Alternative definition of prime numbers
(THE AL AFLITUN’S 153rd PROBLEM IN NUMBER THEORY)
We have found the simplest formula for all prime numbers:
(1) p=2n+1 ,n;2km+k+m@2); ; n,k,m are natural numbers .
THE 153rd PROBLEM:
Establish the identity of the definition (1) of a prime number with the traditional definition and the sieve
of Eratosthenes (or other sieves).
For illustration purposes, we offer a table for eliminating odd composite numbers,based on formula (1)/
The connection of this definition is quite obvious with the Diophantine equation
(2) n=2km+k+m .
Mathematicians have dreamed of formula (1) for thousands of years.
We found the simplest formula (1) to represent all odd prime numbers.
The prime number theorem in arithmetic textbooks should be:
AN ODD NUMBER (GREATER THAN ONE) OR CAN BE REPRESENTED AS A PRODUCT OF
TWO ODD NUMBERS (IN THIS CASE IT IS A COMPOSITE NUMBER), OR IT CANNOT –
IN THIS CASE IT IS A PRIME NUMBER. THE SET OF ALL ODD PRIMES
IS OBTAINED BY REMOVING 1 AND ALL ODD NUMBERS, REPRESENTED AS THE PRODUCT OF TWO
SMALLER ODD NUMBERS, FROM THE SET OF ODD NUMBERS.
The identity of this statement with the definition of a prime number as not having an integer
divisor, except itself and unity, is easily provable and even logically obvious.
Why it was unclear to Eratosthenes and other mathematical geniuses that this did not occur.
Even more, the surprising result (we will present the details later) is that there are always two
consecutive (odd) prime numbers between which a tuple of composite numbers can fit
any given length. This means that the search for other formulas for all prime numbers is doomed
in the sense that either there will be counterexamples, or you will have to introduce constants
and more number of variables (as is known, by introducing constants one can empirically create
formulas describing everything).
P.S.(in Russian): Мы нашли простейшую формулу (1) для представления всех нечётных простых
чисел. 153-ья проблема заключается в том, чтобы установить тождественность этого определения
нечётного простого числа традиционному определению и решету Эратосфена (или другим решетам).
Доказательство не представляет особого труда. С целью иллюстрации мы привели генерируемую
формулой (1) таблицу исключения нечётных составных чисел. Совершенно очевидна связь
альтернативного определения простого числа с диофантовым уравнением (2).
Математики тысячелетиями мечтали о формуле (1). Говоря простым языком, фундаментальная
теорема о простых числах в учебниках арифметики должна быть такой:
НЕЧЁТНОЕ ЧИСЛО (БОЛЬШЕЕ ЕДИНИЦЫ) ЛИБО МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ДВУХ НЕЧЁТНЫХ ЧИСЕЛ (В ЭТОМ СЛУЧАЕ ОНО ЯВЛЯЕТСЯ СОСТАВНЫМ ЧИСЛОМ) , ЛИБО НЕ МОЖЕТ –
В ЭТОМ СЛУЧАЕ ОНО ЯВЛЯЕТСЯ ПРОСТЫМ ЧИСЛОМ. МНОЖЕСТВО ВСЕХ НЕЧЁТНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
ПОЛУЧАЕТСЯ УДАЛЕНИЕМ ИЗ МНОЖЕСТВА НЕЧЁТНЫХ ЧИСЕЛ ЕДИНИЦЫ И ВСЕХ НЕЧЁТНЫХ ЧИСЕЛ,
ПРЕДСТАВИМЫХ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ МЕНЬШИХ НЕЧЁТНЫХ ЧИСЕЛ.
Тождественность этого утверждения определению простого числа как не имеющего целочисленного
делителя, кроме себя самого и единицы, легко доказуема и логически даже очевидна. Почему
Эратосфену и другим гениям математики не пришло это в голову, непонятно. Ещё более
удивительным оказывается результат (подробности мы изложим позже), что всегда найдутся два
последовательных (нечётных) простых числа, между которыми уместится кортеж составных чисел
любой заданной длины. Это означает, что поиски других формул для всех простых чисел обречены в
том смысле, что либо будут находиться контрпримеры, либо придётся вводить константы и большее
число переменных (как известно, введением констант можно эмпирически создать формулу,
описывающую всё, что угодно).