Что только в элементарной геометрии мы не находим! Иногда интереснейшие свойства самых привычных фигур. Довольно давно получил для любого треугольника присущий только ему штрих код. Есть даже статья по этому поводу. И вот еще обнаружил нечто забавное для произвольного квадрата. Его воспроизвёл в иллюстрации. Составил для этого короткую программу:
print " N B1 B2 B0 x y z p"
print "-----------------------------------------------"
a=10
for B10=0 to 45 step 5
for B20=0 to 45 step 5
B0=90-B10-B20
B=180/pi*B0
B1=pi/180*B10
B2=pi/180*B20
cf=a*tan(B1)
ae=a*tan(B2)
y=a-cf
z=a-ae
x=sqrt(y^2+z^2)
p=x+y+z
if p=int(p) then
if B10=int(B10) then
N=N+1
print N using "##",B10 using "###";
print B20 using "###",B0 using "###";
print x using "###.###",y using "###.###";
print z using "###.###",p using "###.##"
fi
fi
next B20
next B10
С ее помощью нахожу периметр треугольника со сторонами x, y и z. Рассматривая самые разные углы В1 и В2, которые однозначно определяют и угол В0, и исследуя случай, когда периметр треугольника BFE выражен целым числом при целочисленной стороне квадрата "а" (это команда в проге "if p=int(p) then"), выясним: лишь при В0=45 градусов периметр p=x+y+z равен в точности 2a. Поделился этим с коллегами-математиками. Им, оказывается, знаком сей факт и даже навели меня на задачи, где отмеченное свойство помогает находить решение. Тогда, коль сказанное верно, то почему бы его не оформить в виде теоремы? Только сейчас это и сделал в данной миниатюре. Приведенная в иллюстрации таблица наглядно подтверждает предположение. Но и этого мало! Суть не изменится, если сторона "а", углы В1 и В2 дробные (но при этом В1+В2=45 град.). Последнее также проверил по проге.
Конечно же, хочется данную предполагаемую теорему доказать строго геометрически, как это удавалось с теоремой Пифагора. Если кто из читателей цель мою осуществит, будет просто замечательно!
2 марта 2024 г.