ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРОБЛЕМЫ АЛЬФОНСА ДЕ ПОЛИНЬЯКА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧЁТНЫХ ЧИСЕЛ РАЗНОСТЯМИ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НЕЧЁТНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Мы формулируем проблему следующим образом:
любое чётное число можно представить как разность двух последовательных нечётных простых
чисел, причём бесконечным числом способов, т.е.
{i}=2,3,4,…(номера простых чисел в последовательности простых чисел);
(1) {p_i }=3,5,7,11,… (последовательность нечётных простых чисел);
(2) 2n=p_(i+1)-p_i (представление чётного числа); n=1,2,3,… .
Простейшее доказательство этого утверждения основывается на доказанном и известном со времён
Евклида свойстве бесконечности последовательности простых чисел (1).
Возьмём любое нечётное простое число p_i . Будем последовательно прибавлять к нему чётные
числа:
(3) p_i+2n .
Получим бесконечную последовательность нечётных чисел начиная с p_i+2:
(4) p_i+2,p_i+4,p_i+6,…,p_i+2m,…; p_i+2m;2q+1 ,
где m=1,2,3,…; q;=1/2(p;_i+2m-1) .
В последовательности нечётных чисел p_i+2m;2q+1 в силу полной включённости в неё
последовательности нечётных простых чисел и вследствие бесконечности последовательности
простых чисел обязательно встретятся нечётные простые числа, причём бесконечное число раз.
Поэтому бесконечное число раз будет выполняться равенство
(5) p_i+2n=p_(i+k) ; k=1,2,3,….
При k=1 получаем равенство (2). Утверждение доказано.
ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО БИНАРНОЙ ПРОБЛЕМЫ ГОЛЬДБАХА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧЁТНЫХ
ЧИСЕЛ НАЧИНАЯ С 8 СУММОЙ ДВУХ РАЗНЫХ НЕЧЁТНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Мы формулируем проблему следующим образом:
любое чётное число начиная с 8 можно представить в виде суммы двух разных нечётных простых
чисел, т.е.
{i,j,}=2,3,4,…(номера простых чисел в двух последовательностях простых чисел); j>i ;
(6) {p_i,p_j }=3,5,7,11,… (две последовательности нечётных простых чисел); p_j>p_i ;
(7) 2m=p_i+p_j (представление чётного числа суммой двух разных нечётных простых чисел);
m=4,5,6,… .
Выберем произвольно натуральное число m (=4,5,6,…).
Воспользуемся теперь доказанным выше утверждением Полиньяка в форме (5)
(8) p_i+2m=p_(i+k) ; p_j+2m=p_(j+k) .
Тогда из равенств (7, 8) получим
(9) 4m=p_(i+k)-p_i+p_(j+k) -; p;_j ; 6m=p_(i+k)+p_(j+k) ;2m=p_i+p_j .
Поскольку выбор числа m был произвольным, выполнение равенств (8), (9) доказывает верность
утверждения.
Примеры: 1) m=4,p_2=3,p_3=5,k=1: 8=3+5, 3+8=11, 5+8=13, 4х6=24=11+13.
2) m=5,p_2=3,p_4=7,k=2: 10=3+7, 3+10=13, 7+10=17, 5х6=30=13+17.
3) m=19,p_4=7,p_11=31,k=7: 38=7+31 (единственное исключительное
представление - начиная с m=8 представления не единственны,кроме случая с m=19),
7+38=45 (не простое число), 31+38=69 (не простое число), 19х6=114=45+69;
в данном случае целесообразно в таблице простых чисел найти пары простых чисел для разности
2m= 38. Известны минимальные простые числа для разностей (интервалов): 36 ;p_i=9551,
44 ;p_i=15683 .