Феликс Довжик
Рассказы о математике Часть 1
Постановка задачи
С задачами, школьными, производственными, бытовыми, люди сталкиваются на каждом шагу. Некоторые люди легко справляются с возникающими проблемами, но многим это удается с трудом. Одаренные люди часто не представляют, что другие не понимают в задачах. Другим надо помочь.
Чтоб вокруг проблемы не ходить кругами,
каждый должен бойко шевелить мозгами.
Если не способен, ждет смешная участь –
без таланта трудно даже сделать глупость.
Следствия причин
Нелепо быть морально хилым
и глупо быть слепой совой,
не каждый должен править миром,
но должен управлять собой.
Все дети вырастают, но не все доставляют радость родителям.
Родители могут не заниматься образованием детей. Есть искра божья – найдет свою дорогу и выплывет. Такая точка зрения имеет право на жизнь, тем более что жизнь знает немало тому примеров. Противоположная точка зрения не без греха. Кто может точно угадать, какой талант спрятан в ребенке, а из-за этого можно отправить ребенка не по его природной дороге. Поэтому каждый отец и мать вольны поступать по своему усмотрению. Но в воспитании такого выбора нет. Воспитанием родители заниматься обязаны.
Зачем артисту математика и многие школьные предметы? Географию он взрослым поневоле изучит, знакомясь во время гастролей с гостиницами страны, а историю и литературу не раз пройдет вдоль и поперек – профессия потребует.
Очень известный популярный артист, выступая перед молодежью, признался, что кончил школу на голые тройки. Родители его образованием не занимались. Не усердствуя над школьными предметами, он получил возможность развить в себе способности, которые не нужны школе, но необходимы в последующей профессии.
Родители по-своему оказались правы. Но воспитанием сына они занимались, каким человеком он станет в будущем, их тревожило. Однажды он участвовал в ребячьей драке вместе со старшими товарищами. Тех забрали в милицию, его, пацана, отпустили. Отец поздно вечером, узнав об этом, отправил его в милицию. Был участником команды – вместе со всеми разделяй ответственность за поступок.
Воспитание – дело серьезное. Автор о нем больше не скажет ни слова, а будет говорить о развитии способностей, но развитие способностей неразрывно с формированием трудолюбия, воли и характера, а это – необходимые составляющие воспитания.
Защита позиции
Когда кричат и шепчут в уши,
что лень – порочащий порок,
то нужно, чтоб не бить баклуши,
плевать азартно в потолок.
Не всем людям нужны в жизни прочные знания физики и математики. Есть немало профессий, далеких от этих дисциплин. Но ни в одной профессии не обойтись без трудолюбия. И не только в профессии. В жизни и в быту без трудолюбия неуютно. Хотя надо признать, встречаются талантливые лентяи, которые везде умеют устраиваться, особенно за счет других. Но не о них речь. Талант – штука редкая. Всем остальным смертным, всем, кто хочет достичь в какой-либо сфере аппетитных вершин, без трудолюбия не обойтись.
Трудолюбие – необходимое условие любого успеха, но, увы, не достаточное. Для успеха к трудолюбию, кроме везения, еще много чего должно быть приложено – целеустремленности, воли, характера и тех природных возможностей человека, которые называются способностями или талантом. На одном трудолюбии без способностей далеко не уедешь, но и талант без трудолюбия не состоится. И тому и другому любой наблюдательный человек знает немало примеров.
Развитие способностей предполагает напряжение, приложение упорного труда, а это способствует развитию настойчивости, целеустремленности, способствует тренировке и созданию условий для развития наблюдательности, мышления, памяти, интуиции – всего того, что формирует талант человека и его работоспособность.
Не всем в жизни понадобится математика, но тем, кто не станет в будущем профессиональным спортсменом, артистом или рафинированным гуманитарием, надо, хотя бы немножко, понимать и чувствовать математику, чтобы десять лет школы не прошли в неприятных муках.
Не совсем странная странность
Все путано, сложно и трудно на свете,
и каждый за жизнь перед жизнью в ответе.
Ты можешь грозить кулаком небесам,
но дрязги с судьбою улаживай сам.
Детей учат петь, детей учат танцевать, учат играть на музыкальных инструментах, девочек учат шить и готовить, мальчиков – держать в руках молоток и напильник. А кто учит детей думать? Учитель? Все учителя вместе? Не каждый человек может сказать, что ему встретился учитель, который оказал решающее влияние на всю его последующую жизнь. Гораздо чаще многие учителя вносят свою лепту в копилку способностей, но выходит ли человек после обучения с копилкой, заполненной до отказа?
Учитель учит своему предмету. Сообщает факты, принципы и законы своей дисциплины. Потом экзаменует. Кто запомнил и разбирается, тот способен к предмету, кто путается или не может ответить, тот не способен. А почему не способен? Не учит уроки или не умеет думать?
Есть очень хорошие учителя. У таких учителей ученики побеждают на олимпиадах, поступают в самые престижные вузы и потом из них получаются о-го-го какие работники. Таким учителям повезло. В большинстве случаев, может быть, даже во всех без исключения, им их учителя, репетиторы или родители поставили правильное мышление, как певцу ставят голос, танцору – способность профессионально танцевать, а скрипачу – умение виртуозно работать смычком.
Всего лишь один пример. Известный физик, ученик Ландау академик Абрикосов с благодарностью вспоминал свою маму. В младших классах школы, проверяя, выучил ли он уроки, она заставляла его пересказывать ей вслух каждый предмет. Желая разобраться, понимает ли он предмет или зазубрил, она задавала ему разнообразные вопросы и тем самым ставила ему мышление. К Ландау он уже попал человеком, умеющим думать. Ландау оставалось только подбирать ему задачи, соответствующие уровню его интеллектуального развития.
Если у человека с детских лет не в полной мере развиты способности, в последующем из него получается специалист ограниченных возможностей.
Всему на свете обучить невозможно, но и надобности в этом нет. Если человеку поставлено мышление, он сам вгрызается в гранит выбранной дисциплины или специальности, он сам себя многому научит. Если не поставлено, он все свои способности направит на то, чтобы увильнуть от неприятного предмета, в котором он не улавливает ни смысла, ни логики, ни принципов, ни законов.
Что значит, человек способен к данному предмету? Он умеет думать в образах, в терминах, в понятиях данного предмета.
Например, история. Изучается эпоха татаро-монгольского ига на Руси. Несколько веков соседи-кочевники держали в страхе и повиновении русские племена и совершенно безнаказанно взимали с них, какую хотели, дань. И вдруг Русь избавляется от ненавистного ига. С какой стати? Почему? Что произошло?
Почему столь могущественные недавно завоеватели вылетают из седла, а недавно слабосильные русские племена накачивают мускулы до такой степени, что татары не могут пикнуть, лишаясь лакомого куска?
Изучается древняя Греция и Рим. Бесконечные войны, походы и завоевания. И вдруг оказывается, что в Греции и в Риме в этот период прекрасный театр и прекрасная литература. Почему, отчего, какая муха укусила древних греков и римлян?
Младший школьник еще не в состоянии во всей глубине давать ответы на подобные вопросы. Однако если у него уже сформировано какое-то хотя бы смутное представление, или он способен отвечать на наводящие вопросы и подсказки, значит, он улавливает логику происходящих событий, связывает отдельные известные ему факты между собой – он уже на правильной дороге мышления.
Наивно думать, что каждому можно поставить мышление высокого уровня по любому предмету. Некоторые дети будут этому яростно сопротивляться. Если человек с детских лет увлечен лицедейством, не нужна ему логика математики. Выше допустимой дозы он будет ее отторгать. Есть и другое серьезное препятствие. Не каждый, кому поставят голос, станет известным певцом. Направленность характера может круто разойтись с вектором способностей. Тем не менее, постановка мышления хорошего уровня не повредит человеку любой профессии, а процент выхода способных людей может повыситься. Никакого вреда человечеству от этого не будет.
О чем речь?
Известно и бесспорно: в каждой песне
мелодия – основа всех основ,
но петь ее намного интересней,
когда понятен точный смысл слов.
В весенний разлив человек по бугоркам и камешкам пытается перейти лужу. Бегло окинув взглядом простирающееся перед ним пространство, не прерывая потока мыслей, он начинает движение, примерно наметив направление.
Рассуждает ли он при этом о выборе пути? Скорее всего, нет. Ему достаточна зрительная оценка ситуации. Он идет, но продолжает думать о своем. По ходу движения, не отвлекаясь от мыслей, далеких от путешествия по луже, он принимает решение на какой из возможных камешков или бугорков наступить. Раз он принимает решение, он мыслит, но не словесно-логическим аппаратом, а чувственным (зрительным) с учетом показаний вестибулярного аппарата и костно-мышечной системы.
Вдруг возникает затруднение – слишком велико расстояние до очередного камня, на который предстоит перепрыгнуть. Что делать?
Что с ним происходит дальше? Остановка. Поток мыслей прерывается. Разум спешит на помощь чувственному аппарату. Зрение показывает несколько возможных вариантов передвижения, но каждый из них сомнителен, и какой выбрать? Вот сбоку камень. Его можно поднять и положить перед собой, но он замысловатой формы, на нем можно поскользнуться или оступиться. Вот чурбачок. До него, если постараться, можно дотянуться носком ноги и подтащить поближе. А может вообще вернуться и обойти лужу? Зачем пошел? Зачем рисковал?
В этой ситуации чувственный аппарат работает совместно с логическим. Вместе отыскивается решение. Здесь разум без зрения ничего не даст, а зрение без разума малопродуктивно.
Примерно так совершаются мыслительные процессы в любой сфере деятельности.
Чувства и разум – два инструмента мышления, данные нам природой для жизни и познания окружающего. Их взаимоподдержка и взаимопомощь – основа способностей человека, основа успешной работы в любом виде творчества при решении любой задачи, и чем сложнее задача, тем теснее должно быть взаимодействие чувств и разума. Мастерству взаимодействия надо учить с детских лет. Это самый продуктивный путь.
Посмотрим, как это может происходить.
Потому, что оканчивается на у.
Ждем, что грех наш канет в лету,
но проходит много лет,
дети тянут нас к ответу –
стыдно нам давать ответ.
Лет с трех дети дошкольного возраста начинают задавать бесконечные вопросы почему? Сначала родители охотно отвечают, потом их энтузиазм иссякает. Стоит только родителям закончить ответ на один вопрос или, если ребенок чувствует, что родители собираются закругляться, он тут же задает очередное почему? Уставшим после работы родителям все это быстро надоедает, и они, обескураживая ребенка, выпаливают: «Потому, что оканчивается на у». А одна мама гордилась тем, что надолго вырубала сына известным ответом: «Потому, что перпендикуляр!».
Почему ребенок задает бесконечные почему? Формируется любознательность? Возможно, но более вероятно, что ребенок хочет, чтобы с ним разговаривали, чтобы ему рассказывали. Он еще не может сформулировать просьбу и задает привычный вопрос, когда чувствует, что разговор иссякает. Взрослому надо набраться терпения. С горы санки едут сами, а в гору надо тащить. Беседуйте с детьми, не жалейте времени, оно окупится.
С четырех, с пяти лет вопрос почему можно возвратить ребенку. Он охотно будет отвечать, хотя пока односложно. Засыпайте его вопросами, как он вас когда-то.
– Зачем человеку уши? Нос? Глаза? Зубы? Ноги? Руки?
– Зачем нужны вилки? Ложки? Тарелки? Кастрюли? Сковородки?
– Зачем нужны окна? Двери? Стены? Потолок? Кровать? Шкаф? Стол?
Казалось бы, такие вопросы пустая детская игра, а на самом деле, это более чем серьезно. Эта игра стоит свеч. Заостряя внимание ребенка на всевозможных предметах, вы учите его обобщать пока небогатый опыт и делать выводы, вы формируете его наблюдательность и мышление.
Ребенку трудно сразу рассуждать о парадоксах теории относительности, ему пока легче отвечать на простые вопросы – зачем человеку уши? А сами вопросы можно и нужно из года в год усложнять. Сейчас существует много литературы с подобными вопросами на разные темы для детей дошкольного и младшего школьного возраста. Такую литературу полезно иметь под рукой и регулярно играть с детьми в вопросы, но, чтобы задавать подобные вопросы, вполне достаточно взрослого здравого смысла и опыта.
На любой совместной прогулке можно расспрашивать детей об окружающем с привлечением знаний о собственной профессии и близким к ней – вопросы о транспорте, о дорогах и мостах, о кирпичной кладке домов, о строительстве, о природе, о животных. И вам будет не скучно, и ребенку полезно.
У кого из нас в детстве утомленные житейскими хлопотами родители не прерывали поток вопросов. Родители и старшие братья и сестры – люди, не роботы. Поэтому детские почему могут оканчиваться на у. Ничего трагического в этом нет. Но лучше бы все начиналось с обыкновенного почему. От него больше пользы.
Не всегда от «почему»
спрячешь голову под пледом,
«почему» – бальзам уму,
если занят ум ответом.
Взрослые вопросы для детей
За взрослыми на марше
идет за ратью рать,
чего не знают старшие,
то детям постигать.
Почему у детей велосипеды трехколесные, а у взрослых и у больших ребят – двухколесные?
Почему машина имеет 4 колеса? Можно ли сделать машину на 3-х колесах?
Почему картина висит на одном гвозде, а книжная полка на двух?
Почему зимой батареи горячие, а летом холодные?
На чем держится мост?
Почему вода в реке течет в одну сторону?
Почему потолок окрашен белой краской, а стены заклеены обоями? Можно ли иначе?
Почему туалет и ванная расположены рядом? А можно иначе?
Почему ванная и раковина стоят у стенки?
Зачем нужны окна? Почему в рамы окон вставлены стекла? Почему не фанера? Зачем нужны занавески на окнах?
Почему окна в стене дома? Можно ли окна делать в крыше?
Зачем стекла в книжном шкафу?
Зачем нужен карниз?
Зачем двери в комнатах, в туалете?
Зачем нужен раздвижной стол? Диван? Можно ли не раздвижной?
Почему телевизор стоит на тумбочке, а не на полу?
Зачем нужны электрические розетки?
Почему у люстры лампочки и плафоны направлены вниз? Можно ли иначе?
Зачем чайнику носик? Почему он высокий?
Зачем нужны кастрюлям и чайнику крышки? Зачем нужны кастрюлям, чайнику и кружке ручки? А почему стакан без ручки? Зачем нужен подстаканник?
Какой лопатой легче копать землю: с железным штыком или с деревянным? А снег убирать?
Почему у топора и молотка деревянная ручка? Может ли быть железная?
Зачем нужен половник?
Почему у вилки острые зубья?
Почему у вилки много зубьев, а не один зуб?
Сколько зубьев у шила?
Бывают ли ложки с дырками?
Зачем нужна терка?
Зачем нужно много ножей?
Зачем в ванной и на кухне нужны краны?
Почему на кухне нет душа?
Двери открываются на себя и от себя. А можно вбок? Где такие двери?
Из чего делают посуду?
Можно ли холодильник повесить на стенку?
Можно ли хранить продукты на балконе?
Зачем в кухне и в ванной отверстия с решетками на них? Зачем отверстия? Зачем решетки?
Зачем на мосту перила?
Почему на дороге не растут деревья?
Почему на подъемном кране кабина вверху, ведь забираться туда неудобно?
Где на корабле капитанский мостик?
Где во время боя находится командир?
Как должны вести себя дети на пожаре? А взрослые?
Почему брюки на ремне? Можно обойтись без ремня?
Почему носки держатся на ноге?
Зачем нужна разная обувь и одежда?
Можно ли делать ботинки с коньками, с лыжами, на колесиках, с шипами?
Как быть, если человек плохо видит? Плохо слышит?
Можно ли шапку делать железной или пластмассовой?
Как одеваются пожарники? Почему они не в плавках, если жарко? Зачем нужен противогаз?
Зачем ремешок или браслет к часам? Как иначе носить часы?
Как укрыться от дождя? В лесу? В городе?
Зачем нужен бинокль?
Зачем для авторучки колпаки?
Зачем ручки для двери?
У кого из людей самая большая шапка?
Кто ходит вверх головой?
Кто ходит головой вперед?
Кто плавает головой вперед?
Каких камней не бывает в реке, в море?
В чем хранят крупы, сахар?
В чем хранят жидкость?
Что нужно человеку для жизни?
Зачем жилье и комнаты?
Зачем нужно учиться?
Зачем родители, друзья, книги?
Как перейти или переправиться через реку?
Чем и как гасить огонь?
Как пройти по снегу?
В каком возрасте человек может обходиться без зубов?
У слона хобот, у птицы крылья. Нужны ли слону крылья, а птице хобот?
И т. д.
Вопросы-задачи
Нет проблем – и нет нужды
на себе возить дрова,
но вопросы нам нужны,
чтоб варила голова.
Во многих задачах ошибки возникают из-за невнимательности и из-за попыток сразу применить логику (рассуждение), а надо – воображение и представление.
Сначала надо учить видению, потом рассуждению.
Сначала надо видеть, потом рассуждать!
На дереве сидели три вороны. Одну охотник убил. Сколько ворон осталось на дереве?
(Ни одной, если убитая не зацепилась за сук. Две улетели).
На березе растут три яблока. Одно яблоко ветер сорвал. Сколько яблок осталось?
(На березе не растут яблоки. На березе яблок не было и нет).
На березе висят три яблока. Одно яблоко ветер сорвал. Сколько осталось?
(На березе яблоки висеть могут, их привязали, как конфеты на елке. На березе осталось два яблока, одно на земле).
Зайчик спит или гуляет? (Все пальцы, кроме одного, обращены к ребенку).
Какой палец спрятан?
Зайчик спит или гуляет? (Ладони зайчиком к ребенку).
Какой палец спрятан?
На поляне сидели три зайца. Вдруг – бабах! Охотник выстрелил и промазал. Сколько зайцев осталось?
(Ни одного. Все зайцы дали стрекача и скрылись).
С одной стороны очень узкой дороги забор, с другой глубокая канава. По дороге едет грузовая машина. К какой стороне дороги лучше примкнуть пешеходу?
(Лучше угодить в канаву, чем быть прижатым к забору машиной).
Шляпа плывет по реке, по течению. А если подует сильный ветер? В каком направлении поплывет шляпа?
Как перейти болото?
(На очень широких лыжах, не поднимая ноги с лыжей, а волоча ее).
Что прежде всего надо делать, когда принимаешь ванну?
(Проверить температуру воды).
Возле светофора, на котором горит красный свет, находится велосипедист, мотоциклист и автомобиль. У кого больше скорость?
Как найти середину веревки?
Как найти середину палки?
Есть два камешка. Как определить, какой тяжелее?
Мальчик встал двумя ногами на весы. Весы показали его вес – 20 кг. Сколько он будет весить, если будет стоять на весах на одной ноге?
Дедушкины яблоки
Кто от кого на свете?
Из маленьких – парни, девчата,
нас делают взрослыми дети
и снова детьми – внучата.
Дедушка дал двум внукам конфеты. Один съел три конфеты, другой две. Сколько конфет съели внуки?
Дедушка дал внукам задачи. Один внук решил три задачи, второй две. Сколько задач решили внуки?
Дедушка дал внукам яблоки: одному три, другому два. Сколько яблок съели внуки?
Дедушкины яблоки с кислинкой, отнестись к ним надо с долей разумной осторожности.
В первой задаче бесспорно, что съедено пять конфет, но в задаче напрашиваются дополнительные вопросы. Если конфеты разных сортов, можно посчитать, что три конфеты одного сорта равноценны двум другого, и дети поделили их без конфликта. Если конфеты одного сорта, то почему они не поделены поровну? Более справедливо было бы, если бы каждый съел две с половиной конфеты. Оправдать внуков может только то, что конфеты были разделены мирно по обоюдному согласию.
Вторая задача не решается простым арифметическим действием на сложение. Ответ на вопрос, поставленный в задаче, зависит от того, какие задачи решил второй внук. Он мог решить две из числа тех, что решил первый внук, мог решить две задачи, которые не решал первый внук, а мог решить одну, за которую не брался первый внук, и одну, которую тот решил. В итоге внуки совместно могли решить три, четыре или пять задач.
Наконец, задача с яблоками. Она тоже не решается арифметическим сложением. Достоверно известно, что внуки получили пять яблок, но не факт, что все яблоки они съели. Они могли вообще не есть яблоки, а могли съесть пять штук или любое количество от нуля до пяти.
Ехал грека через реку
Темно в полях бескрайних,
пока не вспыхнет луч,
а жизнь скрывает тайны,
пока не найден ключ.
Ехал грека через реку. На чем ехал грека?
С точки зрения математики задача не корректна. В математике корректной или правильной считается задача, решение которой определяется однозначно. В поставленной задаче нет четких данных для однозначного решения. Но жизнь – не математика. В жизни чаще всего приходится решать задачи с неполной информацией, искать ответ и направление, когда условия не определены, а выбор путей многообразен. С точки зрения жизни вопрос про грека – примитивная задача в ряду тех, с которыми люди ежедневно и ежечасно сталкиваются на своем пути.
На чем ехал грека? Если глубоко задуматься на данном мелком месте, то у грека были всего четыре возможности. Он мог ехать под водой, по воде, над водой и по воздуху.
Под водой он мог перемещаться вплавь, если глубоко нырнул и если хватит запаса воздуха, с аквалангом и, наконец, на подводной лодке. Никто ему этого не запретил.
По воде он мог перемещаться на бревне, на плоту, на байдарке, на любом плавсредстве, которое способно пересечь водную преграду.
Над водою он мог ехать по мосту, и тут годится любое городское или сельское средство передвижения – трамвай и телега, собачья упряжка, лошадь, танк, автомобиль, сельскохозяйственная самоходная машина – трактор или комбайн.
По воздуху он мог пролетать на воздушном шаре, на вертолете, на любом летательном аппарате, способном нести какой-нибудь груз.
А если применить тонкости языка, можно наложить какие-то ограничения. Грека ехал, а по воздуху летят. По воде плывут или ходят, как иногда выражаются люди, близкие к водной стихии. Остается перемещение по мосту. А если еще согласиться с юным возрастом грека, то, скорее всего, он ехал по мосту на обыкновенной палке, подгоняя своего коня тонким прутиком. Это вполне нормальное решение. Хуже, если человек тупо смотрит на условие данной задачи и не может понять, что к чему. Но и это не страшно, если есть умудренный опытом старший товарищ, который поможет догадаться, как анализировать задачу и как ее решать, а дальше после нескольких примеров грека сам одолеет реку, если перед ним не поставят шлагбаум и не закроют ему светофор.
Рукотворное мастерство
Бездумно ссоришься с врагами
и машешь грозно булавой,
а вещь не сделаешь руками,
пока не влезешь с головой.
Отец автора ничего делать руками не умел. Я с давних времен осознал, что это не является серьезной порочащей характеристикой человека, но и достоинством быть не может.
С детских лет я любил всевозможные инструменты и занятия с ними. Но ничто не появляется из ничего. Если покопаться в моей биографии, то этому парадоксу отыщутся причины. Во время войны в эвакуации мы жили у очень хозяйственного и мастерового старика. Его самого я помню смутно, а кое какие его занятия хорошо помню. По рассказам мамы, он все умел, каждую свободную минуту что-нибудь строгал или чинил и все сельскохозяйственные и бытовые работы выполнял мастерски.
Когда я учился в младших классах школы, нашими соседями оказались два мужика. Один из них помимо основной работы был, по моим представлениям, хорошим плотником и столяром, другой – умелец по металлу и часовой мастер. Игрушек в то время не было, играли тем, что находили на улице. Годы-то были послевоенные. Даже если бы в наш городишко завезли игрушки, кто бы из родителей потратил на них деньги – у людей копейки лишней на самое необходимое не было. Поэтому инструменты сказочно завораживали. Когда у меня появилась возможность, я стал их приобретать.
Рукотворное мастерство по-своему очень интересно. Всевозможный ремонт бытового оборудования подручными средствами с малыми финансовыми затратами развивает изобретательность. Когда, используя старье и хлам, оживишь или создашь нужную нестандартную вещь, еще и удовольствие получаешь неописуемое. Поэтому я своему сыну с четырех лет разрешил играть всеми инструментами, кроме шила, и не только разрешил, а создал условия, чтобы он имел к ним свободный доступ.
В квартире появился солидный чурбан, в который можно было заколачивать гвозди, и который сын использовал как верстак и наковальню. Моя затея вызвала гнев и возмущение старшего поколения, особенно, как ни странно, возмущались оба дедушки. Ладно бы мой отец. У него в руках любой инструмент оказывался источником всевозможных травм, но и тесть, человек изрядно мастеровой, встал на дыбы. Ну что могут сделать ребенку инструменты при разумном их использовании? Молотком ударить по пальцу? Случалось такое. Сын в следующий раз пыхтел старательнее и осторожней.
Я объяснил ему назначение каждого инструмента, показал, как пользоваться, и чем он опасен. Дал потрогать острые лезвия стамесок и рубанков, несколько раз следил за ним и поправлял его, а когда он в достаточной степени все усвоил, стал ему доверять. Действительно, ничего страшного не произошло, никаких травм не было. Но деды наседали на меня долго, обижались и злились, что не могут сломить мое упрямство. К счастью, моя Валентина, молча выслушивала их упреки, но была на моей стороне. Инструментальные войны стали постепенно затухать.
Прошло несколько лет. Однажды тесть, глядя на играющего внука, говорит мне:
; Ты посмотри, как он ловко и правильно работает инструментами.
; А что же вы меня когда-то за это ругали?
Тесть обиделся. Мне бы не давать воли злопамятности. Люди не любят, когда им припоминают старые промахи. Каждый считает себя во всем правым, а если где-то что-то не так, об этом помнить не хочется.
Еще одно замечание о роли глубокого детства. Долгие годы я не понимал, почему мои самые любимые цветы – маки. Оказалось, что во дворе дома, в том небольшом городке, где я появился на свет и провел пару первых лет жизни, каждое лето цвели маки. Потом у меня с ними была разлука на несколько лет, снова встреча, о которой я тоже не помню, и снова разлука. В зрелые годы и на склоне лет я могу пройти равнодушно мимо цветов, но маки я замечаю всегда.
Несправедливая дележка
Каждый деток, войдя в раж,
учит понемногу,
каждый строит свой шалаш
и свою берлогу.
Задается ребенку задача. У тебя пять конфет. Раздели их на две кучки. Сколько может быть вариантов? Варианты: 1-4, 2-3, 3-2, 4-1 отыскиваются легко. Два варианта, ради которых задана задача, потеряны. Варианты с нулем 0-5, 5-0 кажутся нелепыми. Но!
Та же задача задается иначе. Мальчик наелся конфет. Больше есть не хочет, а у него осталось еще пять конфет. Как раздать эти конфеты двум мальчикам?
Задача имеет несколько дополнительных условий.
1. Один из мальчиков хороший друг, а второй драчун и обидчик. Скорее всего, один из мальчиков получит все пять конфет, второй не получит ничего – получит ноль. Ноль обретает реальную жизнь. Вариант дележа 0-5 или 5-0 становится осязаемым. С точки зрения математики, на этом задачу можно было бы закончить. Цель задачи достигнута. Но задача может послужить основой для полезных бесед на житейские темы. Для этого стоит рассмотреть другие ее варианты.
2. Оба мальчика – два равноценных друга. Как поделить? Варианты 3-2 или 2-3 не подходят. Даже если один из друзей ближе, такая дележка ведет к обидам. 2-2 и себе оставить одну – нормальный вариант, чтобы обид не было. А можно одну конфету разломать пополам и раздать – совсем хорошо. Сколько каждый из друзей получит? Две с половиной. На горизонте появились дроби – очень полезно для последующего постижения математики. Разбор следующего варианта полезен с точки зрения психологии и постижения человеческих отношений.
3. Как разделить, если один друг лучше другого? Безусловно, хочется по вкладу каждого в дружбу и кажется, что это будет справедливо. Но! Обиды неизбежны и нужны ли они? Искать ответ – вторгаться в проблемы воспитания. Поэтому оставим решение задачи на усмотрение родителей.
Бесконечные сливы
Когда необъятное нам не объять,
тогда необъятное надо понять.
И если мы мыслью охватим и взглядом,
тогда необъятное станет объятым.
Понятие бесконечности – непростое для детей понятие, так же как понятие нуля. Следующая несложная задача помогает увидеть, что с математически бесконечным процессом можно встретиться в обыденной жизни.
Предварительная задача.
Мама положила на блюдце пять слив и сказала сыну, что он должен съесть три сливы и идти на прогулку, а она доложит две сливы. После прогулки сын съест три сливы и снова уйдет гулять, а она опять доложит две сливы. Так будет продолжаться до тех пор, пока после очередного прихода сына на тарелке не останется слив. Тогда мать не станет подкладывать. Сколько слив съел сын? Сколько слив добавила мама? Сколько раз сын ел сливы?
Было пять слив. Мальчик съел три, на блюдце остались две сливы, мама добавила еще две. На блюдце теперь четыре сливы. Второй раз мальчик ест сливы. Остается одна, мама добавляет две. После третьего прихода мальчика на тарелке ноль слив. Все. Съедено девять слив за три приема. Было пять слив, мама добавила четыре.
Основная задача.
Мама положила на блюдце пять слив и договорилась с сыном, что он будет съедать по три сливы и уходить на прогулку, а она после его ухода будет добавлять сливы. Он будет возвращаться, съедать три сливы и снова уходить на прогулку, а она будет добавлять сливы, пока после очередного прихода сына на блюдце не останется слив. Мальчик съел три сливы и ушел, а мама попросила бабушку каждый раз после его ухода добавлять по две сливы. Бабушка точно выполняла просьбу мамы, но после бабушки каждый раз до прихода сына отец съедал одну сливу, а добавлял две. Сколько слив мама хотела дать сыну? Сколько слив должна была добавить бабушка? Сколько слив в итоге съел сын? Сколько слив съел папа?
Было пять слив. Мальчик три съел. К двум оставшимся бабушка добавила две. Стало четыре сливы. Папа одну съел, две добавил. Стало пять слив. Дальше все начинается сначала – процесс становится бесконечным, но в жизни математически бесконечные процессы имеют свое завершение. Или кончились сливы, или мальчик наелся вволю, или у него заболел живот, или, как это часто в жизни бывает, вернулась мама, отругала папу и прекратила это безобразие.
Белка в колесе
Еще одна возможность столкнуться с бесконечным процессом.
Белка прыгает в колесе – большой барабан со спицами-прутьями, которые служат белке в качестве ступенек. Когда она наступает на ступеньки, барабан легко прокручивается. Ступеньки все помечены от первой до тридцатой. Белка начинает прыгать с первой ступеньки и прыгает через одну ступеньку (с первой на третью). Когда она попадет на четвертую ступеньку? Когда попадет на четвертую ступеньку, если ступенек 31?