Группа движений пространства Минковского называется группой Пуанкаре; а если в пространстве Минковского зафиксировать начало координат, то группа его движений, сохраняющих начало координат, называется группой Лоренца. Это группа O(3,1,R).
Между группами Ли небольших размерностей имеются очень интересные изоморфизмы. Часто это не совсем изоморфизмы: локально они изоморфизмы, но у них часто есть конечное ядро и/или коядро (обычно состоящие из 2 элементов). Так группа Лоренца локально изоморфна группе Sl(2,C) - группа автоморфизмов 2-мерного комплексного векторного пространства, сохраняющих некоторую фиксированную косую билинейную форму.
Давайте посмотрим, как лучше всего увидеть этот локальный изоморфизм.
Тензорный квадрат любого векторного пространства естественно распадается в сумму симметрического и внешнего квадрата.
2-мерное комплексное векторное пространство можно рассматривать как 4-мерное вещественное, в котором действует линейный оператор, квадрат которого равен -1.
Этот оператор можно продолжить на тензорную алгебру. На самом деле его можно продолжить двумя различными естественными способами: можно продолжить до автоморфизма тензорной алгебры, а можно - до дифференцирования. Выберем первый вариант (хотя кажется можно бы и второй).
Тогда внешний и симметрический квадрат 4-мерного вещественного векторного пространства естественно распадутся в прямую сумму собственных подпространств этого оператора.
Симметрический квадрат (он 10-мерен) распадется в сумму 6-мерного пространства, отвечающего собственному значению -1 нашего оператора, и 4-мерного, отвечающего собственному значению 1. А внешний (он 6-мерен) - в сумму 2-мерного, отвечающего собственному значению -1, и 4-мерного, отвечающего собственному значению 1.
Легко показать, что 6-мерное и 2-мерное канонически изоморфны симметрическому и внешнему квадрату нашего векторного пространства, рассматриваемого как комплексное 2-мерное пространство. а 4-мерные оказываются канонически изоморфны друг другу, это эрмитов и косоэрмитов квадраты 2-мерного комплексного пространства.
На внешнем квадрате 4-мерного векторного пространства есть каноническая квадратичная форма со значением в 4-й его внешней степени. Но если была зафиксирована некоторая косая билинейная форма, то 4-я внешняя степень отождествляется с основным полем (в нашем случае - полем вещественных чисел R), потому что в ней возникает канонический базис, состоящий из внешнего квадрата этой косой билинейной формы.
Мы предполагали, что на нашем 2-мерном комплексном векторном пространстве фиксирована косая билинейная форма (ведь мы изучаем группу Sl(2,C)); вещественная часть этой билинейной формы будет косой билинейной формой на нем как на 4-мерном вещественном пространстве.
Таким образом мы получили на косоэрмитовом квадрате нашего 2-мерного комплексного пространства естественную квадратичную форму. Группа Sl(2,C) ее сохраняет (это и означает слово "естественная"). Остается убедиться, что сигнатура этой квадратичной формы - 3,1. Это следует из того, что естественная квадратичная форма на внешнем квадрате 4-мерного пространства всегда имеет сигнатуру 3,3, и нужно только удостовериться, что в нашем случае ее сужение на внешний квадрат нашего пространства как комплексного 2-мерного имеет сигнатуру 2,0.
Другими словами мы получили гомоморфизм группы Sl(2,C) в группу O(3,1,R). Легко видеть, что ядро этого гомоморфизма состоит из двух элементов - +-1. Обе группы 6-мерны, так что этот гомоморфизм сюръективен на связную компоненту группы Лоренца, а именно на SO(3,1,R).
Группа Sl(2) действует на проективной прямой дробно-линейными преобразованиями (это для любого основного поля). Это действие опять же, очевидно, имеет ядро +-1.
Действие это замечательно тем, что оно трижды транзитивно: для любых двух троек различных точек проективной прямой найдется дробно-линейное преобразование, переводящее одну в другую. Для четверок точек это уже не так: у них есть инвариант - сложное отношение.
В случае поля комплексных чисел C проективная прямая - это сфера Римана. Дробно-линейные преобразования ее сохраняют углы между гладкими кривыми, т.е. являются конформными преобразованиями. И любой конформный автоморфизм сферы Римана, сохраняющий ориентацию, является дробно-линейным преобразованием (это легко доказывается в т.ф.к.п.). Любой конформный автоморфизм сферы Римана, не сохраняющий ориентацию, есть композиция автоморфизма, сохраняющего ориентацию, и комплексного сопряжения. Замечательно, что все конформные автоморфизмы сферы Римана переводят окружности в окружности (это вроде не следует ни из каких общих соображений, но легко проверяется вычислением).
Что группа Лоренца O(3,1,R) изоморфна группе конформных преобразований сферы, доказывается предъявлением действия O(3,1,R) на сфере: эта группа естественно действует на множестве изотропных прямых в пространстве Минковского (изотропных, т.е. таких, сужение на которые квадратичной формы тождественно равно 0); а множество изотропных прямых как раз представляет собой 2-мерную сферу.
Посмотрим повнимательнее, как устроена группа дробно-линейных преобразований PSl(2)=PGl(2) - факторгруппа группы Sl(2) или Gl(2) по центру (т.е. по скалярным операторам).
Дробно-линейные преобразования бывают двух сортов - полупростые и унипотентные; первые имеют ровно две неподвижные точки, вторые - ровно одну; соответствующие линейные операторы в 2-мерном векторном пространстве имеют первые два различных собственных вектора с различными собственными значениями, вторые - единственный собственный вектор с собственным значением 1. Если основное поле не алгебраически замкнуто, то полупростые операторы подразделяются еще на два сорта - имеющие собственные значения из основного поля, и имеющие собственные значения вне его; в последнем случае неподвижных точек у них нет; но наше-то поле C алгебраически замкнуто.
Унипотентные преобразования все одинаковые - они переводятся друг в друга внутренними автоморфизмами группы PSl(2). Полупростые не таковы.
Среди полупростых дробно-линейных преобразований можно выделить подкласс преобразований, квадрат которых равен 1. Они задаются матрицами, квадрат которых равен -1. Все они переводятся друг в друга внутренними автоморфизмами группы дробно-линейных преобразований. И полностью определяются своими неподвижными точками.
Для любого полупростого дробно-линейного преобразования, квадрат которого не равен 1, множество коммутирующих с ним дробно-линейных преобразований представляет собой группу изоморфную мультипликативной группе основного поля (если оно алгебраически замкнуто, как у нас). Она состоит из дробно-линейных преобразований, имеющих те же неподвижные точки. В этой группе, очевидно, есть ровно одно преобразование, квадрат которого равен 1.
А вот у дробно-линейного преобразования с квадратом 1 коммутирующих с ним преобразований больше: это не только преобразования, сохраняющие его неподвижные точки, но и преобразования, меняющие их местами.
Неподвижные точки двух коммутирующих преобразований с квадратом 1, имеют сложное отношение -1.
Множество дробно-линейных преобразований, коммутирующих с унипотентным дробно-линейным преобразованием, представляет собой группу изоморфную аддитивной группе основного поля.
Еще можно отметить, что множество неупорядоченных пар точек проективной прямой (т.е. симметрический квадрат проективной прямой) изоморфно проективной плоскости. Поскольку дробно-линейные преобразования с квадратом 1 задаются неупорядоченными парами точек, то и множество таких преобразований можно отождествить с проективной плоскостью; но не со всей, потому что мы должны выкинуть из нее то, что соответствует парам одинаковых точек; так что останется вероятно аффинная плоскость.