Исчисление бесконечно больших
Самую простую бесконечность мы можем представить как множество натуральных чисел: 1, 2, 3,
Понятие множества появилось в математике в конце 19 века. Немецкое слово для обозначения множества, Menge, было введено Бернардом Бользано в его работе "Парадоксы бесконечности".
Но исторически парадоксы, связанные с точными логическими определениями, были известны и ранее. Такими являются парадоксы всемогущества.
Парадоксы всемогущества — семейство парадоксов, связанных с различными интерпретациями понятия всемогущества. Так, парадокс возникает из представления о всемогущем существе, способном ставить перед собой невыполнимые задачи или воплощать в объективной реальности логически противоречивые словесные конструкции («квадратный круг»). Такое понимание всемогущества отвергалось большинством представителей западной религиозно-философской традиции, начиная от Фомы Аквинского. Комплекс логических проблем, связанных с парадоксом всемогущества, иногда рассматривается как доказательство невозможности существования Бога, хотя представление о беспредельном всемогуществе, пренебрегающем законами логики, чуждо ортодоксальному богословию. Попытки решения парадокса сводятся к уточнению содержания понятий «всемогущество» и «Бог», а также выяснению вопроса о том, является ли сам Бог объектом приложения своего всемогущества.
Парадокс всемогущества упоминается в работах средневековых теологов по меньшей мере с XII века; к нему обращались Ибн Рушд (1126—1198) и Фома Аквинский (ок. 1225—1274). У Псевдо-Дионисия Ареопагита (до 532) встречается одна из ранних версий парадокса — вопрос о том, может ли Бог «отрицать самого себя».
Наиболее известной версией парадокса всемогущества является так называемый «парадокс камня»: «Может ли Бог создать камень, который он сам не сможет поднять?» Такая формулировка парадокса уязвима для критики ввиду неточности терминов, отсылающих к физической природе гравитации: так, вес предмета определяется силой воздействия на него местного гравитационного поля. Существуют альтернативные формулировки парадокса, свободные от указанного недостатка: «Может ли всемогущее существо, действуя в рамках геометрии Евклида, создать треугольник, сумма углов которого не равна 180 градусов?» и «Может ли Бог создать настолько надёжную тюрьму, что сам не сможет из неё вырваться?».
Парадокс всемогущества является частным случаем парадокса Рассела.
Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория множеств, в которой построение такого множества возможно.
Георг Кантор, один из основоположников теории множеств, дал следующее определение в начале своей книги о начале процесса преобразования Менгенлехра: множество - это совокупность определённых объектов нашего восприятия или нашей мысли, которые называются элементами множества.
Парадокс Кантора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.
Бертран Рассел ввел различие между множеством и классом (множество - это класс, но некоторые классы, такие как класс всех множеств, не являются множествами).
Парадокс Рассела (антиномия Рассела, также парадокс Рассела — Цермело) — теоретико-множественный парадокс (антиномия), открытый в 1901 году Бертраном Расселом и демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело.
На неформальном языке парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом.
Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется расселовским множеством. Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.
С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.
Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество.
В любом случае получается противоречие
Когда математики имеют дело с тем, что они называют многообразием, совокупностью, менджем, ансамблем или каким-либо именем, обычно, особенно там, где число задействованных терминов ограниченно, рассматриваемый объект (который фактически является классом) определяется перечислением его терминов и, возможно, состоит из одного термина, который в этом случае является классом.
Бесконечные множества в системе счисления
Бесконечное множество - это множество с бесконечным списком элементов. Для описания бесконечного множества в нотации реестра в конце списка или на обоих концах ставится многоточие, указывающее, что список продолжается вечно. Например, множество неотрицательных целых чисел равно
{0, 1, 2, 3, 4, ...},
и множеством всех целых чисел является
{..., ;3, ;2, ;1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Сверхтонкая структура множества бесконечно больших чисел
Полагая известными основные понятия теории множеств (конечность и бесконечность, мощность, кардинальные числа, исчислимость и неисчислимость, дискретность и непрерывность, отношения с подмножествами и т.п.), мы переходим к пояснению приложенных на рис. в начале заметки 4 постулатов, необходимых на практике при работе с бесконечно большими числами.
Первый постулат о бесконечности ряда натуральных чисел лежит в основании понятия исчислимого бесконечного множества с кардиналом мощности, обозначенным Г.Кантором как «алеф-ноль». В натуральных конечных степенях мы получим ту же мощность, но когда показатель степени бесконечен, мы всё-таки переходим к большей мощности.
Второй постулат касается действительных чисел. И тут мощность множества по сравнению с мощностью целых чисел (вообще с мощностью исчислимых множеств) увеличивается резко скачком. Кардинальное число в этом случае Кантор обозначил как «алеф1».
Третий и четвёртый постулаты интуитивно ясны и дают соотношения между мощностями рассматриваемых бесконечных множеств и являются основополагающими для классификации и упорядочения бесконечно больших чисел. Для практической работы и вычислений это позволяет оценивать скорости и возможности получения результатов.
Приложение
Эпикур
Эпикуру обычно приписывают следующее высказывание, его иногда называют «Эпикурейский парадокс», «загадкой Эпикура» или «Эпикурейской трилеммой»:
«Бог желает предотвратить зло, но не может? Тогда он не всесилен. Он может, но не желает? Тогда он злой. Он и может, и желает? Тогда откуда берётся зло? Он не может и не желает? Тогда зачем называть его Богом?» — Эпикурейская трилемма. Сам Эпикур не оставил письменную форму этой трилеммы. Он, возможно, был найден в трактате христианского богослова Лактанция, где он критикует заключение. Трилемма Эпикура, как представил Лактанций, фактически утверждает, что всемогущих и всеблагих Богов не существует, они далеки и не вовлечены в проблемы человека. Боги нам ни друзья, ни враги.
Дэвид Юм
Дэвид Юм сформулировал проблему зла в Диалогах о естественной религии :
Он [Бог] желает предотвратить зло, но не может? Тогда он не всесилен. Он может, но не желает? Тогда он злой. Значит, он может и желает? Тогда откуда приходит зло? «[Божья] сила позволит нам [существовать] вечно: всё, что он пожелает, осуществляется. Но ни человек или другое живое существо не будут счастливыми. Поэтому он не даст им счастья. Его мудрость бесконечна. Он никогда не ошибается в выборе средств ни для какого конца, но курс природы склоняется не к счастью животных или человека. Следовательно, это не установка для его цели. Через весь компас человеческого знания, нет никаких выводов, более бесспорных и безошибочных, чем они. В каком плане, в таком случае, его доброжелательность и милосердие напоминают доброжелательность и милосердие людей?»
Готфрид Лейбниц
В своём Словаре исторического и критического анализа (фр. Dictionnaire Historique et Critique), скептик Пьер Бейль отклонял совершенство и всемогущество Бога вследствие страданий, испытанных в этой земной жизни. Готфрид Лейбниц ввёл термин теодицея в 1710 в своей работе Теодицейские очерки по благосклонности Бога, доброй воле человека и источнике зла (против Бейла). Он утверждал, что существующий мир —это лучший из всех миров, который мог создать Бог. Подражая примеру Лейбница, другие философы также называли свои трактаты по проблеме зла теодицией. В популярном романе Вольтера «Кандид, или Оптимизм», автор высмеивает оптимизм Лейбница через рассказ о наивной молодёжи.