Продолжение темы, что по ссылке:
http://proza.ru/2024/04/14/742
Тут уже уравнение не совсем диофантово. Оно таково лишь частично. История задачи следующая. Я уже в некоторых миниатюрах сообщал, что много встреч у меня меня было с Марком Ивановичем Сканави. Он в шестидесятые годы прошлого столетия занимался усовершенствованием своих решебников. То есть исправлял ошибки в прежних изданиях, находил опечатки и тоже их исправлял, а также добавлял новые интересные задачи. Обычно сам расписывал последовательность их решения, но для ускорения процесса просил помощи у своих студентов и аспирантов. Довольно интересные варианты задач доставались и мне. Только что пролистал всей дневник и оказалось, что ко мне Сканави обращался двадцать шесть раз. Одна из последних задач следующая. Дано кубическое неполное уравнение, что в фиолетовой рамочке. Необходимо было найти такие значения свободного члена "с", чтобы во-первых, обязательно было три действительных корня и, во-вторых, один из корней был бы целочисленным. На первых порах целочисленный корень принять положительным.
Решать такую задачу по формуле Кардано оказалось делом бессмысленным. Общие формулы столь внушительные, в них много радикалов, и выявлять целочисленный корень - задача даже более сложная, чем исходная. Поэтому я разработал следующий план действий. Полагаю, что первый корень х1 принимаю равным 1, 2, 3,...,k и так далее. Затем нахожу свободный член "С". Затем определяю квадратный трехчлен по формуле:
(x^3-35x+c)/(x-k). Полученный квадратный трехчлен решит уже и семиклассник. В приведенной таблице данный подход я осуществил и обнаружил, что при положительных и целочисленных х1 будем иметь всего шесть вариантов. При х1=7 дискриминант квадратного уравнения будет отрицательным, и трех действительных корней мы, естественно, иметь уже не будем. Вот последовательность дискриминантов D по вариантам:
D =137,128,113,82,65,32,-7. Итак последний, седьмой вариант оказался действительно отрицательным. Далее будем иметь только мнимые числа. Позже я установил, что при отрицательных х1 ситуация окажется практически зеркальной. Различия окажутся лишь в знаках параметров. Итого всего у нас будет 12 адаптированных параметров, у которых корни окажутся относительно простыми. Это позволит составить несколько интересных задач для экзаменов и олимпиад.
16 апреля 2024 г.