Многие читатели знают о магических квадратах, где сумма строк и столбцов равна магической константе.
Например: в магическом квадрате 3 на 3 ячейки, магическая константа равна 15, а в магическом квадрате 6 на 6 ячеек, магическая константа равна 111.
Это значит что сумма чисел от 1 до 9 равна 45, а сумма чисел от 1 до 36 равна 666.
Зададимся вопросом, а можно ли построить из целых чисел прямоугольник? Например 3 на 4, что бы сумма строк у них была одинакова и другое число сумма столбцов была одинакова.
Сумма чисел укладываемых в прямоугольник 3 на 4, от 1 до 12 равна 78. Делим 78 на 3 получаем целое число 26, делим 78 на 4 получаем нецелое число 19,5. Вывод: построить магический прямоугольник 3 на 4 из целых чисел невозможно. Так как не получается распределить по четырём столбцам число 78.
Но если мы возьмём прямоугольник 3 на 5, то сумма чисел от 1 до 15 будет равна 120.
Число 120 легко делится цело на число 3 и 5. Соответственно 120 / 3 = 40, 120 / 5 = 24.
Предположим что существует прямоугольник 3 на 5 где в трёх строках сумма будет равна 40, а по пяти столбцам сумма равна 24.
Для начала уравновесим столбцы и найдём магическую константу прямоугольника по 5 столбцам:
1 2 3 4 5
8 9 10 6 7
15 13 11 14 12
Сумма столбцов в прямоугольнике равна 24, по строкам суммы распределяются следующим образом первая строка = 15, вторая строка = 40 , третья строка = 65 (разница в шаге равна 25)
Методом "сдвига" уравновешиваем прямоугольник. И получаем магический прямоугольник 3 на 5.
1 13 10 4 12
8 2 11 14 5
15 9 3 6 7
Все строки имеют сумму равную 40, все столбцы имеют сумму равную 24. Итого вся сумма строк равна 120 и вся сумма столбцов равна 120.
Есть любопытное свойство в этом магическом прямоугольнике - при выделении в нём квадрата 3 на 3 сумма чисел в нём всегда равна 72 :
PS Магические прямоугольники:
2 на 4 и более - http://www.proza.ru/2012/03/11/633
4 на 6 - http://www.proza.ru/2012/10/14/572
3 на 5 - http://www.proza.ru/2011/12/28/1049
3 на 15 - http://www.proza.ru/2013/07/20/711
9 на 5 - http://www.proza.ru/2011/12/29/1094
PS от 17. 03. 2015
О фрактальности магического прямоугольника 3 на 5 в магический квадрат 15 на 15:
http://www.proza.ru/2015/03/07/1603
PS от 03.10.2016
О чётно нечётных магических прямоугольниках - http://www.proza.ru/2016/09/28/2110
Магический прямоугольник 2 на 3 - http://www.proza.ru/2014/12/04/1212
Магический прямоугольник 3 на 4 - http://www.proza.ru/2015/03/25/1580
Магический прямоугольник 4 на 5 - http://www.proza.ru/2016/02/04/791