Духовность и математика

 
Духовность как свойство души, состоящее в преобладании нравственных и интеллектуальных интересов над материальными, определяется не только (и не столько) религиозными воззрениями индивидуума.

Более того, вся история цивилизации показывает, что истинная  духовность связана вовсе не с религией.


1. КРИТЕРИЙ ДУХОВНОСТИ. Согласно теологическим воззрениям религия считается, как одно из наиболее глубоких проявлений духа.

Однако в теологических необходимых (и достаточных) условиях  духовности фактически не упоминается ни Бог, ни какое-либо другое высшее существо.

Например, религиозный философ И.А. Ильин [1]  считал критерием  духовности индивидуума следующие факторы:

 «Духовен человек постольку:
1) поскольку  он  живет  внутренним опытом,  а  не  только и  не просто внешним, телесно-чувственно-материальным;

2) поскольку  он  умеет  отличать  -  нравящееся,  приятное,  дающее наслаждение  от  того,  что  на  самом  деле  хорошо,  объективно-прекрасно, истинно,  нравственно, художественно,  справедливо, совершенно,  божественно и

3) поскольку он, различая эти два ряда ценностей,  умеет прилепляться к совершенному, предпочитать его, насаждать его, добиваться его, служить  ему, беречь   его   и   в   случае   надобности  умирать   за   него» ([1], с. 31).

По всем этим пунктам «религиозный» индивидуум, т.е. лицо, организованно поклоняющееся высшим силам, совсем не обязательно является духовным, в то время как, творчески занимающийся математикой, безусловно, духовен.

Действительно, творческий математик живет внутренним опытом, для его творчества внешний телесно-чувственный опыт вообще не имеет никакого значения. По пункту второму критерия Ильина духовный человек должен отличать истинно прекрасное от ложно красивого.

 Математические способности индивидуума характеризуется, в первую очередь,  способностью чувствовать  нетривиальное; точнее, умением отличать  тривиальное от действительно объективно-прекрасного, выдающегося и, в какой-то степени, божественного.

Разворачивание математической конструкции вызывает особое чувство прекрасного, именно оно и является важнейшим психологическим стимулом к занятиям математикой. Как всякая истинная красота, математическая структура обладает особым, магическим обаянием. Это обаяние создает ощущение прикосновения к тайне, и вызывает поистине религиозный восторг.

«Истинная математика – это подлинная стихия мага. Истинный математик есть энтузиаст per se. Без энтузиазма нет математики. Жизнь богов есть математика. Чистая математика – это религия <…> Алгебра – это поэзия [2] » ([2], с. 153).

 Истинный математик готов отдать всю свою жизнь поиску математической истины, т.е. поиску настоящего совершенства.

История изобилует примерами, когда, профессионал или математик-любитель выполняет тысячи сложнейших вычислений; в течение десятилетий, а то и всей жизни ищет математическую истину, т.е. добивается возможности лично прикоснуться к прекрасному, служит  ему и отдает жизнь этому блистающему и волшебному миру.

Можно сказать, что математика захватывает индивидуума всего, целиком.

Это узы  « ... которые овладевают нашей мыслью, подчиняют себе наши убеждения и к которым разум приковывает нашу совесть,- это узы, из которых нельзя вырваться, не разорвав своего сердца, это демоны, которых человек может победить, лишь подчинившись им» ([3], с. 118).

Сами понятия «духовное» и «душа» обязаны своему происхождению именно математике, которая сложилась как наука в шестом веке до новой эры в союзе пифагорейцев и фактически была частью их религии.

Именно в этой математической религии и появилось впервые понятие о душе как особой силе, обитающей в теле человека и животного (иногда и растения) и покидающей его во время сна или в случае смерти. Пифагорейская система мира содержала как составную часть учение о переселении душ — метемпсихоз, т.е. представление о перевоплощении души после смерти тела в новое тело какого-либо растения, животного, человека, божества.

Согласно этому учению частицы божественного огня уносятся в холодные и темные сферы мирового пространства: они спускаются от Олимпа и от солнца, все освещая, согревая и оживляя своим движением: это — души всего живого, обладающие божественною, небесной природой. Проникая в человеческие тела, они оживляют их, сообщают им гармонию, здоровье, разумность; но стремление к небесному жилищу живет в них, и тело является как бы темницей духа, отягощая его, оскверняя и затемняя его свет.

Очищаясь от материальной скверны, душа возвращается к богам — или, наоборот, еще глубже погружается в низшие сферы дурного, беспредельного, материального бытия, возрождаясь в животных формах.

Теорией создатели математики называли священное посольство, отправляемое полисом для почитания богов в их святилищах; теоремой   же называлось само божественное зрелище, раскрывавшееся перед глазами зрителей, когда незримое божество подавало людям свои знаки.

Математические науки изобретены пифагорейцами для вспоминания о божественном; посредством этих наук как образов они пытались осуществлять возвращение к божественному.

«Золотые стихи» Пифагора являются, по существу, первыми формулировками будущих религиозных (христианских) заповедей. Безусловно, в формировании духовности важную роль играет воспитание молодого поколения, а одно из основных положений скаутизма [3]  буквально заимствовано  у Пифагора ([4], стр. 17):


В успокоительный сон не должно тебе погружаться,
Прежде чем снова не вспомнишь о каждом сегодняшнем деле:
В чем провинился? Что мог совершить? И чего не исполнил?
Перебери все в уме, начиная с начала и после.
Радуйся добрым делам и себя укоряй за дурные.


Таким образом, математика и религия с момента своего зарождения никогда не были враждебны, можно сказать, что это союзники, которые были призваны предначертать  назначение  человека.

Математика и религия не только не враждебны, а находятся в родственных отношениях.
Правда, математика, в отличие от своей дочерней производной, никогда не носила человеконенавистнического характера, присущего в той или иной мере любой религии,  и не являлась первопричиной кровопролитных войн и исчезновения государств и народов, что так же присуще любому религиозному учению.

В математике лишь один символ – «маленькую стрелку» можно (с большой натяжкой) считать символическим орудием убийства, в то время как, например, в христианстве, именно недвусмысленный образ орудия убийства является основополагающим символом (и называется символом «спасения»).

То, что христианство – действительно человеконенавистническое учение (именно за человеконенавистничество "гуманист" император Нерон  сжигал и отдавал на съедение диким зверям первых христиан) легко понять с помощью следующего примера.

Если бы Христа не распяли, а повесили, то вместо распятия в быту христиан красовалась бы Г-образная (или П-образная) виселица,  на веревочке  которой болтается "спаситель".

На крестах уже давно не распинают, а вот виселица и в наше время  – чёткий символ смерти.

На шее у христиан висели бы не крестики, а маленькие виселицы, а виселицы побольше красовались бы на куполах церквей и соборов.

П-образная виселица спасителя смотрелась бы явно хуже, хотя "висельные христиане", наверняка выкрутились бы: ставили бы, например, такой "символ христианства" сразу на двух куполах.

Скорее всего, на груди христиан и на куполах церквей располагались бы  буквы Г с подпорочкой наискосок.

Кладбища, естественно, заполняли бы не кресты, а небольшие (пригодные для казни  карликов) виселицы.

Проповеди и поучения христианских висельников  выглядели бы примерно так:

"Виселица – это не только знак христианина, это оружие, отгоняющее злую силу. Господь во время виселичных страданий оставил на Виселице свет и любовь, поэтому от Виселицы излучаются лучи благодатного света и Божественной любви. Благодатный свет, от Виселицы исходящий, жжет злобную темную силу ...

Когда мы лобызаем свою виселичку на шее, то лучи благодатного света и Божественной любви проникают в наш характер, в нашу совесть, в нашу душу и сердце."

А известная фраза из кинофильма звучала бы так: "Вот что виселица животворящая делает".

И крестоносцы назывались бы виселиценосцы, и соответственно походы были бы не крестовые, а висельные.

Отметим, впрочем, что такая ситуация в принципе невозможна. Повешение в то время было  не самой  позорной казнью, а символ христианства - крест -  не просто символизирует смерть, это символ самой позорной смерти.

В математике отсутствует агрессивность, присущая тому же христианству, отчетливо, выраженная, например, в [5]: «Христианство   не   может    быть изолированно  от  мира,  и  оно  продолжает  в нем движение, не отделяясь и оставаясь в мире, должно быть победителем  мира,  а не быть побежденным».




2. КРАСОТА СПАСЕТ МИР. Математика, зародившись как религиозное учение, имела одну и отчетливую цель — это был путь слияния с божеством через постижение высшей гармонии мира, выраженной в гармонии чисел и геометрических фигур.

«Вскормленные на этих науках,  – они признали математические начала за начала всего существующего. Из таких начал, естественно, первыми являются числа.

В числах усматривали они множество аналогий или подобий с вещами... так что одно свойство чисел являлось им как справедливость, другое — как душа или разум, еще другое — как благоприятный случай и т. д.

Далее они находили в числах свойства и отношения музыкальной гармонии, и так как все прочие вещи по своей природе являлись им подобием чисел, числа же — первыми из всей природы, то они и признали, что элементы числа суть элементы всего сущего, и что все небо есть гармония и число» ([6], книга 1,  глава 8).

 Таким образом, пифагорейские числа имеют не простое количественное  (или порядковое) значение: если для нас натуральное количественное число – это сумма единиц, то для пифагорейцев оно есть именно  та сила, которая суммирует эти единицы в определенное целое и сообщает ему определенный свойства.

Рассмотрим два примера таких божественных свойств.

Натуральное число пифагорейцы  назвали совершенным (красивым), если оно совпадает с суммой своих собственных делителей. Например, число 6 совершенно: 6=1+2+3. Число 28 – тоже совершенное: 28=1+2+4+7+14, а, число 10 - не совершенно: 10 не равно 1+2+5.

Согласно учению Пифагора совершенные (красивые) числа являются основой мира. Например, государство с некрасивым числом членов высшего органа управления (боярской думы, государственного совета, парламента, сената  и т. п.) – обречено на вымирание, не спасется: лишь  красота спасет мир [4] .

Все найденные в настоящее время совершенные числа оказались чётными. Существуют ли нечётные совершенные числа пока неизвестно.

Красота (она же совершенство) не может быть чем-то ограничена. Иначе говоря, множество совершенных чисел должно быть бесконечным. Это утверждение, высказанное ещё в VI веке до Р.Х., не доказано и не опровергнуто до сих пор [5].

Одновременно с задачей о совершенных числах появилась и задача о дружественных числах.

Два числа называют дружественными, если сумма собственных делителей одного числа равна другому числу. Так случилось, что пары дружественных (даже не очень больших) чисел находились с большим трудом. После первой пары (220 и 284), известной древним грекам, до нахождения следующих трех пар прошли более двух тысяч лет.

Современная  вычислительная техника позволяет сравнительно легко находить все пары дружественных  чисел в достаточно больших отрезках натурального ряда.  Например, 220–284, 1184–1210,  2620–2924,  5020–5564, 6232–6368, 10744–10856, 12285–14595, 17296–18416, 63020–76084 – пары дружественных чисел, которые компьютерный вычислительный пакет Maple с помощью простенькой программки, использующей функцию сигма(n), находит в течение долей секунды.

Среди выданных машиной результатов естественно,  появятся и совершенные (можно сказать "самодружественные") числа.

Разумеется, древние греки, – а позднее  и математики средневековья – придавали дружественным числам особый, божественный смысл (тем более  что система обозначения чисел первоначально основывалась на алфавите, и давала возможность для спекуляций с числами, связанными с записью имен людей, названий городов, стран и т.п.). Рекомендовалось использовать дружественные числа при вручении взяток чиновникам, при любовной магии [6]  и других житейских ситуациях.

Основная задача, впрочем, для дружественных чисел такая же, как и для совершенных  чисел – конечно или бесконечно множество дружественных чисел?  Ответа на этот вопрос пока нет.

ЗАДАЧИ БОГОВ. Выдающихся достижений достигла античная математика и в области геометрии. Разумеется, изучение геометрических закономерностей так же носило религиозный характер. Все построения полагалось производить только геометрическими инструментами богов – циркулем и линейкой.
Сами же задачи на построение циркулем и линейкой, естественно, были поставлены самими богами. Впрочем, боги почему-то поставили заведомо неразрешимые задачи.

Среди математических задач, наиболее широко известных и не в математической среде, являются «знаменитые задачи древности» (их еще называют «классическими задачами на построение»). Под этим названием обычно имеет в виду следующие задачи:

1) построить с помощью циркуля и линейки ребро куба, объем которого в два раза больше данного (задача об удвоении куба);

2) с помощью циркуля и линейки разделить угол на три равные части (задача о трисекции угла);

3) разделить окружность на n равных частей (задача о построении правильного многоугольника);

4) построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга (задача о квадратуре круга).

Решение классических задач в течение многих столетий пытались получить как профессионалы, так и математики-любители.

В восемнадцатом веке число таких любительских «решений», представляемых в научные учреждения стало столь значительным, что профессионалы устали разыскивать ошибки в этих рассуждениях, а Парижская  академия наук решением  от 1775 года  постановила:  «...Отныне и впредь не рассматривать представляемых решений  задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга».

Задача об удвоении куба имеет свою историю. Однажды на острове Делос, находящемся в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители обратились за помощью к оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах. Дельфийский оракул предложил удвоить жертвенник богу Солнца – Аполлону. Жертвенник этот, отлитый из чистого золота, имел форму куба, а ребро нового, удвоенного куба, следовало построить с помощью божественных инструментов – циркуля и линейки.

Впоследствии оказалось, что эта задача неразрешима.

В задаче о трисекции угла требуется с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равные части, построить трисектрису.
Конечно, для некоторых частных случаев такое построение возможно. Например, чтобы разделить на три части угол в 180 градусов, нужно построить угол в 60 градусов, а это угол при вершине правильного треугольника.

Однако  в общем виде для произвольного угла  задача неразрешима.

Возможно, что своему возникновению задача обязана аналогии с делением отрезка на равные части. Деление отрезка на три равные части не представило никаких трудностей. Тем же способом, используя теорему Фалеса,  легко разделить отрезок и на n  частей.

По-видимому, первоначально задача с делением угла была задачей общего вида – разделить угол на n  частей, но решение проблемы застопорилось сразу же для  n=3.

В общем виде построение трисектрисы инструментами богов оказалось невозможным. Например,  угол в 60 градусов разделить с помощью циркуля и линейки на три равные части нельзя.
Также неразрешима в общем виде и задача о построении правильного n угольника; уже для n = 7 такого построения не существует.

 Задача  о квадратуре круга сводится к  спрямлению окружности, то есть к построению отрезка, длина которого равна длине данной окружности.
Что именно в этом и состоит  вся трудность проблемы  о квадратуре круга, в средние века была известно и в гуманитарной среде.  Даже великий Данте, не устоял перед обаянием  этой задачи.

Как геометр, напрягший все старанья,
Чтобы измерить круг, схватить умом
Искомого не может основанья…
(Божественная комедия, Рай, XXXIII, 133-135)

Оказалось, однако, что окружность не спрямляема с помощью циркуля и линейки: задача о квадратуре круга неразрешима.

Отметим принципиальное различие рассмотренных  арифметических и геометрических задач.
Решение всех геометрических задач найдено: получены  доказательства, что требуемое построение невозможно [7] .

Решение арифметических задач  не найдено до сих пор: ответы на эти вопросы  за прошедшие более двух с половиной тысяч лет не получены. Даже в этом (отрицательном) факте есть что-то необъяснимое рассудком (может быть, нечто божественное).

Поставленная античными математиками высочайшая цель – приблизиться к божеству посредством  постижения гармонии мира,  дала им силы, необходимые для научного подвига, равного которому в истории человечества нет. Руководимые столь высокой целью, пифагорейцы не только открыли прекрасные арифметические и геометрические теоремы, они  создали саму математику.

Однако доказательная математика (с аксиомами, теоремами и доказательствами) родилась явно после юриспруденции: это там в теории права впервые появились слова "доказать", "обосновать" и по существу возникло понятие аксиомы.

В юриспруденция роль аксиомы исполнил закон. Dura lex, sed lex.

То, что математика - это не наука бухгалтеров и счетоводов, в гуманитарной среде всегда понимали плохо.


4.  БОГ СОТВОРИЛ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. Стоит отметить, что хотя числа, возможно,  и не играют особой роли для общения с богом, как считали античные математики, но переоценить их значение для самой математики невозможно.

Самое загадочное обстоятельство состоит в том, что при любой аксиоматизации целых неотрицательных чисел возникает проблема непротиворечивости теории.

Выход из ситуации лишь один – поверить на слово (тому, кто дал нам эти числа), что теория целых неотрицательных чисел непротиворечива.

«Der liebe Gott schut die ganze Zahl, alles ;brige ist Menschenwerk [8] » (Л. Кронекер [7], с. 13 ).


5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И РЕЛИГИОЗНОЕ МЫШЛЕНИЕ. Математика не отличается радикально от других форм культурной деятельности. Однако ее объекты более абстрактны, в ней происходит отвлечение от большего числа случайных свойств. Как говорил Платон, в ней больше от познания чистого бытия и меньше от мнений о предметах видимого мира, в ней «как бы грезят о сущем».

Поэтому в математике ясно различимы закономерности, хотя и универсальные, но лишь смутно видимые в других областях.

Стиль же математического мышления сходен с религиозным, и состоит в поиске первопричины всего сущего.

В математике поиск первопричины реализовался в аксиоматическом  методе построения теории. Отметим, что авторы библии явно были знакомы с «Началами»  Евклида.

У Евклида последняя из аксиом геометрии (двенадцатая по счету, так называемый «пятый постулат») по формулировке резко отличается от всех остальных и более похожа не на аксиому, а теорему, которую можно доказать, т. е. вывести логически их остальных [9] . Но точно также выглядит и десятая христианская заповедь [10] : необычно длинная  формулировка и почти очевидная следственная связь из остальных заповедей (аксиом христианства).

Смысл странной фразе о "верблюде, проходящем сквозь игольное ушко" становится совершенно понятным, если её трактовать как одну из аксиом евклидовой геометрии (аксиома Паша о трёх точках и прямой на плоскости).

Кстати, это далеко не единственный пример странного совпадения текстов «Начал» и «Библии», и неожиданно ясного геометрического толкования непонятных положений Библии; поэтому, возникшая несколько лет назад гипотеза о том, что авторские коллективы Библии и «Начал» совпадают, по-видимому, не лишена основания.

Развитие такой гипотезы может привести и к доказательному выводу, что Евклид и Христос – это одно и то же лицо (реальное или мифическое).

Особенностью математического (и религиозного) мышления является создание и использование параллельных миров. Замена изучаемого объекта его изоморфной копией – один из основных приемов математического исследования. Создание мира, параллельного человеческому бытию, но в чем с ним с ним сходному, - основа почти любого религиозного учения.

Кстати, один из важнейших изоморфизмов (мультипликативной группы положительных действительных чисел и аддитивной группы всех действительных чисел) был построен именно в теологических  целях [11].

Начиная с античных времен, отношение к математике как к духовному занятию сохранилось и во все последующие столетия  и тысячелетия.

В работах  Николая  Кузанского [12]   неоднократно  встречаются   рассуждения  об "удивительном   единстве  вещей",   которое  является  следствием  единства, целостности мира.  "Логика  есть  не  что иное, как искусство,  в  котором развертывается  сила рассудка".   

На  основе  рассудочных  (рациональных)  рассуждений,   человек способен  к научному познанию  мира  вещей,  универсума.  Из всех  наук  сам Кузанский  придавал особое значение математике, которая  для  него  была  самой достоверной из  наук,  ибо  число  возникает  как "развертывание  рассудка". Кстати,  именно на  силе  рассудка,  по  мнению  мыслителя, основана  и  вся  философия.

 «… Математика лучше всего помогает нам в понимании разнообразных божественных истин   <… >  все чувственное  пребывает  в какой-то  постоянной шаткости ввиду изобилия в нем материальной  возможности.  Самыми  надежными и самыми для  нас несомненными оказываются поэтому сущности более абстрактные, в которых  мы отвлекаемся от чувственных вещей,  -  сущности, которые  и не  совсем лишены  материальных опор, без чего их было бы нельзя вообразить,  и не совсем подвержены текучей возможности.  Таковы  математические  предметы. Недаром  именно в них мудрецы искусно находили  примеры  умопостигаемых   вещей,  и   великие  светочи   древности приступали к трудным  вещам только с помощью математических подобий » ([8], c. 50).

Там же Кузанский продолжает: « … никому не  постичь  божественной науки, если он лишен навыка в математике. Не Пифагор ли, первый философ и по имени и по делам, положил,  что всякое исследование истины совершается через число?  Пифагору  следовали платоники  и  наши первые учители настолько, что Августин, а за ним Боэций утверждали, что первоначальным прообразом творимых вещей было  в душе создателя несомненно число.  <…>  всякое учение об истине  охватывается  множеством  и  величиной <…> Если  приступить к божественному нам дано только через символы,  то  всего  удобнее воспользоваться математическими знаками из-за их непреходящей  достоверности» ([7], с. 95).

Следуя за Платоном  (утверждавшим, что «бог всегда геометризирует» ([9], c. 11) величайшие мыслители XVIII в. утверждали господство математики.

Считалось, что истинная система мира познана, развита и усовершенствована, а  основной естественный закон оказался  законом математическим.
Например, И. Ньютон [13]   считал, что «…занятия наукой столь же богоугодны, как изучение Священного писания, а  миссия математика состоит в восстановлении плана творения <…> мудрость творца постигается в математических законах и теоремах» ([10], c. 22).

Ему вторил его современник – Г.В. Лейбниц [14]  – «… главная цель всего человечества состоит в познании и развитии божьих чудес.   Именно для этого бог отдал человеку весь земной шар» ([11], с. 102).

По общепринятому мнению в 17 – 18 веках, считалось гармония между реальным миром и миром математики объясняется единством реального мира и бога. Cum dues calculat, fit mundus – как господь вычисляет, так мир и устроен. Таким образом, именно математическое мышление открывает законы мира, а  истинное математическое знание внутренне присуще нашему разуму,  математические знания принадлежат к врожденным истинам, но  открываются лишь избранникам бога.

Таким избранником математик Леонард Эйлер[15]  считал  и себя. Причем избранником – благодарным: после открытия Богом очередной божественной истины, выраженной в виде теоремы или формулы, Эйлер непременно заказывал благодарственный молебен (и, как правило, даже не искал строгого доказательства озарившей его математической теоремы;  доказывать - это значит сомневаться в божественной информации).

Традиция благодарить божество за открытие истины началась ещё с Пифагора, который по легенде за свою самую знаменитую теорему отблагодарил богов гекатомбой -  жертвой ста быков.

С тех пор все скоты боятся нового.

Эйлер неоднократно подчеркивал, что, должно быть, господь построил Вселенную в соответствии с каким-то фундаментальным; принципом и что существование такого принципа свидетельствует о направляющем персте божьем: «Поскольку наш мир устроен наисовершеннейшим образом и является творением всеведущего творца, во всем мире не происходит ничего такого, в чем не было бы воплощено какое-либо правило максимума или минимума» ([12], с. 47).

В своем убеждении, что все явления природы происходят по некоторому фундаментальному закону, установленному творцом в основу построения мира,  Эйлер считал, что Господь, несомненно, более искусный математик, чем могли себе представить ученые предыдущих веков.

Религиозные убеждения также укрепляли Эйлера во мнении, что бог возложил на человека миссию познавать божественные законы, используя ниспосланный ему дар мышления: «Книга природы открыта перед нами, но написана она на языке, который мы понимаем не сразу, а лишь после того, как ценой немалых усилий и страданий с любовью выучим его. Язык этот — математика. А поскольку наш мир — наилучший из всех возможных миров, его законы также должны блистать красотой»  ([12], с. 47).

Эйлер считал, в частности, что принцип наименьшего действия включен божественным провидением в схему природы, и является косвенным доказательством существования бога. Наличие столь всеобъемлющего принципа может означать только одно: мир сотворен господом Богом в соответствии с этим принципом.

Стоит отметить, что, начиная с античных времен,  занятия математикой очень часто совмещались с теологией.

Выдающиеся математики часто оказывались и заметными богословами, как,  например, теолог и математик Джон Непер[16] , теолог и математик  Исаак Ньютон, математик и религиозный философ  Бернард Больцано[17] , математик  и  теолог Джон Венн[18] ,  профессор богословия и математики Санкт-Петербургского  университета А. И. Райковский[219] , математик  и теолог  С. Е. Гурьев[20]  -  и многие другие.

Великие естественники 17-18 веков оставались верующими христианами. Идеи и мировоззрение античной математики и математики 17-18 веков адекватно воспринимались и философами того времени (впрочем, античные математики, как правило,  были и философами одновременно).


6. НОВАЯ МАТЕМАТИКА И ФИЛОСОФИЯ. В XIX веке ситуация изменилась. «… Строжайшая по  видимости и всего  прочнее слаженная  наука, математика, впала  в  "кризис  оснований".  Борьба  между формализмом  и  интуиционизмом ведется за достижение и  обеспечение способа первичного подхода  к тому, что должно  быть предметом этой науки» ([13], с. 56).

Новая математическая идеология для гуманитарной среды оказалась слишком сложной. Не только философы-любители вроде Фридриха Энгельса, но и серьезные профессионалы философии стали демонстрировать полное непонимание ситуации.

В работе, претендующей на философское объяснение всех наук, Ф. Энгельс  продемонстрировал, как ему казалось,  «убедительный пример» не существования объединения множеств.

«... мышление, если оно не делает промахов, может объединить элементы сознания в некоторое единство лишь в том случае, если в них или в их реальных прообразах это единство до этого существовало. От того, что сапожную щетку мы зачислили в единую категорию с млекопитающими, - от этого у нее еще не вырастут молочные железы» ([14], с. 124).

Ирония "мыслителя" здесь совершенно неуместна (он просто  п е р е п у т а л объединение с пересечением). На самом деле (не делая промахов  мышления)  сапожную щетку вполне можно «зачислить в единую категорию с млекопитающими», - это будет множество M, являющееся объединением двух множеств:

 М = {млекопитающие}U{сапожная щетка}.

В этой же работе, посвященной философскому объяснению всех наук, и математики, в частности, появляется еще более наивное утверждение:

 «Математические аксиомы  представляют собой выражение крайне скудного умственного содержания, которое математике приходится заимствовать у логики. Их можно свести к следующим двум:
1. Целое больше части...
2. Если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой.
3. ... прочие аксиомы <…>  представляют собой только логическое развитие этого заключения» ( [14], с. 257).

Критикуя метафизическое понимание бесконечного в математике, Гегель[21]  отметил особо  важную роль понятия  меры для выяснения сущности бесконечного. «Дурной бесконечностью» Гегель называл бесконечность, для которой нельзя указать закон ее образования; рассматривая понятие бесконечности, он отметил: «А между тем она достойна изумления не вследствие такой количественной бесконечности, а, напротив, вследствие тех отношений меры и законов, которые разум познает в этих предметах, и которые суть разумное бесконечное в противоположность указанной неразумной бесконечности» Г. Гегель, [15], c. 309). И далее: «... математика природы, если она хочет быть достойной этого имени, по существу должна быть наукой о мерах» ([15], c. 436).

Создатель теории множеств  Г. Кантор[22]  резонно ответил на это: «... Гегель не знает никаких существенных различий в актуально бесконечном. Для моих же воззрений характерны именно-подобные различия, которые я нашел, резко выдвинул и строго математически развил путем обнаружения коренной противоположности между «мощностью» и «порядковым числом» множеств...» (Г. Кантор, [16], с. 89).


7. МАТЕМАТИКА И ВЕРА. Математика новейшего времени изменилась еще существеннее. Если в XIX веке впервые появились доказательства теорем, занимающие  десятки страниц, то в XX веке ситуация изменилась радикально – рассуждения, посвященные одной единственной, теореме могли заполнять сотни и тысячи страниц текста (и быть полученными десятками различных авторов).

Например, таким оказалось частичное решение проблемы Бернсайда[23]  о группах конечного показателя и классификация простых конечных групп[24] .

Более того, появились  смешанные доказательства, т.е. доказательства, в которых участвует вычислительная техника. Первым примером такого рода оказалось решение в 1976 г. проблемы о четырех красках[25] . При доказательстве того, что «четырех красок достаточно»,  был использован компьютер,  который, действуя по специальной программе, перебирал все варианты плоских карт, содержащих не более n граней, а для карт с числом граней,  больше n, рассуждение заканчивалось «вручную».

Стоит ли говорить, что не все математики признали такие «доказательства»  настоящими. А в психологии тех, кто признал, явно появился религиозный элемент - элемент веры.

Таким образом, замечание А. Шопенгауэра о несовместимости  веры и математики уже сейчас следует признать устаревшим: «… на то она и вера, чтобы обнимать то, чего нельзя знать. Если бы и последнее можно было знать, то существование веры было бы совсем бесполезно и даже смешно, - вроде того, как если бы кто-нибудь предложил по вопросам математики еще и вероучение. ([17], c. 28).


8. ЕСЛИ БОГ ЕСТЬ, ТО ОН - МАТЕМАТИК. История математики многократно подтверждала странное и необъяснимое  явление.

Все развитие математики за всю историю человечества напоминает работу одного-единственного всеобщего РАЗУМА, который непрерывно, единообразно и систематически развивает свою мысль, а конкретные  человеческие личности лишь использует в качестве  передающего средства.

В истории математики огромное количество примеров того, как открытие, полученное одним исследователем, остается по ряду причин неизвестным, но  позднее с  необъяснимой точностью воспроизводится другим субъектом.

По существу, все геометрические результаты древних греков были заново переоткрыты  индусскими, китайскими, японскими и другими исследователями.

Н.И. Лобачевский[26]  в России, Я. Бойяи[27]  в Венгрии, К.Ф. Гаусс[28]  и Ф.К. Швейкарт[29]  в Германии независимо друг от друга почти одновременно пришли к одинаковым результатам в построении неевклидовой геометрии.

И.Р. Шафаревич[30]  заметил по этому поводу: «Странное чувство испытываешь, видя одни и те же чертежи, как будто начерченные одной рукой в трудах четырех ученых, работавших совершенно независимо друг от друга»  ([18], с. 550 ).

Возникает впечатление, что  кто-то внимательно следит, чтобы математика, развиваясь, не знала  типичных для большинства других наук (и религиозных учений) перестроек,  кризисов, революционных переворотов.

В результате этого только математика является основной составляющей духовности общества.

В отличие от любой другой науки ни один новый математический результат не построен на развалинах предыдущих достижений.

Более того, считается, что новые математические результаты ни в чем не уступают классическим, но, правда, и классические не превосходят новые.

«Я глубоко убежден, что достижения современной математики не менее совершенны, чем творения классиков XIX, XVIII и XVII вв., что они могут даже выдержать сравнение с плодами эллинского гения. Но ведь и прекраснейшие из современных достижений ни в чем принципиально не превосходят классические! Какова же ценность неограниченного накопления идей, в принципе одинаково глубоких?» ([18], с. 551).



9. ЧТО ПРИДАЕТ ЦЕЛЬ МАТЕМАТИКЕ? И. Р. Шафаревич сам отвечает на этот вопрос: « … как мне кажется, только одна возможность: <…> математика  может послужить моделью для решения основной проблемы нашей эпохи: обрести высшую … цель и смысл культурной деятельности человечества» ([18], с. 554).

Как на средство достижения такой цели ранее указал И.А. Ильин, имея в виду, что: «общение   с  Богом   есть

 - главный источник творческого вдохновения;
 - главная опора настоящей, истинной науки;
 - главная основа чистой и могучей совести;
 - месторождение окрыленного гениального искусства;
 - неколеблющийся фундамент благородного государственного и
политического правосознания;
 - абсолютная основа характера;
 - живой источник любви, доброты, жертвенности и социальности;
 - величайшая гарантия волевой дисциплины и беззаветной
храбрости». ([1], с. 56).

Математика, по существу, и является  этим «общением с Богом», в то время как, например,  христианство – это всего лишь стремление к индивидуальному спасению, отвлеченный догматизм, приводящий к лицемерию и разрыву между жизнью и храмовой действительностью, коррумпированность и алчность церкви и, наконец, отказ от главного дела.

Как отметил еще  Н. Ф. Федоров[31]  «Религия приняла напутственный молебен, крестное знамение, полагаемое перед началом дела, за самое дело» ([19], стр. 407).

Заметим, что в гуманитарной среде до сих пор сохранилось наивное представление о математике как о науке "о числах и фигурах" и более того, математике как следствия потребностей экономического характера.

Забывая, что математика без доказательств ничто, гуманитарии утверждают, что математика - дитя экономики.

В действительности математика – это сфера человеческой деятельности, более высокая по сравнению с религией, а, возможно, что и вообще наивысшая сфера, оказавшаяся доступной человечеству.

Тем более, что математические конструкции созданы из самого крепкого, вечного "материала".

Уж если медь, гранит, земля и море
Не устоят, когда придет им срок,
Как может уцелеть, со смертью споря,
Краса твоя – беспомощный цветок?

Как сохранить дыханье розы алой,
Когда осада тяжкая времен
Незыблемые сокрушает скалы
И рушит бронзу статуй и колонн?

О горькое раздумье!.. Где, какое
Для красоты убежище найти?
Как, маятник остановив рукою,
Цвет времени от времени спасти?..

Надежды нет. Но светлый облик милый
Спасут, быть может, черные чернила!
         
В.Шекспир, "Сонет 65"[32]
 

Шекспир надеется, что облик любимой, описанный словами, останется навсегда. Слова  прочнее любого земного материала.

А  еще прочнее математические идеи.

Дворцы и скульптуры обратятся в пыль, гениальные  картины истлеют, языки, на которых написаны выдающиеся книги, исчезнут, и эти книги станут никому не нужны, а математические памятники, созданные из идей, будут существовать, пока существует человечество.

Alles vergeht, Wahrheit besteht[33], Слово "Истина" здесь вполне можно заменить словом "Математика". Математика и есть высшая истина.

Математические знания являются самым ценным, что есть на этой планете.

Образно выражаясь, математика -  это душа человечества, его идеальный Бог.


Список  литературы

[1] Ильин И.А., Кризис безбожия, -  М., "Русская книга",  1996,
[2] Новалис. Гейнрих фон Офтердинген. Фрагменты. Ученики в Саисе. СПб., Факториал, 1995.
[3] Маркс К. и Энгельс Ф., Сочинения. - М.: Госполитиздат,  т. 1, 1961.
[4] Время Римской империи (с комментариями Гиерокла), М., "Гнозис", серия "Пирамида", 1996.
[5] Бердяев Н. Истина Православия // "Вестник   русского  западно-европейского  патриаршего экзархата", Париж; № 11, 1952,  стр. 4-11.
[6] Аристотель, Метафизика. М., Мысль, 1982.
[7] Leopold Kronecker, Vorlesungen uber Mathematik, Tl 1-2, Lpz, 1903.
[8] Николай Кузанский. Сочинения в  2 т., том 1., М., Мысль, 1979.
[9] Платон, Диалоги, М., Наука, 1959.
[10] Исаак Ньютон, Всеобщая арифметика или книга об арифметическом синтезе и анализе, М., Огиз, 1937.
[11] Лейбниц Г.В. Сочинения в четырех томах: Т. 3. – М.: Мысль, 1984.
[12] Леонард Эйлер, Лекции по истории математики, - М.: Высшая школа, 1988.
[13] Мартин Хайдеггер. Бытие и время М., Мысль, 1963.
[14] Энгельс Ф. Антидюринг (К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, том 20, изд. 2), М., Госполитиздат, 1961.
[15] Гегель Г. В. Ф. Наука логики, т. 1, М., Мысль, 1967.
[16] Кантор Г. К учению о трансфинитном, в кн. «Новые идеи в математике» С-Пб, 1914,
[17] Артур Шопенгауэр. Об университетской философии. - М., Мысль, 1997.
[18] Шафаревич И.Р. Есть ли у России будущее?: Публицистика. – М.: Советский писатель, 1991.
[19] Федоров Н.Ф. Философия общего дела, т. I, Верный, 1906.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Примечания

[1]   Ильин Иван Александрович (1883-1954) - российский религиозный философ, правовед  и  публицист.
[2]   Эти слова принадлежат Новалису (Фридриху фон Харденбергу) (1772- 1801) – немецкому философу, поэту, автором нового философского мировоззрения, которое он назвал  «магическим идеализмом»,
[3]   Скаутизм - система внешкольного воспитания путем познания природы, ремесла и игры. Основан в начале 20 века в Великобритании полковником Р. Баден-Поуэллом (1857-1941). Согласно его «Инструкции для скаутов»: 1) скаут должен быть «всегда готов к совершению добрых дел»; 2) ложась спать, скаут должен  вспомнить весь прошедший день, и если добрых дел за этот день не совершено, то скауту надлежит спать в галстуке, не ослабляя его узла.
[4]   Обычно эту фразу приписывают Ф.М. Достоевскому. Точнее, эти слова якобы произносит герой романа «Идиот» князь Лев Николаевич Мышкин (карикатурно,  представляющий «непротивленца злу» Льва Николаевича Толстого). Ни одного раза в романе князь этого не говорит. Эти три слова произносят другие герои. «Правда, князь, что вы раз говорили, что мир  спасет  "красота"?  Господа,  - закричал он громко всем, - князь утверждает, что мир  спасет  красота!».
[5]   Еще Евклид заметил, что число вида 2^(n-1)*p, где  p – простое число вида 2^n–1, является совершенным. Простое число вида Mn = 2^n–1 называют числом Мерсенна. В течение последних десятилетий нахождение каждого нового числа Мерсенна было связано с появлением очередного поколения вычислительной техники, и являлось демонстрацией возросших технических возможностей. Канадская фирма, производитель пакета математических программ Maple учредила премию в 100 000 долларов США за нахождение очередного числа Мерсенна. Эта премия уже была выдана дважды за нахождение чисел  2^6972593–1 и  2^13 466 917–1. В настоящее время самым большим известным простым числом является число Мерсенна 2^{82589933}—1, найденное еще в декабре 2018 года.  Десятичная запись этого числа содержит 24862048 цифр; книга, содержащая полную запись этого числа сорок восемь томов по тысяче страниц каждый.
[6]   Например, в случае неразделенной любви рекомендовалось выцарапать числа 220 и 284 на половинках яблока или персика; часть с меньшим числом съесть самому, а с большим – предложить предмету своей страсти. Утверждалось, что тогда любовь мгновенно станет разделенной.
[7]   Невозможность удвоения куба и  построения трисектрисы установлена П. Вантцелем в 1837 г.; полное решение задачи о построении правильного  n-угольника получено К.Ф.Гауссом  в 1801 (а частичное решение – еще в 1799 г.); в 1882 году Ф. Линдеманн  доказал трансцендентность числа ;,  и тем самым – неразрешимость задачи о квадратуре круга.
[8]    «Возлюбленный Господь сотворил целые числа, все остальное – создание человека».
[9]   Если две прямые пересечены третьей,  и сумма прилежащих углов меньше 180о, то эти прямые пересекаются с той стороны, где сумма углов меньше 180о.
[10]   «Не пожелай жены ближнего твоего, не пожелай дому ближнего твоего, ни села его, ни рабыни его, ни вола его, ни осла его, ни всякого скота его и вообще ничего, что есть у ближнего твоего». Просто по числу слов (и букв) эта заповедь превосходит остальные девять вместе взятые.
[11]   Создание логарифмов принадлежит Джону Неперу (1550-1617), шотландскому математику и теологу.  В 1590-х годах он пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд «Описание удивительных таблиц логарифмов» опубликовал лишь в 1614. Логарифмы были использованы Непером для вычисления точной даты «конца света».
[12]   Николай Кузанский (Николай Кребс) (1401-1464) - философ, теолог, ученый, церковно-политический деятель. Ближайший советник папы Пия II, кардинал (с 1448 г.).
[13]   Ньютон Исаак (1643-1727) - английский теолог, математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики, член (1672) и президент (с 1703) Лондонского королевского общества. Разработал (независимо от Г. Лейбница) дифференциальное и интегральное исчисления.
[14] Лейбниц  Готфрид Вильгельм (1646-1716) - немецкий философ, математик, физик, языковед. По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России. Реальный мир, по Лейбницу создан богом как «наилучший из всех возможных миров» В духе рационализма развил учение о прирожденной способности ума к познанию высших категорий бытия и всеобщих и необходимых истин логики и математики. Предвосхитил принципы современной математической логики. Один из создателей дифференциального и интегрального исчислений.
[15]   Эйлер  Леонард (1707-1783) - математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. В 1741-66 работал в Берлине, член Берлинской АН. с 1766 до конца жизни снова в России.  Эйлер — ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности.
[16]   См. сноску 10.
[17]   Больцано Бернард (1781-1848) - чешский математик и теолог. Ввел ряд важных понятий математического анализа, был предшественником Г. Кантора в исследовании бесконечных множеств.
[18]   Венн Джон (1834-1923) - английский логик и теолог, разработал графический аппарат диаграмм, фактически эквивалентный логике классов.
[19]   Райковский Андрей Иванович (1802—1860) - российский  писатель, воспитанник Санкт-Петербургской духовной академии, профессор богословия и математики в Санкт-Петербургском университете; с 1850 г. читал также лекции по логике и опытной психологии (автор работы  "Логика, описывающая механизм нашей мысли, ее формы и законы на основании здравого, христианством руководимого, смысла" (1857)).
[20]   Гурьев Семен Емельянович – российский  математик (1762-1813). В 1798 г. избран академиком по физико-математическому отделению; преподавал также богословие в духовной семинарии и других учебных  заведениях Санкт-Петербурга.
[21]   Гегель Георг Вильгельм Фридрих (1770-1831) - немецкий философ, создавший на объективно-идеалистической основе систематическую теорию диалектики.
[22]   Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик. Разработал основы теории множеств, оказавшей большое влияние на развитие математики.
[23]   Для каких натуральных чисел n конечно порожденная группа, в которой выполняется тождество xn = 1, является бесконечной? Наименьшее n, для которого ответ пока не получен, равно пяти.
[24]   Алгебраические доказательства, использующие эту классификацию, пока считаются не вполне надежными.
[25]   Утверждение, что для раскраски плоской карты достаточно четырех красок, доказано в 1976 г. американскими  математиками   Р. Аппелем и В. Хакеном.
[26]   Лобачевский  Николай Иванович (1792-1856) - российский математик, создатель неевклидовой геометрии.
[27]   Бойяи  Янош (1802-1860)- венгерский математик. Самостоятельно пришел к основным идеям неевклидовой геометрии.
[28]   Гаусс  Карл Фридрих (1777-1855) - немецкий математик, иностранный член-корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Петербургской АН. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии  и многих разделов астрономии. Самостоятельно пришел к основным идеям неевклидовой геометрии.
[29]   Швейкарт Фердинанд Карл (1780-1857) – немецкий математик и юрист. Самостоятельно пришел к основным идеям неевклидовой геометрии.
[30]   Шафаревич Игорь Ростиславович (1923 - 2017) - российский математик, академик РАН. Труды по алгебре, теории алгебраических чисел и алгебраической геометрии. Ленинская премия (1959). Публицистические выступления с критикой тоталитарной системы и работы по проблемам истории России и национальному вопросу  вызвали острую критику и полемику.
[31]   Федоров Николай Федорович (1828-1903) - русский религиозный мыслитель, создатель утопического проекта «Общего дела» человечества по воскрешению умерших, бессмертия живущих и космической утопии, предполагающей расселение человечества в Солнечной системе и других звездных мирах (в России автором космической утопии ошибочно считается К.Э. Циолковский).
[32]   Перевод С.Я. Маршака.
[33]   Все проходит, истина остаётся.

~~~~~~~~~~

Фото из Интернета: Урания - муза математики, астрономии и звездного неба