МАТЕМАТИКА АБСОЛЮТА
Несмотря на общепризнанную высокую абстрактность математики, при скрупулёзном подходе обнаруживается проникновение в абстрактный оборот понятий из земной реальности и практики.
Понятия сравнения, подобия, тождества, последовательности, операции, меры, порядка сопровождают формальную логику и математику с самого начала земного проявления, составляя фундаментальное основание обучения, просвещения. Вместе с тем развитие математики связано с повышением уровня абстрагирования, и внутреннее развитие абстрактного знания имеет относительную независимость, существенную самодостаточность и обладает усложняющейся логической структурностью. Вводятся новые обобщающие понятия и убираются прежние ограничения.
Так, введение комплексных чисел решило многие проблемы в основаниях математики ценой отказа от операций сравнения, порядка, последовательности. Гениальные труды Гаусса, Эйлера, Коши, Римана, Вейерштрасса и др. сделали возможным невозможное и чудесное.
Потом появились идеи начертательной и проективной геометрии, принцип двойственности дуальности). Основателем начертательной геометрии и автором многих новых математических подходов был Гаспар Монж. Идея бесконечно далёких точек, в которых пересекаются параллельные прямые, появилась независимо у французского архитектора Жерара Дезарга и у немецкого астронома Иоганна Кеплера. Дезарг даже предложил, что может существовать прямая, состоящая исключительно из бесконечно удалённых точек.
В XIX веке интерес к этой области возродился благодаря трудам Жана-Виктора Понселе (ученика Г.Монжа) и Мишеля Шаля. Понселе вывел проективное пространство из евклидова, добавив прямую в бесконечности, на которой пересекаются все плоскости, параллельные данной, и доказал принцип дуальности. Шаль продолжил и значительно углубил труды Понселе. Позже фон Штаудт создал чисто синтетическую аксиоматизацию, объединяющую эти прямые с остальными.
В конце XIX века Феликс Клейн предложил использовать для проективной геометрии однородные координаты, которые ранее ввели Мёбиус, Плюккер и Фейербах.
Идеи проективной геометрии и принцип двойственной симметрии повлияли на одного из выдающихся основателей квантовой теории в ХХ веке – П.А.М. Дирака.
Затем возникла теория множеств, в которой множество представляется как неупорядоченный набор элементов, среди которых нет дублирующихся. Тут появляются новые операции над множествами: объединение, пересечение, разность, относительное дополнение, дизъюнктивное объединение. Но понятие множества всех множеств приводило к противоречию и замене наивной теории множеств более точно аксиоматизированной. Было введено понятие мощности множества, обобщающее понятие числа элементов, особенно бесконечного числа. Благодаря работам Кантора, Дедекинда, Дирихле, Фреге, Рассела математика получила в виде теории множеств более прочное, но довольно сложное основание.
Труды Анри Пуанкаре, его Analisis citus c 5 последующими дополнениями (1895-2004), отказ от расстояний, величин углов, площадей и объёмов в геометрии, создание алгебраической и дифференциальной топологии привели к математической революции. При этом важна непрерывность деформаций геометрических объектов.
Появление квантовой теории в 20-х годах ХХ века потребовало развития новых математических методов во многих направлениях теории вероятности, статистики, геометрии, алгебры, особенно теории групп симметрии.
Дискретность вернула интерес к парадоксам элеатов (Парменида, Зенона), к счётным бесконечным множествам.
Продолжая эти традиции, мы можем поставить вопрос: а что, если отказаться в основаниях математики совсем от понятия операции, привнесённой концепцией и практикой реальности?
Что, если вместо операции оставить только Воображение как создающее или уничтожающее разные формы реальности, иллюзий явление, такой, не совсем существующий квазиоператор? Реальность определяется лишь как одна из многих форм иллюзии, а иллюзия - как один вид модуса вероятностного существования. В конечном счёте можно отказаться и от этих абстракций.
Тогда покажется, что ничего в «чистом абсолюте» не остаётся. Но это не так. Мы привыкли слишком к процессу, к понятию времени, а следовательно, и к понятиям различных форм появления, исчезновения, существования, в том числе к абстрактным. Даже бесконечность в теории пределов – это процесс. Если отказаться от понятия процесса, останется всё же бесконечность как математический объект. Есть много разных бесконечностей, неупорядоченных, несравнимых, не подвергающихся никаким операциям, не взаимодействующих между собой, причём существующих даже абстрактно с нулевой вероятностью, например, в воображаемых телах, невозможных в каком бы то ни было пространстве или в отсутствие какого-либо пространства. Самоопределённая возможность уникальных сложных конструкций с бесконечностями создаёт чрезвычайно чудный абсолют абстракций с подчёркнуто вечными индивидуальностями. Примером некоторого приближения к этому может служить структура И множества бесконечных чисел (см. «Исчисление бесконечно больших» во втором томе АРИФМЕТИКИ и таблицу аксиоматики на прикреплённом рис.).
И тут диалектика единого и многого приобретает целый спектр проявлений. Идеи Парменида, Зенона, Платона вновь требуют внимания к себе. Дискретность и непрерывность математических преобразований, особенно нелинейных, становятся ключевыми принципами новой физики.
Мы ранее уже отмечали, что именно диофантовы уравнения, конструкции из усложняющихся и ветвящихся поверад могут служить квантованной метрикой многомерного физического пространства. И тогда решения даже линеаризованного приближённого уравнения могут оказаться с удивительными эффектами сингулярностей и бесконечностей. Можно сказать, что серьёзная математика, содержащая высшую арифметику, только начинается. Программы абсолюта оказываются содержащими невозможные чудеса, принципиальные бесконечности и сингулярности. Они затеяли «детскую» игру с пусканием «мыльных пузырей» в виде вселенных.
Мы же идём по пути разгадывания этих загадок.
ABSOLUTE MATHEMATICS
Despite the generally recognized high abstractness of mathematics a scrupulous approach reveals penetration into the abstract circulation of concepts from earthly reality and practice.
The concepts of comparison, similarity, identity, sequence, operation, measure, order have accompanied formal logic and mathematics from the very beginning of earthly manifestation constituting the fundamental basis of teaching and enlightenment. At the same time, the development of mathematics is associated with an increase in the level of abstraction, and the internal development of abstract knowledge has relative independence, significant self-sufficiency and has an increasingly complex logical structure. New generalizing concepts are introduced, and previous restrictions are removed.
Thus, the introduction of complex numbers solved many problems in the foundations of mathematics at the cost of abandoning the operations of comparison, order, and sequence. The brilliant works of Gauss, Euler, Cauchy, Riemann, Weierstrass and others made the impossible and the miraculous events now possible.
Then the ideas of descriptive and projective geometry, the principle of duality were accepted.
The founder of descriptive geometry and the author of many new mathematical approaches was Gaspard Monge. The idea of infinitely distant points at which parallel lines intersect appeared independently from the French architect Gerard Desargues and the German astronomer Johannes Kepler. Desargues even proposed that there could be a straight line consisting exclusively of points at infinity.
In the 19th century, interest in this area was revived according to the works of Jean-Victor Poncelet (a student of G. Monge) and Michel Chales. Poncelet derived projective space from Euclidean space by adding a line at infinity on which all planes parallel to the given one intersect, and proved the principle of duality. Chales continued and significantly deepened the works of Poncelet. Later, von Staudt created a purely synthetic axiomatization that units these straight lines with the rest.
At the end of the 19th century, Felix Klein proposed using homogeneous coordinates (for projective geometry) which had previously been introduced by M;bius, Pl;cker and Feuerbach.
The ideas of projective geometry and the principle of dual symmetry influenced one of the outstanding founders of quantum theory in the twentieth century - P.A.M. Dirac.
Then a set theory arose, and in it a set is represented as an unordered collection of elements among which there are no duplicates. Here new operations on sets appear: union, intersection, difference, relative addition, disjunctive union. But the concept of the set of all sets led to a contradiction and the replacement of naive set theory with a more precisely axiomatized one. The concept of cardinality of a set was introduced, it generalizes the concept of the number of elements, especially an infinite number. According to the work of Cantor, Dedekind, Dirichlet, Frege, and Russell, mathematics received a more solid but rather complex foundation in the form of set theory.
The works of Henri Poincar;, his Analisis citus with 5 subsequent additions (1895-2004), the rejection of distances, angles, areas and volumes in geometry, the creation of algebraic and differential topology led to a mathematical revolution. In this case, the continuity of deformations of geometric objects is important.
The emergence of quantum theory in the 20s of the twentieth century required the development of new mathematical methods in many areas: probability theory, statistics, geometry, algebra, especially the theory of symmetry groups.
Discreteness returned interest in the paradoxes of the Eleatics (Parmenides, Zeno), in countable infinite sets.
Continuing these traditions we can pose the question: what will be if in the foundations of mathematics we completely abandon the concept of an operation introduced by the concept and practice of reality?
What will be if, instead of an operation, only Imagination is left as a phenomenon that creates or destroys different forms of reality, illusions, such a not entirely existing quasi-operator? Reality is defined only as one of many forms of illusion, and illusion is defined as one type of mode of probabilistic existence. Ultimately, these abstractions can be abandoned.
Then it will seem that nothing remains in the “pure absolute”. But that's not true. We are too accustomed to the process, to the concept of time, and, consequently, to the concepts of various forms of appearance, disappearance, existence, including abstract ones. Even infinity in the theory of limits is a process. If we abandon the concept of process infinity will still remain as a mathematical object. There are many different infinities, disordered, incomparable, not subject to any operations, not interacting with each other, and existing even abstractly with zero probability, for example, in imaginary bodies, impossible in any space or in the absence of any space. The self-determined possibility of unique complex structures with infinities creates an extremely wonderful absolute of abstractions with emphatically timeless individualities. An example of some approximation to this is the structure AND of the set of infinite numbers (see “Hyperfine structure of the set of infinitely large numbers” in the second volume of ARITHMETICS and the table of axiomatics on the attached pic.).
And here the dialectic of the one and the many acquires a whole range of manifestations. The ideas of Parmenides, Zeno, and Plato again require attention. Discreteness and continuity of mathematical transformations, especially nonlinear ones, are becoming the key principles of the new physics.
We have previously noted that Diophantine equations, constructions of increasingly complex and branching poverads can be a quantized metric of multidimensional physical space. And then solutions even of a linearized approximate equation can end up with surprising effects of singularities and infinities. We can say that serious mathematic containing higher arithmetic is just beginning. The programs of the absolute turn out to contain impossible miracles, fundamental infinities and singularities. They started a “children’s” game of blowing “soap bubbles” in the form of universes. And we are on the path to solving these mysteries.