Часть 1. Атака на судьбу.
Часть 2. Нет цели, только - путь.
Часть 1. Атака на судьбу
Атака на судьбу.
Гордыня.
В юности Эрик планировал стать высоким интеллектуалом со всеми вытекающими ништяками. Он закончил институт, сделал несколько изобретений, собирал материал для кандидатской, но вместе со страной попал в 90е. Родил двух девчонок и отработал слесарем десять лет. Есть хотелось, а инженерам платить перестали. Работа была по объектам. День - не нормированный в хорошем смысле. В свободное от работы время качал дочерям интеллект. Старшая закончила школу в 15 лет, младшая в - 16. В четырнадцать лет обе стали чемпионками города по шахматам. Сразу поступили в политех. Потом он незаметно перестал быть мужским началом в их жизни и даже порадовался этому. Они были умными, здоровыми, красивыми. В то время Эрик гордо считал, что спартанцы с неудачными детьми поступали правильно.
Ударом стало то, что каждая по паре раз вылетела из института. Пришлось выучить их хвосты, вбить материал в незрелые головы и запихнуть обратно. В качестве бонуса осталось знание архитектуры процессора. Выяснилось, что дети в институте стали меньше знать, чем в школе. … При том, что у старшенькой в школе был самый высокий IQ. В периодически отращиваемой бороде появилась первая седина.
Первый парень младшенькой научил её пить пиво. Глава семьи рычал, обнаруживая пустые банки в квартире. Однажды, младшенькую под руки привели пьяной за полночь. Он дождался, когда дитё проспится, и утром жестоко выпорол ремнем. Сказал, что, если надо, просто убьёт, а на современные идеалы насрать, и тюрьма лучше дочери алкоголички. Повезло. Придурка забрали в армию, и через три месяца дочь удивлялась, как могла повестись на такое. Потом всё получилось хорошо – чудесный муж и замечательные дети.
Хуже оказалось со старшенькой. Московское быдло на фоне псковского – «прынц на белой маршрутке». Впрочем, выскочив из интернета, женился чин по чину. Только в Москву не забрал.
Вернее, уехала без прописки и вернулась беременная с токсикозом. Стало плохо со зрением. Возиться врачи не стали – сделали кесарево. Внучка получилось хиленькой и очень высокой – в папу. Три года старшенькая ходила принцессой, пакуя чемоданы. Стало заметно, что с внучкой что-то не так. Перед отъездом Эрик плотно позанимался с ней пару месяцев. Посчитал недельный запас слов. Шестьдесят слов в два с половиной года… Внутри все заныло. Но, понадеялся, таки Москва, должны быть хорошие специалисты, если что не так.
Потомки вернулись через два месяца, потом дочь развелась… Алиментов эта падла платить не стал, якобы безработный, … в Москве. Старшенькая приехала злой, взвинченной. Иногда замирала как неживая. С порога стала качать права, что у неё осталась доля в квартире, и она имеет право здесь жить. Это всех сильно удивило, с ней никто не спорил, её приезда ждали и как могли приготовили комнату.
Когда внучка вошла в прихожую, она упала, раскинув руки, обняла пол и долго плакала. На Эрика ребёнок внимания не обратил. Он был тумбочкой, принадлежностью Места, где ей хорошо, и куда она вернулась.
Жена сильно ударилась головой об религию. Развелись, уехала. «Брак себя исчерпал». Головы коснулась первая седина. В этом даже был определённый шарм, отражение в зеркале приобрело несколько графский облик. Все оценки бытия его бывшей чудесным образом утратили свою мрачную силу вместе с штампом в паспорте. Эрик испытал чувство легкой эйфории, и даже извлёк из пыльного небытия древние белые штаны. Неожиданно обнаружилось, что женщины «строят ему глазы». Откуда они узнали о его свободе осталось загадкой. Помучавшись с комплексующими сверстницами, он случайно познакомился в инете с девицей на семнадцать лет младше. Эрик давно конфигурировал оборудование в «паутине», и смена сектора поиска не являлась проблемой. Оба после приключений на личном фронте были в состоянии посттравматического синдрома. Встретились без всякой задней или передней мысли, чисто похихикать. Один рассказал, как этим занимались в древности, другая - о новых традициях… Договорились временно закрыть проблему своим визави. Эрик был хорош, Настенька чертовски хороша – чего время тянуть?
Старшая была агрессивной, уверенной в пилюлях и помощи государства. Прабабушка Алисы тихо помогала. Терпела рычание в ответ на советы, или просто уходила. А, бывший отец семейства стал заниматься совершенно неперспективной внучкой, не смог поступить как спартанец… Извинил себя тем, что в обществе принято помогать больным, слабым. И потом. В книгах было писано, что до шести лет всё возможно. Младшему члену его рода исполнилось три года. Эрик решил тратить на проблему один час в день.
Было очень утомительно непрерывно следить за ребенком, подхватывая эхом каждое случайное слово или игровое движение. Ребёнок не интересовался миром. Атипичный аутизм. Как-то случайно удалось научить дитё технологии рисования акварелью. Это очень сложно помнить, что кисточку надо вначале опустить в воду, потом в краску и только потом рисовать. Позже большой победой дочери и внучки стало самостоятельное посещение горшка.
С памятью девочки творилось что-то нехорошее. Эрик сделал ставку на самую большую – зрительную память. Они начали учить буквы. Картинка с буквой и звук. Процесс обучения медленно двинулся с места. Ребёнок стал подражать. С чистой душой название буквы было квалифицировано как слово. Опытным путём определилось соотношение часового словарного запаса и двухнедельного – один к пяти. Так появилась возможность вести дневник прироста словарного запаса по результатам каждого занятия. После чего при анализе дневника занятий обнаружились странные регрессии в увеличении запаса слов. Иногда он падал на уровень месячной давности, после чего медленно восстанавливался. Так могло быть несколько раз в год. Регрессии сбивали общий темп раза в полтора-два. Это была довольно критическая потеря времени развития. Однажды, при изучении старых записей обнаружилось, что самый большой регресс произошёл ещё в Москве, когда словарный запас упал с 60 до 15 слов. Что там творилось, Бог ведает.
В четыре с половиной года полагающийся «лексический взрыв» таки произошел. Хиленький, до 400 слов. Без падежей и глаголов. По «левому» совету подобрали лекарство, «аминалон». Один врач писал статью о генетических отклонениях и был уверен, что это запустит нормальный вариант развития мозга. Прошли приступы депрессии, страх отсутствия матери, теперь ребёнок мог улыбаться и смеяться. Появился минимальный набор эмоций. Занятия стали эффективнее и похожими на уроки. Впрочем, старшая приём «аминалона» прекратила. Испугалась неожиданного, грубого смеха и несовместимости с официальными лекарствами. Улучшение объяснила возрастом. Она вообще боялась лекарств. …Однажды попробовала полтаблетки для ребёнка и её на день увезла «скорая».
Диагноз «алалия» заменили на «умеренную умственную отсталость». Всё было плохо.
…Она не хотела подражать. Научившись чему-то, пыталась все упростить и сократить вплоть до утраты приобретенного навыка. И злилась, когда понимала это. От выученных слов и фраз оставались половинки, четвертинки, …ничего. Странная регрессия не исчезла, просто видоизменилась. Уже усвоенные знания приносились в жертву самоутверждению.
Вся молодежь такова - но тогда, когда стала людьми. До этого любой взрослый – Бог, требующий и достойный подражания. Эрик был не достоин. А, мама спиной в компьютере… Его внучка тоже замечательно сидела спиной. К нему. К всему свету… Она была его поражением. Он её не любил, но считал необходимым имитировать любовь. Без любви дети не развиваются, а целью усилий было развитие.
Биологический отец тоже её не любит. Там в Москве, он ей сказал: «Ты глупая.» А, старшенькой: «Если бы не она, мы бы были счастливы.» Мудак. Хорошо, что внучка ничего не поняла. Разве, что интонацию. Их там было много. Бабушки, дедушки, дядя…, и все – с этой интонацией, даже если говорят вежливо.
Пришло осознание, что Алиса никогда не будет нормальной. Думать об этом не хотелось и три дня Эрик пил пиво. Всё было нелогично, но логика должна была быть…
Она – член рода. Самый слабый член. Таким принято помогать. Зачем?
«Нам не дано предугадать,
Как слово наше отзовется.
И нам сочувствие дается,
Как нам дается благодать...»
Четверостишье являлось поповщиной не достойной бывшего пионера, но ничего другого под рукой не было. Значимость смыслов дело тёмное. Смыслом жизни египтян была пирамида для фараона. В любом случае, забота о близких более достойное занятие, чем собирание марок. И в этом есть свой эволюционный смысл – информационное «бутылочное горлышко». Люди с ограниченными возможностями могут усвоить только самое важное и жизнеспособное. Ничего лишнего. Новый дед верил, что важное в нём есть, а он - краток и талантлив. Иногда, надо просто сказать: «Я так хочу». Девяносто процентов мотивации бытия человека держится на простой фразе. Хотя трусы, лжецы и подлецы тщательно скрывают это, прикрываясь Богом, наукой, логикой или государственными интересами. Женщины здесь более прямолинейны. Им разрешается.
К концу пятого года Алиса так и не научилась говорить фразами, но активно читала. Могла уверенно прочесть больше половины слогов и двусложные слова. Увы, диагноз это не опровергало – слабоумные вполне способны овладеть чтением. Визуальная память как-то вытягивала процесс развития и познания мира. Стало возможным добиваться правильного произношения. К ней пришло ПОНИМАНИЕ, что слово состоит из звуков. Появилась уникальная возможность привлечь внимание к слову или действию, написав слово. Устная же речь почти не воспринималась. Эрик пытался ограничивать свой словарь, но это оказалось возможным только в рамках конкретной игры или занятия. Так были изучены термины – «вода», «кисточка», «бумага», «краски».
Практические навыки Эрик развивал просто – брал её руки в свои и производил разучиваемое действие. Первой её самостоятельной игрой на результат было построение «башни» из кубиков, которую внучка пыталась сделать максимально высокой. Занятие, требующее аккуратности, усидчивости, понимания необходимости поддерживать вертикаль конструкции. Одно время она могла самостоятельно рисовать минут по сорок, но в результате очередной регрессии большая часть навыка была утрачена. … Но буквы Алиса уже не отпускала.
В их волшебство внучка уверовала настолько, что, когда начинались головные боли, хватала книжку и начинала лихорадочно её перечитывать… Иногда помогало. …Иногда нет. Книжки дед писал сам. Переписывал самыми простыми словами общеизвестные сюжеты и заклеивал своими абзацами слишком сложный текст. Эта библиотечка состояла из двух десятков книжек. В его сказках было от сорока до двухсот слов. Охотнее всего Алиса читала стихи, и Эрик стал писать стихами.
«Капли падали, летели, но замерзли на ветру.
Ледяной наряд одели, снегом стали поутру.»
«Капли бьют как в барабан.
Это дождь идёт по нам.»
«Утро сон сгоняет прочь.
А под одеялом – ночь.»
Иногда он шалил, чтобы не сойти с ума…
«Я какать пойду и сяду на троне.
Ничто не коснётся меня и не тронет.
Вольна я во всём, как царица из книжки.
Когда дверь закрыта на две задвижки.»
Почему-то именно строчки этих стихов стали для Алиса любимыми. Она читала их без запинки, почти наизусть… и улыбалась. Сотни листов были исписаны односложными текстами. Часть формата всегда занимали скачанные из инета картинки. Больше всего эмоций вызывала классика.
«Ехал грека через реку. Видит грека в реке рак.
Сунул грека руку в реку. Рак за руку греку - ЦАП!!!»
«Цап!!!» всегда вызывал восторженный визг. То, чего так не хватало в жизни несчастной девочки…
Однако, дочь заботило, что сказки получались не совсем похожими на оригиналы и некоторые фразы, озвученные Алисой в спецшколе, удивляли преподавателей. Даже не самое страшное существенно отличалось от общепринятого.
«Сидел Айболит под кустом.
Лечил подорожным листом.
Он вылечил всех, кто в округе.
И замерли твари в испуге.
А, вдруг панацея изменится,
И острым кудесник нацелится?»
Вторые смыслы адресату повредить не могли, ибо и первые воспринимались с трудом. Но это возражение принято не было… Общество и примкнувшие диктовали свои условия сотрудничества.
Свой небольшой словарный запас его ученица начала бегло читать лет с шести, но не более двух слов подряд. Незнакомые слова, как и все мы – по слогам. Когда внучка притаскивала домой перлы от случайной технички в школе или садике, Эрик этому тихо радовался. Как-то получалось, что научить чему-то ребёнка могли только грубые эмоциональные люди, а не пресные законопослушные педагоги. Всему, что знала Алиса, она научилась дома. Чужое влияние Орлов ощущал очень остро. И его, увы, почти не было.
Учёба – процесс травматичный. Радости от неё не получилось сразу. Когда Эрик слишком настойчиво поправлял свою ученицу, та начинала щипаться…
Одно время это было настоящей бедой. Вначале, он довольно жестко шлепал ее по рукам. Она не убирала их, а со слезами на глазах протягивала их под замах. Эрик, оторопев, останавливался и начинал их поглаживать. И тогда ребёнок неожиданно, резко и больно щипал его вновь… Так же жалобно смотря ему в глаза… Если процесс затягивался, то Алиса с ревом убегала к маме. Мягкое удержание за кисти рук тоже приводило к истерике.
Однажды, дед решил потерпеть. Сделав несколько щипков, внучка уткнулась ему в подмышку и замерла. Вариант событий был не худшим и стал нормой. Была еще одна возможность – отвечать ей более слабо. Тогда она тоже щипалась слабее, и так до полного прекращения насилия. Потом сменили лекарство и все почти нормализовалось. Беспокоило только увеличение дозы… И ещё оказалось, что если дитё гладить, то истерики проходят быстрее. Можно было просто прижаться лоб в лоб и «обмениваться разумами». Вот только во время головных болей девочка начинала бить его лоб в лоб… Наверное, так восстанавливала циркуляцию крови… «Голова дело тёмное и исследованию не подлежит».
Они строили из кубиков башню, плоские пирамидки и плоские пирамидки с «окошечками», просветами между кубиками. Умение ровно поставить кубик – великий навык, без которого невозможны сложные сооружения. Дед доставал из мешка желтые, зеленые, красные, кубики и шары и пытался добиться фразы - «желтый шар», «зеленый кубик. Спрашивал: «Что это? Какой?». Он не верил в картинки - предмет должен быть.
Из часа занятий интенсивные натаскивания занимали примерно половину времени с тремя трехминутными перерывами. И внучка воспринимала их именно как уроки, а не игру. И сразу, как только выполнена ежедневная программа, она говорила «хватит», выталкивая деда за дверь… Она тоже его не любила. Это было справедливо. … И он радовался тому, что появился и работает еще один глагол. Глаголы это - важно.
Иногда Эрик мечтал, чтобы она научилась ругаться матом. Хотя бы двухэтажным. Ну, полутора… Говорят, плохое легче усваиваться – пусть усваивает… Он с этим справится. Потом - когда будет с чем.
Порой атеист, материалист и прагматик терял морально-волевую опору. Вечером он смотрел на Луну, которую одни считают инопланетной базой с супермашиной, следящей за нами, другие - женским божеством, и просил ее сделать внучку нормальной… Нет, просто дееспособной. В ясный солнечный день он шел к «месту силы», храму на берегу. Наверняка он был построен на месте ещё более древнего капища. Материалист вставал на край обрыва у реки и закручивал вокруг себя мысленный вихрь. Не помогало - просто шёл слепой дождь. Очень давно бабка сказала, что пионеров в ведуны не посвящают… Ему чуда не полагалось. … Хотя, один его гороскоп утверждал, что он ради близких людей способен на невозможное. Правда, летоисчисление менялось не однажды, и может надо было родиться по старому стилю.
К восьми годам последняя надежда рухнула. Темп развития резко упал. Если раньше за три месяца жизни Алиса усваивала навыки, которые нормальный ребёнок усваивал за месяц, то теперь на это требовалось шесть месяцев. Согласно экспоненциальной зависимости, средний уровень развития речи, соответствующий трём годам, ушёл в бесконечность. Эрик неплохо владел технической математикой и оценками. Контрольные точки развития он строил по этапам развития навыков у внука…
… Редкие пятна на его коротко стриженной голове напоминали, что когда-то она была тёмно-русой. Шерсть стремительно белела. Обозначился вербальный рубеж развития – 2 года 8 месяцев. Снова начались непонятные откаты в навыках. Когда ребёнок складывал картинку, и ему не удавалось правильно уложить буквально несколько последних пазлов, он мог разломать всё до основания и начать сначала. Если не удавалось досчитать до тридцати, то умение считать могло обвалиться до двенадцати, пятнадцати… Неудача подвергала сомнению всё ранее усвоенное. Реинкарнировались навязчивые ошибки, которые были давно забыты.
Невозможное и бесполезное.
Постановка задачи
Возникший потолок развития необходимо было пробить. Даже если это невозможно. Хотя бы попробовать. Эрик решил атаковать один фундаментальный диагностический признак – способность считать. Согласно научным канонам, люди с умеренной умственной отсталостью способны только к натуральному счёту и не владеют понятием числа. Они никогда не способны провести связь между числом и его изображением, цифрами. Не способны складывать числа в символьной записи.
Из опыта воспитания Эрик уже знал, что если провести очень мелкое разделение труда на отдельные операции, то Алиса вполне способна их усвоить, и это – вопрос времени, а не качественной непреодолимости. История же развития программного обеспечения наталкивало его на довольно любопытные мысли. Его современный комп с десятой «виндой», крутил игрушки начала тысячелетия так же вяло как старенький комп с девяносто восьмой. Современное программное обеспечение тратило ресурсы компьютера на массу задач не нужных пользователю.
Окружающие его люди после десятого класса практически добровольно становились косными идиотами. Если к этому добавлялся алкоголь, то – идиотами классическими. У его внучки был шанс подняться к тому уровню, к которому здоровые люди опускаются. Главное – научить её решать необходимый минимум задач, развив минимально необходимые интеллектуальные навыки.
Отчасти его вдохновляло то, что Алиса весьма недурно справлялась с пазлами. Однажды его бывшая привезла набор открыток, разрезанных пополам - и пошло, поехало... В девять лет девочка довольно лихо складывала тридцать шесть фрагментов без рамки … и без рисунка. При том, что, складывая пазлы без рисунка, Эрик не чувствовал своего особого преимущества перед внучкой. Где-то он прочитал, что именно геометрическое мышление является принципиальным отличием человека от шимпанзе. Это частное обстоятельство вдохновляло. Однако, теория распознавания образов была довольно тёмной штукой. Ему больше было известно о свойствах числа. Он принял решение заняться теорией чисел.
Введение.
К учёной братии и её теориям Эрик относился без почтения. Народец был умствующий и без изобретательской жилки. Таки анализ и синтез – специализации разные. Полезные вещи изобретало быдло, такие как слесарь Стефенсон. К тому же, математики – люди склонные к идеализму. Придумали, дескать все множества уже существуют и главное - их посчитать. При том, что на практике (которая - критерий истины) любой элемент множества вычленяется из окружающей действительности неимоверными усилиями и с весьма спорными границами.
Люди жили в бесконечном мире, делили на куски бесконечности и неопределенности с соответствующим неопределённым результатом. Самым определённым, элементарным и фундаментальным понятием была точка. Но в природе она не встречалась. Человек тоже не мог получить точку, он мог только разрезать бесконечность пополам. Например, лист бумаги. Потом еще пополам каждый кусочек. Потом ещё. Точки не получалось никогда, и Ахилл никогда не мог наступить на черепаху. Только обогнать. Это в Древней Греции обнаружил Зенон. Но считалось, что он ошибался в силу своей древности. Других аргументов случайные собеседники Эрика не знали.
Его теория должна быть построена «от земли» - от наблюдателя, который наукой был предусмотрен только в физике. Само построение должно производиться в рамках существующей задачи – как на заводе. Эрик был заводским. Первично то понятие, которое первым способна усвоить его внучка. Это – базовый принцип.
В инете принцип высмеяли. Только доктор и «лучший математик России», израильтянин Джейков Фукзон, просветил, что «естественная» теория числа давно написана. И вообще их много и каждый пишет себе по мере необходимости. Но форум ФИАН со скандалом закрыли, и его ссылка пропала.
Первый подход.
В семь лет они начали с натурально счета. Это наукой разрешалось. Самым простым оказался счет в банку. Повторение – мать учения. Дед брал каштан клал его в банку, говорил: «Один. Скажи «один»!». Великой удачей было то, что Алиса поняла эту фразу и повторила: «Один.». Дело пошло. Через пару недель он взял её руки в свои и положил ими каштан в банку. Скоро она сама стала складывать в банку каштаны и считать. Что считала Алиса, свои действия, или каштаны в банке, оставалось загадкой. Но когда он молча положил в банку семь каштанов, сказал, что их там семь и положил ещё один, Алиса сказала: «Восемь».
Внучка усвоила навык присвоения имени путём выделения во времени и пространстве неразличимых, или условно неразличимых, между собой предметов. Номер для неё стал именем, не связанным с особенностью предмета, а только с операцией следования. Это уже был иной уровень абстрактности мышления.
Научный предел был достигнут. Дальше начиналась неизвестность. Алиса просто не могла свободно говорить. Число вырастало из действий руками. Операций. Заданий. Вне операций число было не более, чем именем в ряду, связанным с предыдущим только свойством следования. По одному. Односторонним - только в сторону увеличения. Даже обратный счёт пока был невозможен.
Второй подход.
Кстати вспомнилось, что геометрия является основой мышления. Она первична. Последовательность любых знаков это - всегда геометрия, даже если в конце присутствует знак, отрицающий геометрию или последовательность. Поэтому классические математики – враги здравомыслия. Последовательная логика машины Тьюринга лежала в основе всего, а не канторовская одновременная. Объекты множеств не существуют, а синтезируются с каждой операцией через взаимоуточнение. Вне операции любое «число» не более, чем индивидуальное имя единичности. Иная сущность. Поэтому вырванный из контекста натуральный «именной» счёт и доступен умеренно умственно отсталым. Перечисление имен задача несложная.
Дед и внучка занялись «счётной геометрией» - счётом предметов в разных конфигурациях на плоскости. Вначале они посчитали количество каштанов в цепочке. Потом стали считать рядами. К девяти годам в «колонне» уже стояло 40 каштанов. Начали с того, что дед брал палец внучки, тыкал в каштан и говорил – «один». Когда слово невозможно, на помощь приходит дело.
Процесс познания был труден и долог. Выяснились любопытные вещи.
Ребёнок не видел пустое множество и единичный предмет как множество. Единичный предмет часто считался в составе ближайшей группы. Т.е. считалась: половина компактной группы; единичный предмет; после чего перечислялись не сосчитанные члены этой группы. Ну. Вот есть такое мнение, согласно которому, множество не может содержать меньше двух элементов. Таки это логично и отражено в семантике слова «множество».
Первоначально в конфигурации из нескольких рядов Алиса различала только первые два ряда и первые два члена в ряду. Т.е. её любое множество состояло из двух первых членов и неопределенности – «много».
Третий или пятый каштан она давала штучно, путаясь и не придавая значения персональному номеру. Свойство единичности за ними признавалось. А вот в случае с более большим номером, находившемуся в задних рядах «колонны», сгребала эти ряды в кучу и давала горстью.
Наверное, это тоже было свойством реального множества, которое представлялось мозгом именно так. На этом можно было построить интересное ответвление теории, но было некогда. И потом, учитель с ученицей добились того, что множество стало счётным, каждый элемент которого обладал не только единичностью, но и номером. Было сложно заставить внучку отказаться от повторного пересчета. Пришлось под первый каштан класть слово «один». Писанное слово было услышано и принято во внимание. С этого момента и началась их «счетная геометрия».
Порядок счёта элементов диктуется удобством. Однообразие порядка счёта – одно из удобств. Ребенок может начать счёт с любого каштана, если на поле счета добавлен новый каштан. Тоже самое происходит, если конфигурацию развернуть на 180 град. Но если конфигурацию поворачивать этапами по 45 град, то порядок счета сохраняется. Единообразный порядок удобен. Т. о. в математике действуют те же принципы, что и при выборе системы отсчета в физике – минимизация процессов вычисления образует инварианты. Алиса видела эти инварианты и минимизировала усилия – мыслила.
… Постепенно они учились считать столбиками, рядами, кучками – даже если в столбике, ряде, или кучке был один каштан. Иногда для абстрактности переходили на разноцветные стекляшки. Математика была делом молчаливым, технологических слов было немного: «сколько», «повтори», «сделай так», «хорошо», «замечательно», «неправильно», «посчитай снова», …«иди к маме!!!».
Неожиданную проблему создало столь желанное эмоциональное развитие, которое привело к традиционной логике - «если ты меня любишь, то 2+2=5!». И ещё очевидно, что восемь лучше, чем семь. Поэтому, досчитав до семи, можно чуть-чуть приукрасить действительность и сказать «восемь». Простое авторитарное натаскивание стало невозможным - любить ребёнка было необходимо. Слово «неправильно», сказанное несколько раз, могло привести к истерике.
Третий подход.
Тем не менее цифра так и оставалась просто именем в ряду. Число же немыслимо вне свойств и операций. Эрик решил научить внучку предметно фиксировать результат счёта. Он написал на кусочках картона «один», «два», «три». Когда Алиса считала, она клала их напротив предметов, пока в качестве номера. Потом, рядом со словом Эрик стал выкладывать цифру. Постепенно внучка перешла на цифры. Не обошлось без прямой зубрёжки этих знаков. Затем цифры были нанесены на кубики, и Алиса стала их выкладывать в ряд в соответствии с цифрами. И только после этого она смогла при счёте предметов класть на последний предмет цифру, на которой окончила счёт, характеризуя не номер предмета, а свойство группы. Более того! Разложив на кучки каштаны и цифры на каждую кучку, с первого раза, без пересчета, горстью дала ему пять каштанов под биркой «5». Также не пересчитывая, по цифре на бирке, подала ему остальные кучки.
Минимальным понятием числа ребёнок овладел. Половина невозможного была сделана – внучка оперировала почти числом. Увы. Пока это было не сложение и не вычитание. Это был завершенный пересчёт – имя группы. Группа подобно элементу стала обладать свойством единичности и именем. В теории множеств это называлось - «множество А». Без подробностей.
То, что прибавление одного предмета изменяет имя кучки в сторону увеличения, было усвоено Алисой интуитивно и сразу. Но долгое время не получался обратный счёт. Представление числа в виде цепочки из каштанов резко повысило скорость обучения.
Прорыв случился тогда, когда вдоль ряда каштанов Эрик разложил номера. Сложение и вычитание по одному на этом странном математическом объекте с пронумерованными, но не всегда заполненными местами, стало почти автоматическим. Ребёнок быстро понял суть. Ему осталось только запомнить таблицу сложения и вычитания. Уложить полученную практику в память. В теории числа это проскакивало только пунктиром. Оказывается, структура счетного множества должна была содержать не только скобки, но и пронумерованные места под элементы множества! И явно, что элемент и место элемента были связаны какой-то биекцией, некой формализованной связью. Само число оказывалось сложно организованным множеством, а не элементом!
Для прямого счета имена достаточно попарно связать только знаком следования «больше», для обратного достаточно знака следования «меньше». Вместе они образуют сложение и вычитание на минимальную единицу следования. И это тоже ещё не число… Числа все связаны между собой, а не только попарно. Даже то, что кажется элементарным (например, «пять больше четырёх и меньше шести»), состоит из многих навыков и логических компонентов.
Впрочем, временно вопрос был закрыт тем, что у внучки получилось. Чтобы пользоваться огнём неандертальцу вовсе необязательно знать, что это – реакция окисления.
Следующий шаг предполагал, что наглядный ряд будет в беспорядке сложен в банку и будет связан только воображаемой линией. Отчасти это даже начинало получаться.
И еще она знала, что такое ноль. Дед просто показал ей результат операции десять минус десять… Наглядно продемонстрировав пустое место. Правда для самого Эрика осталось загадкой, десять минус десять это – ноль каштанов или - ноль стекляшек? Результат был неотличим – пустое место на диване… Ответить на этот вопрос можно было только зная, что там лежало до того. Размерность ноля штука загадочная. Прошлое оказалось связано с настоящим. Борьба с категорией времени пока откладывалась на неопределённое время. Рано. Введение первичного понятие ноля оказалось легким – «нет стекляшек», «нет каштанов». Алиса даже научилась класть на пустое место карточку «0».
Четвертый подход.
Другой полюс понятия числа составляла категория «больше-меньше». Она явно задавалась не числовым способом. Самое простое, когда меньшая фигура умещалась на другой, или была подобна. Ряды квадратных стекляшек наглядно сдвигались в прямоугольники…
Больше или меньше КУЧА каштанов по сравнению с другой тоже решалась не пересчётом. В конце концов, можно не считая произвести биекцию и признать большей ту кучу, где каштаны остались без пары. А если объекты сплошные, то мысленно разбить их на равные фрагменты и таки произвести биекцию. Движение глаз, судя по литературе, довольно хаотичны. Но, случайная выборка точек наблюдения, типа «есть-нет», на случайной фигуре ничем не хуже регулярной решётки. Главным счетчиком числовых характеристик был мозг, считая и абсолютизируя свои движения, свои импульсы, свои реакции. Геометрия была в наблюдателе, а не в окружающем мире. В нём были все линейки и меры. «Человек – мерило всего». Множества не существовали без наблюдателя, без действий наблюдателя над ними. И любое прикосновение к элементу множества делало его счетным множеством самого себя, разрушая любое доказательство, изменяя структуру несчётного множества, из которого его извлекали, изменяя предмет доказывания. Разрушая бинарное соотношение множества «до» и множество «после». Завершенная биекция разрушала актуальную бесконечность. У Кантора была причина для безумия.
Здесь Алиса тоже медленно начинала делать успехи. Уверенно раскладывала карточки «>меньше» под одним каштаном и «больше>» под группой каштанов.
Изучать соотношение «больше-меньше» они начали с групп, которые состояли не более чем из трех предметов. Очень быстро Алиса стала правильно сравнивать и группы из четырех и пяти предметов. Пока не считая.
Успешным приёмом оказалось составление рядов и столбиков из квадратных стекляшек. Он перекладывал стекляшки из одного столбика в другой. На глазах у его ученицы один столбик вырастал, другой уменьшался и тогда она меняла местами таблички «больше» и «меньше».
Пожалуй, у наблюдателя первичной была биекция разделенной на куски бесконечности. Деление было первичным. Ибо «неразделённое непознаваемо». Сомкнутые в целую фигуры квадратики подходили для это идеально. Эрик надеялся, что, когда конфигурации станут произвольными, внучка начнёт их считать.
Пятый подход.
Эрик решил вернуться к мысли, что элемент и место элемента были связаны определенной биекцией. Было необходимо изучить педагогические возможности наглядного представление числа, как сложного организованного множества. Он снова разложил ряд каштанов и под каждым положил его номер. И случилось чудо. Кода он наглядно отнимал или прибавлял даже несколько каштанов, Алиса безошибочно называла результат! Она поняла суть алгоритма, называя цифру под последним оставшимся каштаном.
Более того, она даже запомнила «таблицу» вычитания и сложения по одному до двенадцати. В этом случае ей уже не требовалось наглядная нумерация. При этом отнимать и прибавлять каштаны можно было вперемежку - и с конца, и с начала ряда! Нумерация оторвалась от конкретной геометрической реализации. Стала вариативной, абстрактной.
Удалось реализовать и ещё один важный алгоритм оперирования с числом. Алиса научилась откладывать заданное количество каштанов из «безразмерной» кучи. Здесь ей было очень важно непрерывно держать в голове заданное число и остановиться, когда устный счет действий по перекладыванию совпадёт с заданным числом. Способность концентрировать свое внимание явно выросла и давала сбои только, если счёт выходил за пределы двенадцати предметов. Вообще, задание «отложить» как-то автоматически сделала наглядной операцию вычитания.
Впереди было соединение нескольких граней понятия «число». Необходимо было соединить геометрическую категорию «больше-меньше» с категорией номера. …И научить ребёнка, не умеющего говорить, писать все это в рамках математического словаря. Обнадеживало то, что его знакомые математики всегда с важностью подчеркивали бедность математического языка.
Пожалуй, стоило перейти к графическому сопровождению действий и попытаться ввести: «+», «-», «=», «>»… Эрик решил научить комплектовать карточки «2 больше», «3 больше» числами «1» и «2». Нарисовал столбики из одного, двух, трех и четырех квадратиков, связал их знаком «<». Но на внучку это впечатление не произвело, она назвала знак «меньше» - «л»…
Неожиданно на них навалилась очередная «регрессия». В геометрическом счёте Алиса утратила способность считать до 40. С трудом пересчитывала группы, состоящие из 22х предметов. Повторились сбои в счёте при переходе через двадцать. Эрик начал всё сначала.
Через месяц внучка восстановилась, освоила категорию «больше-меньше» на уровне столбиков и рядов, в которых насчитывалось до пяти кубиков во всех комбинациях. Сравнение больших и маленьких букв, квадратов, крестиков трудностей не вызывало вообще. Кстати, сравниваемые столбики могли насчитывать до дюжины кубиков. Разница в высоте резче бросалась в глаза. Они перешли к этапу распознания количества стекляшек в Г-образной конфигурации. Если в коробке было три кубика и её просили отложить четыре, она просто добавляла один. Комментировала убывание и наращивания ряда до двенадцати по одному. Устно знала таблицу сложения и вычитания по одному до пяти. Алиса снова стала считать до сорока, цифры знала до пятнадцати. Своеобразным «пазлом» стало составление под картинкой фразы из готовых слов. Эрик и здесь сделал ставку на описание геометрических соотношений: «на столе», «под столом», «сидит», «лежит», «стоит»… Проникли фразы и в «рабочее» устное общение.
Заключение.
Все же они с внучкой вырвались за пределы формальных возможностей. Хотя это почти никак не сказывалось на речи. Младшая внучка Вика резко прибавила в речи предложениями после двух лет и восьми месяцев. Развитие же Алисы буквально упиралось в этот порог. А ей уже было девять с половиной…
Дед знал, что отсутствие способности считать может быть просто симптомом, а не причиной. А его преодоление может ничего не изменить. Врачи часто лечат симптомы, снимают боль, не излечивая болезнь. Опытный ремонтник, Эрик не раз сталкивался с ситуацией, когда замена предохранителя ничего не меняла, и через некоторое время он снова сгорал. Потому, что нечто более глубоко работало не так. Ремонт - дело тёмное. … Иногда - занудное, иногда - безнадёжное, иногда - азартное… Но он знал, что любая функция организма изменяется и совершенствуется под действием нагрузки. Иногда возникает компенсация без излечения порока…
Когда тебя понимают это – милость. В двадцать лет Эрик считал, что его можно понять с полуслова и удивлялся непониманию. В сорок уже тщательно писал докладные. Сейчас следил за произношением. Надо было ограничивать словарь общения понятными словами. Он собирался составить словарь глаголов…
Радовало, что у внучки появились самостоятельные игры и занятия. Рисование, планшет, пазлы, странное получтение-полупросмотр двух десятков книжек, которые он переписал, и пары сотен листов самопальных стихов и сказок.
Корректное чтение, счёт, складывание сложных пазлов скорее были спортом. Здесь ей важно было добиться признания специалиста – Деда. Появилось самомнение и самолюбие. Сделав ошибку, Алиса часто настаивала на ней до конца, хотя задачу Эрик упрощал до варианта, который она знала «на зубок». Вплоть до того, что два предмета пересчитывались ей как три. Они ссорились, упрямый ребёнок изгонялся к матери…
В рамках своих возможностей девочка была на удивление похожа на самого Эрика. Искала свои варианты решения задач и настаивала на них. Он научил её считать рядами. Но однажды, посчитав два ряда с начала и до конца, следующий ряд Алиса стала считать с середины, потом вернулась в начало ряда и посчитала первую половину. Результат сошёлся, и Эрик не нашёлся, что возразить. Только обиженно попенял: «Правильно. Но, не как дедушка учил.» Ребёнок начал осознавать инвариантность последовательности счёта…
Пора было снова возвращаться к словам. «Два меньше трех» это – три слова. Необходимо было создавать реальность из трех слов. Действием… картинкой… конструкцией. Если где-то развитие встало, значит в другом месте открылись возможности, и их надо было найти. Его снова ждал педагогический поиск.
Они оперировали воплощенными в конфигурациях числами. Сравнивая две конфигурации из прямоугольных стекляшек, внучка очень лихо научилась делать биекцию, выделяя элемент без пары. После чего уверенно клала под фигурой слово «больше>».
Складывала кучки в одну, откладывала из кучки другую. Пересчитывала стекляшки, каштаны, кубики. Сложился технологический словарь: «сложить», «отложить», «отнять», «больше», «меньше». Как когда-то цифры дублировали слово, сейчас слова дублировались знаками: «+», «-». Идеи равенства, конгруэнтности и обмена начинали витать в воздухе
Обмен – очень позднее изобретение человечества. Наверное, именно понимание того, что нужно дать, прежде чем взять, было содержательным этапом развития, которое включало в себя ВСЁ. Увы, Алисе было так мало надо, что торга не возникало… Впрочем, прабабушка с ней постоянно о чём-то торговалась…
Изменилась старшая дочь. Благодаря её занятиям темп обучения почти восстановился. Алиса научилась отслеживать интонацию, стала капризничать и закатывать истерики, не связанные с состоянием здоровья. Впрочем, если они затягивались, то начинались головные боли и судороги мышц. Это тоже было развитием. Мимика, нормальная для трехлетнего малыша, на лице девятилетней девочки иногда пугала…
… Когда Эрик в очередной раз сказал «неправильно», его ученица закричала, ударила лбом в лоб, укусила его руку и убежала. Старик выпрямил сгорбленную спину и стал равномерно, старательно дышать. Когда-то он считал данностью СССР, первые два года считал данностью здоровье внучки. Все это оказалось случаем. Зыбкой дымкой бытия. Что имел, он не сохранил…
Через десять минут девочка вошла в комнату, села рядом на диван и прижалась к седому, правильно сидящему мужчине. Обняла его голову и попросила без падежей и склонений: «Любить, любить…». Человечество глядело на Эрика ясными безумными глазами ребёнка. Оно жгло еретиков и требовало их любви. В истерике разрушало до основания всё созданное, споткнувшись о ерунду. И никогда ничему не училось с первого раза. И с второго. И с третьего. Эрик стал водить по буквам пальцем, и дед с внучкой снова пошли в безнадёжную атаку на судьбу.
Часть 2. Нет цели, только - путь
Поражение
Все сроки вышли. Алисе исполнилось одиннадцать лет, и последний возрастной рубеж интенсивного развития мозга был пройден. Статистически с этого момента начиналось эмоциональное выгорание и у детей и у их родителей. Если интерес родителей к ребенку угасал, интенсивность и качество занятий падали, то многие дети начинали деградировать. Гормональные бури могли свести на нет любые педагогические усилия, или просто вызвать непредсказуемые изменения здоровья. Кто-то умирал от тайной невыясненной болезни.
Впрочем, книжечки обнадеживали, что при сохранении статус-кво ребенок мог развиваться и дальше. Просто темп этого развития был ниже двух месяцев за год. Так получалось по последним записям, когда это еще можно было как-то отслеживать по набору стандартных навыков. До совершеннолетия у Алисы был шанс вырасти на год, перешагнув в своем вербальном развитии трехлетний рубеж.
По шкале Эрика ее речи было два года десять месяцев. Наконец-то оформились классические истерики. Вначале бурные и отчаянные они понемногу превращались в попытки манипуляции и давления на окружающих. Развитие шло и это радовало. Переходы от агрессии к ласкам иногда пугали своей скоростью…
Она стала ростом с маму, и во время приступов это становилось проблемой. Как минимум половину из них можно было отнести именно к истерикам. Впрочем, у Алисы все было «атипичным»… Боли вызывали у нее истерику, а истерика боли. Спираль инферно раскручивалась. Прибегали соседи, требуя успокоить ребенка и поставить укол. У них было право на сон. Врачи божились, что все, что надо, они выписали…
Рождающаяся Воля обострила борьбу за Власть, усилила конфликты. Состояние аффекта, очевидно, совпадало с попытками принудить Алису к действию. Гнев возникал даже при раздраженных интонациях или нежелании «играть в школу». Сознательное сопротивление переплеталось с утратой контроля над агрессией, фантомными и реальными болями. Приступ превращался в «игрища» капризничающего ребенка, а «игрища» в приступ.
Время занятий разделилось на две части. Сорок минут они играли в «школу», на которых Алиса бубнила заученные тексты книжек и требовала повторения произнесенных слов. А занятия требующие интеллектуального напряжения сократились с тридцати минут до двадцати. Замечания и поправки иногда вызывали ярость, судороги. При этом она могла вцепиться в деда или мать и как заклинание повторять: «Люблю. Люблю. Люблю.» Ее кора совершенно не тормозила… Однако, когда ей удавалось нарисовать нечто, или написать, или завязать узел и дед бегал это показывать маме и прабабушке, таская «отличницу» за собой, легкая эйфория была обеспечена на весь вечер.
Очевидным результатом развития было то, что признаки атипичного аутизма с умственной отсталостью стали вполне однозначными. У внучки появилось видение порядка. Книжки прочитывались в определенной последовательности и объеме, дедушка должен был переодеться… Вот, спать внучка отходила в произвольное время, исходя из своих текущих желаний. В этот вопрос порядок как-то не проникал.
Алиса часами могла читать наполовину выученные книжки, если дед повторял каждое её слово. Однажды Эрик изменил правила и стал повторять, только если «учительница» произнесет фразу или предложение целиком. Через двадцать минут внучка стала кричать. Он ограничил нововведение десятью минутами, или первыми признаками приступа.
Кукол Алиса не воспринимала. Пока ей был дедушка. Когда он приходил после работы, на нем расстегивали пуговицы рабочей одежды, застегивали на домашней, приносили тапки… Когда он уходил, пуговицы и молнии на нем застегивали, завязывали шнурки на два узла. Сам он научился завязывать ботинки «бантиком» в пять лет. Научить этому Алису, пока не получалось. Потом добрая девочка вручала дедушке ключ от входной двери и начинала подталкивать на выход.
Это было не игрой, а диагностическим признаком аутизма. Алиса отслеживала ритуал прихода и ухода. Возня с пуговицами и застежками не была самоцелью. Дед просто должен был переодеться в домашнее – однажды, подергав за ремень, она просто сунула ему домашние штаны. Важен был результат, правило. Возможно, что и чтение тоже было ритуалом, а не свободной игрой.
Утешало, что это было развитием. Увы, заниматься «делом» без Эрика Алиса так и не научилась. Теоретически усложнение эмоционального мира должно было давать какие-то дополнительные возможности для стимуляции познания. Но Эрик их не видел. В душе он был непреклонным фельдфебелем, а не манипулятором, и злобился.
Первоначальный замысел провалился. Эрик признал поражение, решил перестроиться и скорректировать цели. Он стал бороться за то, чтобы Алиса могла остаться в семье. С ней уже становилась тяжело. В спецучреждении из неё для простоты сделали бы овощ. Книжки обещали, что с диагнозом «умеренная умственная отсталость» человек может достичь уровня развития шестилетнего ребенка. Это никак не просматривалось, но задача себе была поставлена. …И еще этот шестилетний ребенок должен быть хорошим и не представлять опасность для окружающих. Алиса же в перспективе явно вытягивалась к двум метрам. С добротой и состраданием у неё было так себе… Пока она оставалась красивой, и люди считали нужным возиться с ней. Старшенькая следила за ее весом, питанием и двигательной активностью. Прабабушка старела и старалась закормить любую проблему. Однако, свой вес она держала.
Разделяй, чтобы управлять. Множества и границы
Нужна была идея. Нужен был минимизированный язык совместимый с общепринятым. Нужны были фундаментальные абстрактные понятия, усвоенные на доступном и актуальном для ребенка материале. Эрик по прежнему верил в математику. Это был концентрат простейших формализуемых закономерностей окружающего мира. Бедность и относительная однозначность её языка привлекала. Язык математической логики. Вот, что было нужно. Пожалуй, операции над множествами были более первичными, чем операции над числами.
Порок традиционной математики был в том, что элементарным заявлялись понятия весьма неэлементарные. Они складывались после интуитивного и хаотичного усвоения массы неосознанных закономерностей. Не было в окружающем мире ни точки, ни единицы. Множества – может быть. Причем, несчетные. Не умеет человек считать при рождении. Пожалуй, раньше всего усваивалось такое материально-нематериальное понятие как «граница». Она отделяла точку от точки даже, на математической прямой. Ибо не ввести понятие единичного без границы. При этом о факте ее существования помалкивали. Изначально же для человека существует математика границ, а не математика точек. Отличие порождает границу и ее загадочные свойства. Так вполне физическая граница света и тени может перемежаться со скоростью большей, чем скорость света. Вот передать информацию (причинно-следственную связь), со скоростью большей скорости света нельзя.
Однако… Если можно предсказать лунное затмение, то информация о лунном затмении может быть получена не только в его момент, а задолго до того. Ибо в мире абсолютных причинно-следственных связей все события уже произошли и вся возможная информация уже получена. Т.е. только истинно случайное событие может лежать в начале причинно-следственной цепочки, быть причиной существование Времени, определять скорость распространения информации. Поэтому физики осторожно используют понятие «скорость сигнала».
Кстати. Согласно этой логике, ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО НЕВОЗМОЖНО, ИБО ГРАНИЦА НЕ СУЩЕСТВУЕТ БЕЗ МНОЖЕСТВА, а множество без границы.
Для познания исходное – Хаос, а не множества точек. Разум проводит границы. Он делит Хаос на фрагменты с определенными отношениями доступными Разуму, а не абсолютными. Человек – мерило всего. «Неразделенное непознаваемо», «разделяй, чтобы управлять». Управление же – синоним познания. Неактуальное знание не проверяемо и знанием не является. Знание - то, что помогает управлять миром, не привлекая внимания санитаров.
Первична дилемма - «делить - объединять», и только потом - «добавить – отнять». Именно деление (отделение) порождает свойство единичности. Мы отколупываем от бесконечности познаваемые кусочки и оперируем ими. Увы, при усложнении задачи сами кусочки оказываются тоже бесконечностями.
Любое число является диалектическим единством операций и натуральной единицы. Которая – внутреннее мерило счетчика-наблюдателя. И сама натуральная единица результат осмысления суммы плохо осознанных операций над окружающим миром. Она - не небесная абстракция, она – яблокогрушеотрезок с продолжением этой размерности почти в бесконечность, и сравнима с Именем Бога. Безразмерности для материалиста не существует. Тем более нет безразмерности у конкретных величин. Например, у вероятности. Кот Шредингера у физиков до сих пор орет как резанный, будучи не в силах решить есть он или нет, от того, что они смешали размерности потенциала событий и потока событий. Дескать, и то и другое – штука. Вспомнить о законе Ома и различии вольта и ампера никому не довелось. Есть размерность и у такой эфемерности как творчество! Это - отношение времени исполнения инструкций и времени написания своей инструкции в условиях выбора. А минимум выбора это выбор мощностью в один бит, когда бабушка надвое сказала. Такое определение позволяет считать объем творчества произведением времени написания инструкции и мощности выбора творца за смену – час умноженный на бит. Если нет выбора, или власти инструктировать (а технология, чертеж, рассказ, это тоже – инструкция), то нет и творчества.
«Рука создала мозг» и «Человек – мерило всего». Из этих утверждений Маркса и Протагора вытекало, что мерило единичности – действия руки и её отражений. Будь то экскаватор или компьютер. Разумеется, в диалектической связке с мозгом. Все что можно взять в руку – единично, даже если это горсть песка. Одна горсть песка. Единично и то, на что можно указать пальцем. Или сделать такое указание словом «это». Единичность определяется операциями и счетом операций руки мозгом человека. Нет для мира иной линейки и мерила счета. Падающие камни считают только в контексте того, что их придется разгребать руками. Мнимая составляющая напряжения имеет смысл только потому, что становится вполне вещественной.
Выделять и говорить «это», показывая пальцем, и даже откладывать требуемое количество предметов в сторону, в банку или на указанное место, Алиса умела. Ее математические навыки стали устойчивыми, но застыли в рамках очень конкретных примеров. Без расширения практической деятельности прогресс стал принципиально невозможен. Эрик ошибся. Повторение принципа должно было сопровождаться разнообразием. Считать надо было яблоки, груши палочки, кубики, а не только стекляшки. Более абстрактное – считать действия. Например, прыжки. Он провозился не менее двух недель натаскивая внучку считать хлопки в ладоши.
Исходная позиция. Число как функция самого себя
Принципы экспериментальной математики были просты. Базовые понятия и свойства - те, которые в первую очередь усваивает Алиса. Сложное понятие – то, которое сложно для нее. Первое, что она усвоила, был ряд имен – «Один», «Два», «Три», члены которого были связаны свойством парного следования - на «раз-два». Все, что связывалось с «раз-два-три», давалось гораздо труднее. Вернее, почти не давалось.
Пока Алиса овладела числом, только как функцией самого себя. Эрик выкладывал девять стекляшек и просил «сделать двенадцать». Алиса пересчитывала их, и, продолжив счет, докладывала до двенадцати. Если её просили «сделать пять» из двенадцати, отсчитывала пять и не считая отметала лишнее. Оказалось, что задача на сложение и вычитание имела алгоритм, который не связан с величиной слагаемого и вычитаемого. Числовой ряд, этот ряд имен, связанный свойством следования, не сдавался. Пока он только распался надвое - до имени числа и после имени. Распался темно и непонятно – в действиях, которые очень незначительно отличались друг от друга. Число оказалось алгоритмом, заданным на ряде имен. Действием и именем одновременно. Операция перечисления было фундаментальным понятием. Важно было только остановиться вовремя, услышав сказанное тобой же число. Его надо было держать в памяти, … в очень маленькой слуховой памяти. Пока её и концентрации внимания хватало только до тридцати двух. Это - максимум предметов, который Алиса могла отложить в банку, не забыв поставленной задачи. … При этом общение проходило только в рамках контекста задачи и нескольких слов чисто технологического языка. Он не имел продолжения в быту. Основной приемы объяснения – «делай как я» и «марионетка». …Эрик брал руки внучки в свои и писал, рисовал, составлял пирамиды из кубиков, резал бумагу, составлял ряды стекляшек. Пока действия оставались безымянными.
Алгебра как этап познания числа
Значительная часть описание мира состоит из функций над нечто, или парой нечто. Не больше, иное будет уже заданием над парой пар или парой и единицей. Или просто жульничеством, маскирующим это обстоятельство. Нет в мире функций больше чем, от двух переменных.
Познание ребенка шло по пути - несчетное множество, ограниченное несосчитанное множество единичных объектов, последовательность единичных объектов связанных свойством однонаправленного парного следования, последовательность единичных объектов связанных свойством двунаправленного парного следования, алгебра. Увы, ее алгебра была только промежуточным этапом, на пути овладения счетом чисел. «Два плюс два» было далеко.
Добавить - отнять
Занимаясь биекцией на рядах и конфигурациях стекляшек Алиса, пусть и неуверенно, владела понятием «больше-меньше». Поэтому Эрику сравнительно легко удалось ввести операцию «добавить-отнять». Однако, «добавить» пока никак не сочеталось с задачей «сделать один и три». Сложение и вычитание осуществлялось или пересчетом, или правилом следования, или геометрически на нумерованной доске, где правило следование было воплощено в реальном мире. На счетной доске изменяемое множество представляло собой ряд стекляшек выложенных напротив их номеров. Очевидная и странная «мораль» этого множества заключалась в том, что оно имело «потенциал» - часть номеров была занята стекляшками, а часть оставалась пустыми.
Это не было простым отображением суммы двух чисел на результат. Это было совокупностью «потока» и «потенциала». В рамках этих занятий удалось научить Алису операциям «добавить - убавить» (на один, на два).
Внучка научилась добавлять и отнимать без доски по одному, но это явно не было операциями над числами. Результатом (механизмом отображения на элемент множества) и всеобщим эквивалентом был пересчет, а не таблица сложения. Это было алгеброй, но не было ни магмой, ни группой, ни числовым рядом. У ее множества были границы – самый большой и самый маленький элемент. Ноль Алисой тоже осознавался - «нет ничего».
Алиса по факту добавляла счетное множество один или два предмета к несчетному, ибо она его не считала. Это могло быть не четыре стекляшки, а банка со стекляшками и банка с водой. Суть такого добавления было включение стекляшек в границы множества. И во всю становился вопрос о понимании и свойствах такого базового понятия как «граница». Удивительное понятие без протяженности, массы, энергии, но вполне материальное и ощущаемое рукой! В отличие от точки она явно существовала!
Процесс «отними» тоже был фундаментален. Хотя очевидно, что он был так же элементарен и аналогичен «сделай», «отложи в банку». Алиса отсчитывала две стекляшки себе в руку и откладывала их в сторону. . «Добавить» и «отнять» - годилось и как технологический язык и как общий заменители «сложить», «вычесть», и как перспективные универсальные глаголы. Но они не были операциями над двумя числами.
По сути, прибавление двух к икс было первичным по отношению прибавления двух к четырем! Икс был первичен по отношению к числу! На самом деле эквивалентом несчетности, бесконечности является неопределенность - икс. Та, которая плюс минус лапоть.
Действия над числом и число имеют весьма причудливую связь. «Минус один» это - действие над числом и одновременно – отрицательное число. Мнимая единица – два действия над числом. Даже пять это - пять единиц и четыре действия сложения. При этом волшебная палочка эквивалентности (знак равенства) провоцирует массу ошибок и неожиданные принуждения к абсурду. Четыре это - не обязательно два плюс два, это может быть три плюс один. Мы явно видим разницу, но знак эквивалентности принуждает её не видеть, хотя очевидно , что разбитую чашку не склеить. Впрочем, и вне математики каждый сталкивался с тем, что его принуждают считать эквивалентным неэквивалентное. Например, при назначении суммы возмещения ущерба. Увы. Знак равенства постоянно не равен. Малейшее несовпадение реальности с моделью и вычислители всех мастей начинают агрессивно тупить, втягивая в борьбу начальство и звездочки на погонах. …И реальность отступает.
От математических высказываний к русскому языку
Эрик решил заняться математическими высказываниями и выражениями как инструментарием отражающим наиболее общие свойства окружающего мира. При этом они наглядно демонстрировались на предметных соотношениях и операциях с ними. Рука создала мозг.
Показалась приятной старая знакомая, булева алгебра. Там было шесть эквивалентов бытовых слов: «и», «или», «не», «хорошо», «неправильно», «сделать». И это была законченная система суждений! Эрик просто не мог пройти мимо такого краткого подарка. Легко были усвоены категории «И» и «НЕ». В русском «И» это - союз. Но сейчас он использовался как сложение, как объединение предметов или множеств. Отрицание «НЕ» тоже было усвоено и активно использовалось Алисой – «не мыться», «не читать», «не рисовать», «не дедушка». Отрицание могло превращаться в описание и введение единичного. «А» это – не «Б», не «С», и не все остальное. Оригинальность и единичность это - отрицание несчетного множества всякой ерунды.
Штурм категории «ИЛИ», которая пролезла в задачу для «И», оказался неудачным.
Две кучки из любого количества стекляшек Алиса сгребла в одну кучу на раз. Очевидно, что она их не считала, просто объединяя X и Y. Тогда перед ребенком в вершинах треугольника были выложены три, две, одна стекляшки, и прозвучали священные заклинания: «сделать три и два», «сделать один и два»… В решении появился выбор из трех вариантов и внучка стала путаться.
Операция над двумя переменными требовала четкого выделения слагаемых из мира. Эрик перешел к тренировке понятия «это», «покажи» на самых разных объектах, но так, чтобы их было не более двух. Предложения при этом звучали несколько необычно: «синий кубик, желтый кубик, сложи». Слов было много и остался вариант: «синий, желтый, сложи». Тыканье пальцем весьма неприлично, но необходимо. Рука формирует мозг. Даже псевдодействие эффективнее шелухи слов… Алиса быстро научилась делать это сама. Самым эффективным оказался вариант «сделать синий и желтый».
Внучка научилась оперировать тремя кучками размером до пяти стекляшек. Окрыленный Эрик предложил Алисе «сделать один и три» выложив перед ней четыре группы: из одной, двух, трех и четырех стекляшек. Алиса опять не смогла даже просто показать пальцем на группу из трех стекляшек. Провал был оглушающим и бесперспективным. Эта задача требовала пересчета каждой кучки, запоминания результата, перехода к следующей и фиксирования отрицательного результата в виде наращиваемой конфигурации «запретных» кучек. Увы, увеличивая сложность задач, надо было контролировать сложность программы из изученных навыков. …Вряд ли педагогов обучали программированию.
Глагол «сделать» был базовым при занятиях математикой. Это было и «сложить» и «отнять» и выложить ряд стекляшек с нуля. Иногда Алиса брала деда за руку и тянула к стекляшкам, предлагая сделать требуемое самому. Больше всего он напоминал знак следования, импликации. Но при этом в явном виде содержал в себе еще и неопределенный функциональный процесс. Определены были только исходная конфигурация и конечная. Искомым по факту была функция, действие. Эрик такое встречал на производстве и в функциональном анализе - студентом, синтезировал регулятор в курсовике по ТАУ.
Словесная формула «сделать А и Б» пока была универсальной. Эрик надеялся, что потом внучка поймет и «объединить», и «сложить», и «положить», и «добавить», и «совместить», и многое другое. Но пока с синонимами надо было бороться – русский язык убивал мозг умственно отсталых, не давая им шанса. В процессе их математических упражнений эти слова однообразно повторялись чудовищное количество раз. Эрик к этому привык, и именно это было нужно. Увы, ситуация требовала комфорта для двоих. И в этом была определенная сложность. Крест надо было выбирать по силам.
В школе стали безумствовать учителя, подделывая успехи. Если верить тетрадям, то Алиса уже умела писать, хотя в реальности с трудом ИЗОБРАЖАЛА наиболее простыми печатными буквами отдельные слова. Впрочем, она довольно лихо складывала слова из готовых букв. Интеллектуальный слух начинал работать.
Вообще, строгие формулировки звучали сложно. Русские «и», «или» имели в этому весьма косвенное отношение. Связка «если, то» делала внешне простые понятия неподъемными.
Причинно-следственная связь несла в себе категорию времени. В компе процесс превращения причины в следствие нормирован тактовой частотой. В жизни - псевдо-событием и псевдо-причиной, качанием маятника, «тик-тик-тик».
…Но лучше было «раз-два-три-четыре». Универсальная линейка для всего внутри наблюдателя. Его нумерованная тактовая частота. С самым большим номером N. Потому как для N+1 памяти нет, и оно неактуально. Алиса – мерило всего. Тем, кто упорствует, можно предложить назвать самое большое число. «Оно есть, но я не скажу» катит только в детской песочнице и у математиков. …Эрик отступился от «ИЛИ».
Логика мертва. Алгоритм порождает только время
Алиса пыталась угадать решение задачи, выбирая его из опыта предыдущих занятий. Подгоняла результаты. Надо было следить, что бы ответ каждый раз не заканчивался на максимальное число или максимальный десяток. В противном случае в место тридцати трех предметов оказывалось сорок три. Это естественно – если уже видно, что будет тридцать и до сорока ряд стекляшек не дотягивает, то реальность надо подправить до сорока.
К тому же, деление любой задачи на этапы воспринималось ей как помеха в получении результата. Внучка стремилась к разовому интеллектуальному акту.
С Богом трудно спорить. Основа мышления – перебор. Самый простой алгоритм поиска решения - перебор хаотический. Случайный выбор имеющейся возможности, как у инфузории. С этим у Алисы было замечательно, она обладала изрядной энергией. Иногда было утомительно ждать, когда кончится ее батарейка. Устав и разочаровавшись, ребенок затихал в надежде, что само рассосется, или на остатках завода начинал истерику…
Сложнее хаотический перебор с запоминанием решения или комбинации действий, которые принесли успех. Правильные решения лежали в голове девочки кучей. Иногда ей казалось, что правильно закатить истерику, иногда - вместо одной стекляшки дать горсть. Иногда она отнимала, когда просили прибавить, иногда упорно считала до сорока восьми, хотя предметов было тридцать шесть. Видела, что предметов мало и пропускала «тридцать», совсем как проворовавшиеся российские бюрократы. Эрик часто использовал «самое большое» число и оно становилось фетишем.
Еще сложнее последовательный перебор исключающий «грабли». Он возможен только вместе с созданием двух множеств перебираемых элементов – разделением их на «перебранные» и «не перебранные». Элементы первого множества обладая свойством единичности (именем) разбиваются еще на два – «годных» и «не годных». Элементы второго по сути являются элементом «несчетного» множества. Ибо не сосчитаны и не оценены. Вернее, множества неопределенного – мешка с котом. Только границы позволяют назвать его множеством, например А. Одним именем на всех. И пока из мешка Деда Мороза можно доставать игрушки, он – бесконечен. По факту бесконечность является эквивалентом неопределенности. Для этого процесса необходима изрядная память. Источник упорства в хождении по граблям два. Надежда, что рассосалось», и переносимость наказания за ошибку, когда неизвестное наказание страшнее. И потом, способов открыть дверь гораздо меньше, чем не открыть. А память нагружать неприятностями не хочется. Да, и грабли иногда имеют очень причудливую форму сливаясь с местностью.
Процесс оптимизации алгоритма перебора бесконечен. Однако, Разум, потребляющий энергии больше, чем экономит, вымирает.
Время и алгоритм
Любая строчка высказываний или символов – всегда последовательность. Причем, в записи один элемент всегда предшествует другому. Одновременности не существует в принципе. Ни устно, ни письменно, ни в действиях. В СТО она относительна и зависит от определения. Мы все воспринимаем последовательно и мыслим тоже последовательно. Время это - сплошное «соревнование реле» и превращений следствия в причину, измерение одних процессов другими. Качание маятника является условной универсальной причинно-следственной цепочкой всего. Утверждение «через час мы пришли в деревню» - убогая подмена процесса наших шагов, когда каждый шаг является следствием предыдущего и причиной следующего, смешиваясь с намерениями, биением сердца, погодой и ямами на дороге. Дробить эту причинно-следственную цепочку можно до колебаний атомов, до бесконечности. Но проще заменить все качанием маятника или его долями. «Они придут в деревню через час» имеет смысл – они придут в деревню потому, что пройдет час. Час – причина, прошлого или будущего. В других задачах час может быть следствием. Это зависит от задачи решаемой Человеком, мерилом всего. Бытие здесь неразрывно связано со способом познания и неизбежно отражает в себе Личность познающего. В картине окружающего всегда будет присутствовать Личность наблюдателя, даже если ее там нет. Но Личность в окружающем – Бог. Его нет, но он есть. Такова диалектика материалиста. Диалектика верующего иная – Бог есть, но его нет. У крестьянина – «на бога надейся, но сам не плошай». У батюшки – «время доказательства прошло, сейчас – время Веры».
Таким образом, течение времени, по сути, постулируется причиной события. При этом не надо выяснять содержание бесконечной цепочки событий типа: «переместился на метр», «ещё на метр», «спотыкнулся». Не надо ставить им в соответствие событие - «птичка чирикнула на десятом метре». По этому поводу есть анекдот.
Петька приносит Василию Ивановичу собственноручно написанную книгу. Василий Иванович читает:
«Командир дивизии, выходит из землянки, садится на коня, и поехал.
Цок - цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок.»
Переворачивает страницу,
- «Цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок, цок – цок».
Открывает посередине,
- «Цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок, цок – цок».
Доходит до последней странице,
- «Цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок, цок - цок. Спрыгнул с коня и приехал в штаб.»
Здесь «цок-цок» аналогичная причинно-следственная цепочка подобная «тик-так» часов.
Эрик протащил элемент категории времени, вводя в их словарь глагол «закончила». Алиса вместо него говорила «собрала», когда строила башню из кубиков, собирала мозаику, или складывала в стопку книжки. Она усвоила его по утилитарным соображениям – в нагрузку шел контекст, что дальше продолжать не стоит. Понимание момента завершения процесса было.
Категория времени стала актуальной. Оперирование последовательностью чисел это – простейший алгоритм. Озвучивание одного числа есть причина произнесения другого. В более сложных случаях начало и конец действия уже не так просто определить. Алгоритм это – последовательность действий. Проблемы были и с последовательностью и с объектом последовательности, который не распознавался как груши и яблоки. Память была мала. Преобразование слова в образ медленное. Алиса не умела считать действия.
Что есть причина, а что следствие - в этом суть человеческого мерила, времени. И это должно было стать сутью упражнений. Самый простой признак последовательности – связь номеров. Когда «три» следует за «два» потому, что это «три». Для того, чтобы обозначить последовательность событий, не обязательно связывать их реальной причинно-следственной связью, достаточно присвоить событию номер. Считалка на «раз-два-три» обладает громадным смыслом. Она формирует привычку к последовательности действий и заставляет формулировать содержание этапов действий, чтобы их можно было считать. Вводит в практику ребенка понятие алгоритма. Пока пиком их достижений было умение завязывать узел…
Они попробовали считать прыжки, хлопки в ладоши. Увы, Алиса начала просто прыгать или хлопать, не считая. Результата удалось достичь только через пару недель упражнений.
Отдельной темой было рисование. В последние годы даже «солнышко» в свободном творчестве было редкостью. Все, что изображала внучка, она пыталась сделать за одно движение. Если настроение было плохое, то просто закрашивала весь лист беспорядочными линиями.
Ее рисунок не был отображением «три D» на плоскость. Он был символом, иероглифом, смысловой СХЕМОЙ. В четыре года Алиса рисовала как в четыре года. Творческим достижением стал разноцветный букет из зеленых палочек и синих, желтых, красных кружочков. А после произошло то, что Эрик изучал на истории первобытного искусства. Навыки композиции и цвета утратились на несколько лет. Удалось только зацепиться за изображения некоторых букв. Буквы и здесь вытаскивали процесс познания. Цвет рисунков стал монохромным, лучики «солнышка» съехали на одну сторону, и вообще наносились на окружность довольно хаотично. …Главное, чтобы БЫЛО. Схема. А вот буквы должны были быть узнаваемыми, Алиса их читала и старалась.
Ренессанс начался со смайлика с глазами и ртом. Потом появился нос. Эрик стал рисовать конструкции с надписями над составными частями. Пользуясь интересом к цветам, Эрик научил Алису рисовать «цветочек» - знак «v» с листочками-эллипсоидами и двумя бутончиками в виде «солнышка» с частыми лучиками. Потом они перешли к «подсолнуху» и «одуванчику». У «подсолнуха» вместо лучиков были кружочки, у «одуванчика» - буковки «г». Алиса усвоила, что растение состоит из стебля листьев и цветочка, а муравей и человек - из попы, живота, головы, рук, ног, глаз, носа, рта и волос. … Цветы она всегда стала рисовать полихромными.
Однажды на платье-треугольнике было написано «один», на круге-голове – «два», на руках перечеркивающих линией платье – «три», нога – «четыре», нога – «пять». «Один, два, три, четыре, пять. Девочка идет гулять.» У художницы это получилось страшненько, но по инструкции.
Долгое время самой сложной изображаемой буквой была «а». На «один-два» прогресс резко ускорился. «Б» это – «Г» с полукругом внизу. «Т» - «Г» с дополнительной черточкой. «Р» - палочка с полукругом. «В» - «Р» с полукругом. «Д», «Ж», «Ю», «Я» и «К» пока не давались. И, разумеется, Алиса сразу стала писать любимые слова. «Мама», «баба»… Спотыкнулась на слове «дед». Там были сложные «Д» и «Е». Загадочное слово «папа» она тоже написала. Его часто говорили… Буквы продолжали оказывать свое волшебное действие. Их изображение увлекало Алису, она понимала чего хочет добиться, а не просто исполняла волю учителя.
Мать Эрика сказала, что у девочки начал просыпаться инстинкт подражания. Алиса пыталась мыть посуду, полы, двери, оперировать на кухонном столе. Предложения стали редкой нормой и даже слоганом некоторых игрищ. Алиса могла сообщить, что «ела кашу», «надо идти гулять». На труд полного предложения Алиса иногда шла просто ради провокации: «Дед, шоколадку дать. Дед, сосиску дать.». Она прекрасно знала, что дед этим не занимается, и произносила это с хитрой улыбочкой. Однажды Эрик весьма содержательно побеседовал узнав, что днем Алиса ела суп, пила воду, гуляла, ездила на автобусе, любит дедушку. И еще болела нога… Эрик стал для Алисы обществом, дворовым хулиганом, принявшим глупую маленькую девочку в свою взрослую кампанию, потому что во дворе с ней некому было играть. Он снисходил к ее несовершенствам , тем не менее обозначая и не избавляя от жестоких правил двора. Люди стремятся соответствовать требованиям социума не задумываясь о сути этих требований. Без любви. Подросток стал манипулировать, подлизываться, лгать, требовать, истерить. Он развивался и становился человеком.
…Шестилетний внук Герман брякнул «пустое множество» и «максимум». Откуда!? Младшая дочь успокоила, сославшись на то, что на совещаниях она тоже часто делает высказывания чисто интуитивно и с очень приблизительным смыслом, но все считают её умной и никто не переспрашивает. Эрик обращал внимание на то, что люди используют непонятные для них слова, маскируя свое невежество. Впрочем, внук вполне доходчиво объяснил ему, что такое «максимум». Когда же его переспросили о «пустом множестве», сказал, что такого не говорил, а нарисованный им кружочек перечеркнутый палочкой – «орех». Темна вода в облацеях.
У Алисы появился спектр ответов блондинки для поддержания контекста разговора: «Что такое?», «Да что ты?». Эрик вначале не реагировал на словесный мусор, но потом решил, что диалог надо продолжать до упора и стал отвечать содержательно. Ассоциативное общение надо было поддерживать хотя бы потому, что в нем использовались связки слов и мелькали тени мыслей. Цели во всем этом не было. «У самурая есть только путь».
Проблемой стало то, что всегда являлось проблемой – «бабуинка». Жажда власти над миром и масса эмоций связывающих Алису с этим миром, которые сформировались абсолютно хаотично.
«Бабуинка» опять сломала всё. Началась «регрессия». Внучка снова начала переиначивать полученные навыки в надежде, что «два плюс два» можно изменить волей и напором. Сбоил даже обычный счет типа «отложи 32». Из нового удалось сохранить только упражнение на объединение «один и два», «два и три», «три и один». При этом стекляшки пришлось разложить на карточках с надписями «1», «2», «3». Операции «добавить-отнять» стали недостижимы. Все упиралось в критерий «больше-меньше», который был оценкой нарушения биекции с прошлым образом объекта. Наверное, это стоило визуализировать. Разложить меру из пяти красных стекляшек и больше меньше преобразовывать ряд желтых. …Или вернуться к счетной доске. Это тоже было функцией одного переменного и должно было прокатить. …Ремесленник Эрик снова пошел чужим путем самурая. Своих саней не было.
Кризис был преодолен за полгода. Надо было решить для себя, что такое "больше". Эрик вернулся к несимметрии биекции двух множеств. Множество, члены которого остались без пары, было больше. Поэтому они опять начали сравнивать конфигурации стекляшек…
Самую большую значимость в животном мире имеет рост. Это фундаментально, это на подкорке. Это ребенок усвоил быстрее всего. И Эрик вернулся к сравнению столбиков из кубиков. Потом на глазах у Алисы положил их на поверхность доски выровняв их концы по краю учебной доски. Добившись автоматизма, через пару недель, поставил столбик из трех кубиков. Сказал: "Дедушка сделать больше". И добавил кубик сверху. Предложил, показав на столбик пальцем: "Сделать больше". И процесс пошел! Еще через две недели показал, как "сделать больше на два". Дальше последовало "сделать больше на два синие", "три сделать больше на два". Как ошибочная альтернатива рядом ставился желтый столбик и клались две стекляшки. Предложения уже состояли из пяти слов и трех понятий. И, да Алиса ощутимо прибавила в речи. Правда, что было первично осталось загадкой. Может быть метода, а может быть дедушка, которому это все было нужно, который злобился, радовался, и матерился в обоих случаях. Для науки это осталось загадкой. Тем не менее, исторически "два плюс два" и подлежащее со сказуемым оказались связаны. Прижилась фраза: «Сделать больше два раза». Это опять было вызовом теории числа. Мерилом снова оказался человек, его действие. Любая суть определялась операциями над ней. То, на что нельзя было отреагировать, было фоном, пугающим хаосом.
Замедленное развитие позволяло осознать и изучить каждый этап познания числа. Медленно, путем осознанных проб и ошибок идти тем путем, которым шел интеллект, опираясь на самое необходимое, самое простое и понятное несчастному ребенку. Процесс строился на реально базовых свойствах познания бытия, путем опыта, а не академического умствования. Его математика подобно физике опиралась на эксперимент. Мгновенная интуиция нормальных детей делала такое невозможным. В свое время Эрик строил телескопы и вглядывался в небо, наращивал увеличение. Он бросил астрономию, когда понял, что никак не может повлиять на звезды. Сейчас не состоявшийся астроном вглядывался в свою внучку, которая бесконечно увеличивала период обучения… Она тоже была Вселенной.