Прежде чем работать с музыкальным инструментом, его настраивают, то есть приводят в соответствие частоту звука с нажатием на ту или иную клавишу. Такие настройки есть и в программе «Пианола».
Всего стандартных настроек пять:
e-t - равномерно темперированная, то есть такая, в которой на октаву приходится 12 полутонов с равным отношением соседних частот. Такую настройку обычно делают по звуку электронного камертона, а для компьютерных звуков частоты рассчитывают. Так сделано и в программе «Пианола», причём начальный звук – «ля» привязан к частоте 440 Герц.
Другие настройки тоже рассчитываются, но рассчитываются по-другому.
2/3 – настройка по квинтам вниз, в ней каждая следующая частота получается из предыдущей умножением на две третьих. Именно так настраивают пианино на слух, и при этом чуть-чуть подтягивают струну немного сильнее, чтобы в результате получить равномерную темперацию.
Но мы так делать не будем, и в результате получим гармоничную настройку с коммой на конце (о комме мы поговорим ниже) для нот такой последовательности – A D G C F A# D# G# C# F# B E A’
3/4 – аналогичная настройка по квартам вниз (по квинтам вверх), так тоже можно в реальности делать. Частоты получаются примерно те же, но в обратном порядке. И комма получается такая же, только обратного знака, не отрицательная, а положительная.
Коммой называется разница между частотой ля = 440Гц, с которой начиналась настройка, и частотой близкой к ля, к которой мы при окончании настройки на этой же ноте пришли. По абсолютной величине комма составляет 12% от интервала в два полутона.
Заметим, что в процессе настройки мы к частоте близкой к ля уже приходили, для настройки 2/3 это случилось на восьмой её ступени - нота G# имеет частоту 412Гц. Разницу частот можно принять за отрицательную комму в 28Гц, что составит 28/(440-392)=0.58 здесь 392 это частота звука соль, и можно равномерно темперировать полученный звукоряд из семи ступеней, и сочиняя музыку для свистульки, удовольствоваться этим.
Почему нет? Ведь И.С.Бах поступил точно так же со звукорядом из 12-ти ступеней, за что мы ему очень благодарны.
Понимаете, куда я клоню? Конечно, 12% меньше, чем 58%, к тому же насколько более интересной оказывается музыка со многими модуляциями, переводящими звук из одной тональности в другую. То есть, идея с звукорядом на 12 ступеней оказалась прекрасной. И почему бы не поискать звукоряд с ещё большим количеством ступеней? Вдруг он будет ещё лучше?
И да, как оказывается, такой звукоряд существует. Он получается в настройках 3/5 и 5/6. А знаете ли вы, какой физический смысл имеют дробные настройки? Например, почему именно дробь, и что значат целые числа в дроби 2/3?
А значит это то, что в настройке мы ищем такую следующую струну, третий обертон которой звучит так же, как второй обертон предыдущей струны. Иными словами, мы последовательно ищем струны с одинаково звучащими обертонами, и, следовательно, по своему звуку консонансными между собой. Набор консонансных созвучий образует тональность.
Консонансы 2/3 и 3/4 основаны на вторых и третьих обертонах, консонансы 3/5 и 5/6 – на третьих и пятых. Эти две пары консонансных соотношений определяют два типа настройки – с двенадцатью ступенями и с девятнадцатью ступенями. На 13-ой и на 20-ой ступенях мы получаем в этих настройках начальные звуки.
Расчёт показывает, что никакие иные дроби с небольшими целыми числами, такими свойствами не обладают.
Настройки 3/5 и 5/6 по терциям вниз и вверх дают звукоряд из 19-ти ступеней с коммой 1.2%, то есть на порядок меньшей, чем для традиционного классического звукоряда. Тут даже равномерная темперация не нужна, эти настройки на слух неразличимы.
Подробности, связанные со звукорядом из 19-ти ступеней, обсуждаются тут - http://proza.ru/2015/04/02/1578
Диаграмма на иллюстрации демонстрирует частоты нот первой октавы, в разных настройках программы «Пианола». Столбик слева это частоты для настройки 3/5, записанные в порядке их получения. Для диаграммы справа принят логарифмический масштаб.
Звёздочки для указанной настройки дополнены крестиками для настройки 5/6. Видно, что обе настройки полностью совпадают по частотам.
Этого нельзя сказать о настройках 2/3 и 3/4. Снизу диаграммы буквами показаны частоты для нот диатонической гаммы до мажор. И частоты, и знак комы (интервал между а и А) в этих настройках различаются.
Частоты для равномерной темперации на 12 ступеней показаны кружочками. Вертикальные коричневые линии указывают, к каким нотам диатонической гаммы относятся эти звуки.
Синие вертикали показывают, что диатоническая гамма в настройках на 19 ступеней тоже имеется, и она неплохо совпадает с классической, разница заключается в том, что между тонами классической гаммы вписались дополнительные пять звуков. В целом же, звуки распределены по октаве так же равномерно, как и звуки равномерно темперированного звукоряда.
Даёт ли звукоряд на 19 ступеней какие-либо преференции, пока не вполне понятно. Музыки такой нет, нет и пригодных для неё клавишных инструментов. Высказываются предположения, что поскольку при такой настройке очень гармоничными оказываются терции, то звук её будет более мелодичным на этих интервалах, в частности, более подходящим для сопровождения вокальных партий. Не совсем понятно, насколько хорошо будут звучать аккорды. Можно ли смешивать одну настройку с другими.
Как бы то ни было, но область эта пока совершенно не исследована и очень интересна во всех отношениях. Диаграммы, подобные показанной на иллюстрации, программа «Пианола» строит сама. Вы можете скачать её и самостоятельно поупражняться в области исследований столь необычных настроек.
__________
21.03.2024
Согласно изложенной концепции я внёс измерения и в программу "Трио", теперь она может обрабатывать аккорды не только предназначенные для классической настройки, но и аккорды заданные по ступеням настройки на 19 полутонов. Так, что, можете создавать собственную новую музыку и экспериментировать с ней.
Скачать программу "Трио" можно тут - https://disk.yandex.ru/d/7aDJRvPJyInocg
а программу "Пианола" тут - https://disk.yandex.ru/d/yWSZf7a43Y4XBM
______________
ПРИЛОЖЕНИЕ
Вычисление точных значений коммы при различных настройках,
логарифмы берутся по основанию 2.
A1 = Log(3/2)*12
2^A1 = 129,746337890625 /128=1,01364
A2 = Log(4/3)*12
2^A2 = 31,5692917934446 /32=0,98654
A3 = Log(5/3)*19
2^A3 = 16410,6673667475 /16384=1,0016276
A4 = Log(6/5)*19
2^A3 = 31,9479999370623 /32=0,998374998