глава из работы «Логические парадоксы. Пути решения»
ПРИГОВОР
(Неожиданная казнь(тревога), парадокс узника, осуждённого, заключённого)
Закон Мерфи:
Если какая-нибудь неприятность может произойти, она случается.
Следствия 1-7: 1. Всё не так легко, как кажется;
ЗАКОНЫ МЕРФИ (МЕРФОЛОГИЯ
http://aphorism-list.com/merfi.php?page=merf1)
Дополнение к следствию 1:
Если вам что-то кажется идеальным или правильным,
значит, вы только в начале пути.
Джастмэн
AS: рассуждения строились мной, исходя из того, что неделя начинается воскресеньем и заканчивается субботой. Основание (хотя это и необычно, но - возможно) слова адвоката "суббота – последний день недели".
«Осуждённого бросили в тюрьму в субботу.
– Тебя повесят в полдень, – сказал ему судья, – в один из семи дней на следующей неделе. Но в какой именно день это должно произойти, ты узнаешь лишь утром в день казни.
Судья славился тем, что всегда держал свое слово. Осуждённый вернулся в камеру в сопровождении адвоката. Как только их оставили вдвоём, защитник удовлетворенно ухмыльнулся.
– Неужели не понятно? – воскликнул он. – Ведь приговор судьи нельзя привести в исполнение!
– Как? Ничего не понимаю, – пробормотал узник.
– Сейчас объясню. Очевидно, что в следующую субботу тебя не могут повесить: суббота – последний день недели, и в пятницу днём ты бы уже знал наверняка, что тебя повесят в субботу. Таким образом, о дне казни тебе бы стало известно до официального уведомления в субботу утром, следовательно, приказ судьи был бы нарушен.
– Верно, – согласился заключенный.
– Итак, суббота, безусловно, отпадает, – продолжал адвокат, – поэтому пятница остаётся последним днём, когда тебя могут повесить. Однако и в пятницу повесить тебя нельзя, ибо после четверга осталось бы всего два дня – пятница и суббота. Поскольку суббота не может быть днём казни, повесить тебя должны лишь в пятницу. Но раз тебе об этом станет известно ещё в четверг, то приказ судьи опять будет нарушен. Следовательно, пятница тоже отпадает. Итак, последний день, когда тебя ещё могли бы казнить, это четверг. Однако четверг тоже не годится, потому что, оставшись в среду живым, ты сразу поймёшь, что казнь должна состояться в четверг.
– Всё понятно! – воскликнул заключённый, воспрянув духом. – Точно так же я могу исключить среду, вторник и понедельник. Остаётся только завтрашний день. Но завтра меня наверняка не повесят, потому что я знаю об этом уже сегодня!
Короче говоря, приговор внутренне противоречив. С одной стороны, в двух утверждениях, из которых он состоит, нет ничего логически противоречивого, а с другой – привести его в исполнение, оказывается, невозможно. Именно так представлял себе парадокс Д. Дж. О'Коннор, философ из Эксетерского университета, первым опубликовавший статью об этом парадоксе (Mind, July 1948). В формулировке О'Коннора фигурировал офицер, объявляющий своим подчинённым о том, что на следующей неделе должна состояться тревога, о которой никто не должен знать заранее вплоть до 18.00 того дня, на который она назначена.
«Как легко видеть,– писал О'Коннор, – из самого определения следует, что никакой тревоги вообще быть не может». О'Коннор, по-видимому, имел в виду, что объявить тревогу, не нарушив при этом вышеприведенного условия, невозможно. Аналогичного мнения придерживаются и авторы более поздних статей. Если бы парадокс этим исчерпывался, то можно было бы присоединиться к мнению О'Коннора, которому вся проблема показалась «сущим пустяком». Однако Скривен первым заметил нечто, ускользнувшее от внимания остальных авторов и делающее проблему далеко не такой простой.
Чтобы уяснить суть замечания Скривена, вернёмся к истории с человеком, брошенным в тюрьму. Безупречными логическими рассуждениями его, казалось бы, убедили в том, что, не нарушив приговора, казнь совершить невозможно. И вдруг, к немалому удивлению осуждённого, в четверг утром в камеру является палач. Осуждённый, конечно, этого не ждал, но самое удивительное, что приговор оказался совершенно точным – его можно привести в исполнение в полном соответствии с формулировкой.
Чтобы разобраться в тех лингвистических трудностях, с которыми мы встречаемся в этом парадоксе, следует привести (…) его формулировки, эквивалентные первой. Это поможет нам исключить различного рода факторы, не относящиеся к делу и лишь затемняющие конечный результат: возможность изменения приговора судьёй, смерть заключённого до казни и т.д.
Рассмотрим первый вариант парадокса, предложенный Скривеном, – парадокс с яйцом-сюрпризом.
Представьте себе, что перед вами стоят десять коробок, перенумерованных числами от 1 до 10. Вы отворачиваетесь, а ваш приятель кладёт в одну из коробок яйцо и просит вас повернуться обратно. «Открывай все коробки по очереди, – говорит он, – сначала первую, потом вторую и так по порядку до десятой. Гарантирую, что в одной из них лежит яйцо-сюрприз. Назвав яйцо сюрпризом, я имею в виду, что ты не сможешь узнать номер коробки с яйцом до тех пор, пока не откроешь эту коробку и сам не увидишь яйца».
Предположим, что ваш приятель всегда говорит только правду. Выполнимо ли тогда его предсказание? Очевидно, нет. Он наверняка не положит яйцо в коробку 10, потому что, открыв первые девять коробок и ничего в них не обнаружив, вы сможете с уверенностью утверждать, что яйцо лежит в единственной оставшейся коробке. Это противоречило бы предсказанию вашего приятеля, поэтому десятая коробка исключается. Рассмотрим теперь, что получилось бы, если бы ваш приятель по несообразительности спрятал яйцо в девятую коробку. Первые восемь коробок тогда окажутся пустыми, и перед вами останутся две закрытые коробки: девятая и десятая. В десятой коробке яйца быть не может, следовательно, оно лежит в коробке 9. Вы открываете девятую коробку, и яйцо, конечно, оказывается там. Однако ясно, что яйцо нельзя считать сюрпризом. Таким образом, мы опять доказали, что ваш приятель неправ. Коробка 9 тоже исключается. Но именно в этот самый момент вы и «отрываетесь от реальности»: с помощью аналогичных рассуждений можно исключить сначала восьмую коробку, затем седьмую и так далее, вплоть до первой! Наконец, будучи абсолютно уверенным в том, что все десять коробок пустые, вы начинаете их по очереди открывать и... Что это белеет в коробке 5? Яйцо-сюрприз! Итак, вопреки всем вашим рассуждениям предсказание вашего друга оправдалось. Значит, ошиблись вы, но в чём? Вся необоснованность ваших умозаключений становится особенно наглядной на примере с десятью коробками. Сначала вы «делаете вывод», что яйцо лежит в коробке 1, но эта коробка оказывается пустой. Отсюда вы заключаете, что яйцо положено в коробку 2, но и в ней не находите ничего. Это наталкивает вас на мысль, что яйцо лежит в коробке 3, и т. д. (Всё происходит так, словно за секунду до того, как вы заглянете в коробку, где, по вашему мнению, должно лежать яйцо, кто-то совершенно непонятным образом перекладывает его в коробку с большим номером.) Наконец вы находите долгожданное яйцо в коробке 8. Можно ли теперь назвать это событие заранее предвиденным, а все ваши рассуждения считать безупречными с точки зрения логики? Безусловно, нет, потому что вы восемь раз воспользовались одним и тем же методом и в семи случаях получили неверный результат. Легко понять, что яйцо может быть в любой коробке, в том числе и в самой последней. Даже после того как вы открыли 9 пустых коробок, вопрос о том, можно ли логическим путем прийти к заключению о местонахождении яйца (находится ли оно в коробке 10 или нет), остаётся открытым. Приняв лишь одно предположение («Одна из коробок непременно содержит яйцо»), вы, разумеется, будете вправе утверждать, не вступая в противоречие с законами логики, что яйцо находится в коробке 10. В этом случае обнаружение яйца в коробке 10 – событие, предсказуемое заранее, а утверждение о том, что будто его нельзя предсказать, ложно. Приняв ещё одно предположение (что ваш приятель говорит правду, когда утверждает, что «координаты» яйца, то есть номер коробки с яйцом, нельзя предсказать заранее), вы лишите себя возможности делать какие-либо логические выводы, ибо, согласно первому предположению, яйцо должно находиться в коробке 10 (и вы можете утверждать это заранее), а согласно второму – вы должны обнаружить яйцо внезапно для себя. Поскольку прийти к какому-либо заключению нельзя, обнаружение яйца в коробке 10 следует считать непредсказуемым заранее событием, а оба предположения – правильными, но их «реабилитация» наступит не раньше, чем вы откроете последнюю коробку и обнаружите в ней яйцо.
Проследим ещё раз решение парадокса, придав ему на этот раз форму парадокса о человеке, приговорённом к повешению. Теперь мы знаем, что судья сформулировал приговор правильно, а узник рассуждал неверно. Ошибочным являлся самый первый шаг в его рассуждении, когда он полагал, будто его не могут повесить в последний день недели. На самом же деле у осуждённого нет оснований делать какие бы то ни было заключения о своей судьбе даже в вечер накануне казни (ситуация здесь та же, что и в парадоксе с яйцом, когда остаётся закрытой одна последняя коробка). Эта мысль играет решающую роль в работе известного логика Куайна, написанной им в 1953 году.
Куайн сообщает, как бы он рассуждал на месте узника. Следует различать четыре случая: первый – меня повесят завтра днём, и я знаю об этом уже сейчас (но на самом деле я этого не знаю); второй – меня не повесят завтра днём, и я знаю об этом уже сейчас (но на самом деле я этого не знаю); третий – меня не повесят завтра днём, но сейчас я об этом не знаю и, наконец, четвёртый – меня повесят завтра днём, но сейчас я об этом не знаю.
Два последних случая являются возможными, последний из них означал бы приведение приговора в исполнение. В такой ситуации незачем загадывать вперед и ловить судью на противоречиях. Остаётся лишь ждать, надеясь на лучшее». Конец цитаты (11).
РЕШЕНИЕ
Адвокат дал спасительную надежду своему клиенту о том, что его на основании слов судьи нельзя казнить, не нарушив противоречивого, по его мнению, условия: о казни заключённому не станет известно раньше утра самого дня казни. И рассуждения строятся методом исключения возможных вариантов, пока, опять же, по мнению адвоката, не останется всего лишь единственный вариант дня казни, о котором в результате цепочки его умозаключений становится известно раньше дня казни, вопреки обещанию судьи. Но в том-то и дело, что в рассуждения закрадывается, как и в некоторых других парадоксах, «ложный вывод» («Логические парадоксы. Пути решения», глава «Ошибки рассуждения в парадоксах – ложный вывод», http://www.proza.ru/2009/04/25/488), состоящий в том, что все умозаключения верны, если станет верным, то есть реальным фактом, главная исходная предпосылка: заключённый останется жив в день, предшествующий, по его рассуждению, казни. Но для того, чтобы данная предпосылка стала реальностью, оснований нет. В этом и кроется безвыходность положения заключённого и ошибочность его внешне правильно выстроенных рассуждений.
Он с адвокатом рассуждает так: в субботу меня казнить нельзя, так как для этого я должен остаться жив в пятницу, что даёт мне стопроцентную уверенность, другими словами, знание, о том, что меня точно казнят в единственный оставшийся день недели – субботу. Потому что: а) казнь состоится точно; б) она состоится в один из дней этой, а не другой недели. Но знание об этом заранее уже даёт основание невозможности казни. Таким же образом он правильно приходит к выводу, что и в пятницу его казнить нельзя, ввиду отсутствия двух возможных вариантов дня его казни, хотя и остаётся два дня недели – пятница и суббота – после того, как его не казнят в четверг. А вот в среду уже следует «ложный вывод»: если я жив в среду, а суббота и пятница отпадают, то остаётся один четверг. На самом деле они не отпадают. Только в пятницу можно рассуждать точно о субботе, в четверг о пятнице и субботе, а в среду – уже о трёх следующих днях. А не об одном. И заключённый делает здесь, не последний раз, ошибочно не тот вывод: меня нельзя казнить и в пятницу, так как я остался жив в четверг, а суббота отпадает как единственный оставшийся вариант. А должен был сделать правильный вывод, который и использует затем судья для принятия решения о дне казни: меня нельзя казнить и в пятницу, если я остался жив в четверг, значит, до пятницы меня должны уже казнить. Но он так и не знает, в какой день до пятницы его казнят. И не узнает никакими предположениями до дня казни, как правильно и сказал судья, потому что это может быть абсолютно любой день, начиная с воскресенья по четверг, включительно, когда остаётся хотя бы два возможных варианта дня казни. Последним днём с таким условием является как раз четверг. Хотя с такой же вероятностью приговор мог быть исполнен и в воскресенье без нарушения условий, то есть завтра. Ведь судья в своих рассуждениях идёт дальше. Дойдя до воскресенья в результате рассуждений, заключённый делает вывод, что и в этот день его казнить не могут. Судья же рассуждает, не упуская указанную мной посылку. Если нельзя казнить в субботу, то до неё приговор должен быть исполнен. Если нельзя и в пятницу, то до неё надо казнить. В четверг же исполнить приговор уже можно, так как даже из предположения нельзя стопроцентно утверждать, а именно это и было бы знанием, в который из оставшихся двух, а с субботой трёх, дней придёт палач.
Таким образом, до пятницы заключённому дожить не придётся, несмотря на хитрый ход рассуждений его адвоката. Потому что только в этом случае он действительно стопроцентно будет предполагать, то есть знать заранее, день казни, а значит, слово судьи нарушается.
В пятницу заключённого, в принципе, по рассуждениям Скривена, тоже можно было бы казнить и знать об этом заключенный в четверг достоверно не может. Но, ошибившись в своём предположении – если суббота отпадает, значит, его казнят в пятницу – он не нарушает условия казни. Пусть он не угадает в четверг день казни (пятницу), но в пятницу, оставшись жив, он уже не ошибётся в своём предположении последнего варианта.
Единственно, что смущает в рассуждениях из статьи: приговор может быть исполнен в рамках условий и раньше четверга. Ведь именно в воскресенье проведение казни делает её особенно неожиданной, потому что нет оснований знать об этом заранее, в отличие от предположений относительно субботы, как последнего дня недели. Предположения о первом и последнем дне, в принципе, одинаковы по вероятности, за исключением того преимущества последнего дня, что он остаётся единственным вариантом, когда все другие отпали. У первого дня такого преимущества нет, поэтому, по-моему, он более непредсказуем. И рассуждения на месте судьи можно было бы строить не с последнего, а с первого возможного дня казни, что делает невозможным угадывание дня исполнения приговора вообще.
Итак, осуждённый не сможет вычислить логически день своей «неожиданной казни». Потому что нет «точки опоры выводов» – реального факта – о том, в какой день недели он точно останется жив до дня казни, на котором можно было бы строить верное логическое рассуждение. А рассуждение, приведённое адвокатом, являет собой типичную ошибку «порочный круг» («Логические парадоксы. Пути решения»,глава «Ошибки рассуждения в парадоксах – порочный круг», http://www.proza.ru/2009/04/26/369), когда за исходные посылки берутся не факты, а предположения, то есть когда «телегу ставят впереди лошади».