ситуацией, только ошибаются чаще и задачи мельче…
Если говорить на школьном уровне – задача: «доказать теорему Пифагора» несравненно легче задачи «найти связь между длинами катетов и гипотенузы». В первом случае хотя бы известно, о чем начинать думать.
Кажется, Кант говорил, что математика – это искусство тождественных преобразований. В то же время Флоренский отмечал неизбежность логической щели при рождении чего-то нового. По-видимому, оба утверждения непротиворечивы в следующем смысле. Новые идеи рождаются озарением, внелогически. В условном бесконечном пространстве всех возможных утверждений появляется точка, к которой нужно стремиться из исходной (от всего нам известного). В процессе же доказательства, т.е. прокладывания пути от исходной к конечной точке , мы, действительно, должны обеспечить корректность каждого шага. Например, в каждом равенстве левая и правая сторона обязаны быть равны. (В теорфизике же эти щели в какой-то степени остаются, позволяя возникать новым теориям)
Если же нам неизвестно, к какой точке-утверждению стремиться, придется изучать множество, - возможно, бесконечное, разных направлений…
Любопытно: в Интернете я нашел на слова «Математика – это искусство тождественных преобразований» вместо фамилии автора более миллиона солидных рецептов, как преобразовывать. Что же, правописание (а потом, и подковывание лошадей) освоить необходимо. Если же кто захочет почувствовать, что такое настоящая математика, как поэзия – советую начать с лекций для школьников, прочитанных Арнольдом и опубликованных в виде тонких брошюр (издательство МЦНМО). Они доступны в магазинах и не требуют каких-то необычных для школьника знаний. Студентам можно посоветовать классическую книгу «Математические методы классической механики». Возможно, на каком-то этапе чтения станет трудно. Не стоит смущаться: во-первых, вы можете вернуться к книге позже; во- вторых, и сам Арнольд писал по другому поводу: «Я слышал, что мои первоначальные гипотезы, которые привели к этим теориям, в настоящий момент доказаны. К сожалению, я не в состоянии понять технические детали этих доказательств».
Закончим размышления приведенным Арнольдом несколько провокационным высказыванием величайшего математика, механика и теорфизика Анри Пуанкаре:
Только неинтересные задачи могут быть сформулированы четко и решены полностью.
О Пуанкаре и отчасти об Арнольде: http://www.proza.ru/2015/08/28/951
О Фоке и Смирнове:
http://www.proza.ru/2016/08/11/970