1. Значение Декарта
Рене Декарт (1596—1650), по словам Гегеля, является героем, начавшим заново процесс философствования и создавшим ту рациональную почву, на которую современная философия возвратилась после тысячелетия отречения. Влияние этого человека на его эпоху и вообще на ход развитие человеческого мышления так велико, что как бы ни было подробно изложение, оно не будет слишком пространным.
2. Биография Декарта
Что касается жизни Декарта, то он родился в 1596 г. в Туреньском городе Ляге во Франции. Декарт происходил из старинного дворянского рода. Отец его был членом совета парламента Бретани и владел небольшим участком земли.
С 1604 по 1612 год Рене воспитывался в иезуитском колледже Ла Флеш, что, по-видимому, дало ему более основательные познания в современной математике, чем он мог бы получить в большинстве университетов того времени. Он обладал живым умом и беспокойным характером, с неутомимым рвением брался за все, бросался во все стороны, увлекался различными системами и формами; кроме древней литературы он изучал главным образом философию, математику, химию, физику, астрономию.
Когда Декарт после смерти отца получил наследство, он продал землю, а деньги положил в банк, получая доход в размере шести или семи тысяч франков в год. В 1612 году он переехал в Париж и жил там, вращаясь в большом свете, но, не найдя и здесь удовлетворения, поселился в уединении в предместье Сен-Жермен и здесь занялся геометрией. Только через два года прежние друзья открыли его убежище, извлекли из уединения и снова ввели в большой свет. Декарт отказался от изучения книг и бросился в водоворот действительности. В 1617 г. он отправился в Голландию, где поступил на военную службу. Но поскольку в Голландии временно наступил мир, Декарт в течение почти двух лет мог спокойно предаваться размышлениям. Начало Тридцатилетней войны побудило его вступить в баварскую армию (1619). В ее рядах он проделал несколько походов под начальством великого Тилли. Зимой 1619/20 г. в Баварии Декарт пережил своего рода озарение, описанное им потом в «Рассуждении о методе». Поскольку погода была холодной, утром Декарт залез в печь и, размышляя, просидел там весь день. Когда он оттуда вылез, его философия была наполовину закончена. Он утвердился в намерении всецело посвятить себя наукам. Однако некоторое время Декарт еще находился на службе и участвовал в битве у Праги, где Фридрих Пфалъцский потерял богемскую корону. Наконец, в 1621 г. он ушел из армии и после посещения Италии обосновался в 1625 году в Париже. Впрочем, решение его не было окончательным. В 1628 г. Декарт вновь присоединился к армии, которая осаждала Ла Рошель – крепость гугенотов. Когда осада закончилась, он решил поселиться в Голландии, вероятно для того, чтобы избежать опасности преследования.
По характеру Декарт был достаточно робким человеком, исполнительным католиком, но разделял еретические взгляды Галилея. Следующие 15 лет (от 1629 до 1644) он фактически безвыездно прожил в Голландии, не считая нескольких коротких деловых поездок во Францию и одной в Англию. В этот период он написал и издал большую часть своих произведений, а также защищал их от многообразных нападок, которым они подвергались со стороны духовенства. Через Шаню, французского посла в Стокгольме, Декарт вступил в переписку с королевой Христиной Шведской, пылкой и ученой дамой. Он послал ей трактат о любви, о предмете, которым он до сих пор как-то пренебрегал. Он послал ей также работу о страстях души, которую первоначально сочинил для принцессы Елизаветы, дочери курфюрста Пфальцграфского. Эти рукописи побудили ее пригласить философа к своему двору в Стокгольм, являвшемуся сборным местом знаменитейших ученых того времени. Однако Декарт неожиданно здесь заболел и умер в феврале 1650 г.
3. Труды Декарта
Декарт был философом, математиком и ученым в области естествознания. В философии и математике он создал работы величайшей важности; в естествознании хотя его работы и делают ему честь, но они не столь значительны, как работы некоторых его современников.
Громадным вкладом Декарта в геометрию стало создание аналитической геометрии (позволившую применить алгебраический приемы для решения геометрических задач), хотя и не совсем в законченной форме. Книга, в которой Декарт излагает большинство своих научных теорий, называется «Начала философии»; она была опубликована в 1644 году. Но были у него и другие важные книги, прежде всего «Философские опыты» (1637). Две наиболее важные с точки зрения чистой философии книги Декарта – это «Рассуждение о методе» (1637) и «Метафизические размышления» (1642).
4. Метод «картезианского сомнения». Способность суждения как основа познания мира
Молодость Декарта совпала с кризисом во французской философии, связанном со взрывом скептицизма. Декарт необычайно остро ощутил его за годы своих иезуитских штудий, до дна испив чашу критического рационализма. Подавленный бесконечной путаницей, порожденной недостатками образования, подстегиваемый противоречиями между различными философскими воззрениями и удрученный тем, что роль религиозного откровения в постижении мира все больше отступает в тень, — Декарт пустился на поиски действительно неопровержимого основания для определенного знания. И его разыскания в этом направлении завершились блестящим успехом.
Свои философские труды Декарт начинает с объяснения метода «картезианского сомнения», как он стал позже называться. Для того чтобы иметь твердый базис для своей философии, он принимает решение сомневаться во всем, в чем он может сколько-нибудь усомниться. Первым требованием современной философии он делает устранение всяких определений. Это фундаментальное положение имеет тот смысл, что мы должны отказаться от всякого предрассудка, т. е. от всяких предпосылок, которые непосредственно принимаются как истинные, — и начать с мышления, чтобы, лишь исходя отсюда, достигнуть чего-то прочного и приобрести чистое начало.
Там, где дело идет о искании истины, мы главным образом будем сомневаться, существует ли что-нибудь чувственное и представимое. Мы будем сомневаться в этом, во-первых, потому, что мы находим, что чувства нас часто обманывают, и будет сообразно с благоразумием не доверять тому, что нас раз уже обмануло. Затем также и потому, что нам ежедневно во сне кажется, что чувствуем или представляем себе много такого, чего никогда не было, и у сомневающегося нет в распоряжении никаких признаков, по которым он различал бы сон от состояния бодрствования. Мы, значит, будем сомневаться также и во всем другом, даже в математических теоремах
Декарт искал чего-то такого, что было бы само по себе достоверно и истинно. Все предшествовавшее философствование страдало тем, что заранее предполагало истинным некоторое положение. У Декарта же нет ничего истинного, что не обладало бы в сознании внутреннею очевидностью, или, иначе говоря, нет ничего истинного, чего разум не познал бы столь ясно и убедительно, что совершенно невозможно сомневаться в нем.
И в самом деле, как бы не велико было наше сомнение, всегда остается что-то, в чем мы не можем сомневаться: ни один демон, как бы он ни был коварен, не смог бы обмануть нас, если бы мы не существовали. У нас может не быть тела: оно может быть иллюзией. Но с мыслью дело обстоит иначе. «В то время, - писал Декарт, - как я готов мыслить, что все ложно, необходимо, чтобы я, который это мыслит, был чем-нибудь; заметив, что истина "я мыслю, следовательно, я существую" столь прочна и столь достоверна, что самые причудливые предположения скептиков неспособны ее поколебать, я рассудил, что могу без опасения принять ее за первый искомый мною принцип философии».
Принцип "я мыслю, следовательно, я существую" неразрывно связывает друг с другом мышление и бытие. Декарт указывает, что определение бытия находится в моем «я»: мышление как бытие, и бытие как мышление — это и есть моя достоверность, «я».
После того как Декарт обеспечил твердое основание, он принялся за перестройку всего здания познания. Существование Я было доказано выводом из того факта, что я мыслю. Следовательно, я существую тогда, когда я мыслю, и только тогда. Если бы я перестал мыслить, не стало бы доказательств моего существования. Я вещь, которая мыслит; субстанция, вся природа или сущность, которой состоит только в мышлении и которая, чтобы существовать, не нуждается ни в каком пространстве и ни в какой материальной вещи. Следовательно, душа совершенно отлична от тела и более легко познаваема, чем тело; она была бы всем тем, что она есть, даже если бы тела не было вовсе.
5. Доказательство бытия Божьего
Декарт отмечает, что душа есть несовершенная субстанция, но обладает внутри себя идеей об абсолютно совершенном существе. Это совершенство не порождено в ней самой именно потому, что она есть несовершенная субстанция; эта идея, следовательно, врождена. Он говорит: «Мы должны признать, что это понятие (Бог) не произведено нами» — теперь мы говорим: это вечная истина, откровенная нам в нас. «Мы в себе не находим тех совершенств, которые содержатся в этом представлении. Мы, следовательно, уверены, что их нам дала причина, в которой находится всяческое совершенство, т. е. Бог, как реально существующий, ибо для нас несомненно, что из ничего ничего не возникает».
«Существование Бога познается непосредственно» — a priori «из рассмотрения его природы. Сказать, что нечто содержится в природе или в понятии предмета, означает то же самое, что сказать, что оно истинно; существование непосредственно содержится в понятии Бога; будет поэтому истинно, если скажем о нем, что в нем есть необходимое существование. В понятии каждой вещи содержится или возможное или необходимое существование, необходимое существование содержится в понятии Бога, т. е. абсолютно совершенного существа; ибо в противном случае мы понимали бы его как несовершенное».
Декарт затем продолжает: «И этому дух верит тем более, когда он замечает, что не находит у себя представления о какой бы то ни было другой вещи, в которой содержалось бы существование как необходимое». Из этого он убедился, что идея высшего существа не выдумана им и не является также чем-то химерическим, а есть истинная и неизменная природа, которая не может не существовать, так как в ней содержится необходимое существование.
6. Выводы из существования Бога. Познание тел
Когда существование Бога доказано, все остальное может быть легко выведено. Прежде всего, Богу мы приписываем правдивость. Так как Бог добр, он не будет действовать подобно коварному демону. Значит, Бог дал мне такую сильную склонность верить в существование тел, что он стал бы обманщиком, если бы ничего не существовало; следовательно, тела существуют.
«Первым свойством Бога является то, что он правдив и есть податель всякого света, - говорит Декарт, - его природе, следовательно, совершенно противоречит, чтобы он нас обманывал. Поэтому данный нам Богом природный свет или способность познания не может касаться предмета, который был бы неистинным, поскольку к нему прикасается она (эта способность познания), т. е. поскольку он усматривается ясно и отчетливо».
«Этим устраняется сомнение, будто может быть неистинным то, что для нас совершенно очевидно. Теперь, следовательно, математические истины уже не должны быть нам подозрительны. И точно так же, если будем обращать внимание на то, что мы, в бодрственном ли состоянии или во сне, различаем ясно и отчетливо через наши чувства, нам будет легко познать относительно каждой вещи, что есть в ней неистинного». Так как мыслимое правильно и ясно также и существует, то этим Декарт высказывает, что человек узнает через посредство мышления, что на самом деле существует в вещах; источники заблуждения лежат, напротив, в конечности нашей природы.
Поставив вопрос о познании тел, Декарт берет в качестве примера кусочек воска из медовых сот. Некоторые вещи непосредственно очевидны чувствам: так, воск имеет вкус меда, пахнет цветами, имеет какой-то видимый цвет, размер и форму, он тверд и холоден, и, если ударить, он звучит. Но если вы положите его близко к огню, эти качества изменятся, хотя воск как таковой продолжает существовать; следовательно, то, что представлялось чувствам, был не самый воск. Самый воск составлен из протяженности, гибкости и движения, которые понимаются умом, а не воображением. Вещь, которая является воском, сама по себе не может быть чувственно-воспринимаемой, так как она равно включена во все явления воска данным различным органам чувств. Восприятие воска «не составляет ни зрения, ни осязания, ни представления… но составляет только усмотрение умом». Я вижу воск не больше, чем я вижу людей на улице, когда я вижу шляпы и пальто. «Благодаря одной только способности суждения, находящейся в моем духе, я понимаю то, что мне казалось, будто бы я вижу глазами». Познание посредством чувств беспорядочно и обще нам с животными; но сейчас я снимаю с воска его покровы и мысленно воспринимаю его обнаженным. То, что я своими органами чувств вижу воск, достоверно говорит о моем собственном существовании, но не о существовании воска. Познание внешних вещей должно осуществляться умом, а не чувствами.
Декарт отрицает существование протяженности в Боге. Протяженность, по его мнению, менее совершенна; но так как несовершенные протяженные субстанции не могут существовать и продолжать существовать через самих себя или, иначе говоря, через свое понятие, то они, следовательно, для своего сохранения нуждаются во всякий момент в содействии Бога, и без этого содействия они мгновенно возвратились бы в ничто. Их сохранение есть непрерывное новое сотворение.
7. Врожденные идеи
Переходя к дальнейшим определениям, Декарт говорит следующее: «Вступающее в наше сознание мы рассматриваем либо как вещи, либо как их свойства, либо как вечные истины, не обладающие существованием вне нашего мышления» — не принадлежащие тому или другому времени, тому или другому месту. Последние он называет врожденными нам.
Врожденными идеями являются для Декарта не всеобщее, как у Платона и позднейших философов, а то, что обладает очевидностью, непосредственной достоверностью, некое непосредственное множество, имеющее свою основу в самом мышлении, многообразные понятия в форме некоего бытия, подобные (по Цицерону) природнопрочным, вселенным в сердце чувствам.
Такими идеями являются согласно Декарту, например, логические законы. «Из ничего ничего не происходит», «нечто не может одновременно существовать и не существовать»; такими идеями являются также основоположения морали.
8. Вещи и субстанции
Что касается вещей, к рассмотрению которых Декарт обращается далее, вещей, составляющих другое к вечным истинам, то всеобщими определениями их являются субстанция, длительность, порядок.
«Под субстанцией, говорит Декарт, - я понимаю не что иное, как некую вещь, не нуждающуюся для своего существований ни в чем другом, и как таковая субстанция, не нуждающаяся в какой бы то ни было другой вещи, может рассматриваться только одна единственная, а именно — Бог».
«Все другие» (вещи) «могут существовать лишь благодаря содействию Бога. Следовательно, то, что мы еще кроме Бога называем субстанцией, не существует само по себе, не имеет своего существования в самом понятии.
Бог есть абсолютная связь понятия и действительности; другие, конечные вещи, имеющие предел, находящиеся в зависимости, нуждаются в другом.
«Но я, - продолжает Декарт, - признаю только двоякого рода вещи, а именно один род представляет собою мыслящие вещи, а другой род — те, которые относятся к протяженным вещам». Мышление, понятие, духовное, самосознательное есть то, что находится у себя и имеет свою противоположность в протяженном, пространственном, существующем друг вне друга, находящемся не у себя самого, несвободном. Это — реальное различие между субстанциями: «Одна субстанция может быть постигнута ясно и определенно без помощи другой. Но сотворенные телесная и мыслящая субстанции могут быть включены в это общее понятие, потому что они суть вещи, нуждающиеся для своего существования только в содействии Бога». Они являются более всеобщими; другие конечные вещи нуждаются для своего существования в других вещах, являющихся их условиями, но протяженная субстанция, царство природы, и духовная субстанция не нуждаются друг в друге.
«Субстанции обладают несколькими атрибутами, без которых они не могут мыслиться» — это – их определенность; «но каждая из них обладает таким свойственным ей атрибутом, который составляет ее природу и сущность», простой всеобщей определенностью, «и к которому относятся все другие. Так, например, мышление составляет абсолютный атрибут духа» - мышление есть его качество, «а протяженность есть» существенное определение телесности, и лишь она «есть истинная природа тела. Все другие свойства суть модусы, как например в протяженной субстанции – фигура, движение, а в мыслящей – воображение, чувство, воля; их можно отнять и отмыслить. Бог есть несотворенная, мыслящая субстанция».
9. Протяженность и законы движения
Основной мыслью Декарта является та, что материя, протяженность, телесность суть одно и то же для мысли. Согласно ему природа тела завершена его протяженностью и лишь это мыслимое нами свойство должно быть признано существенным для телесного мира.
От понятия протяжения Декарт переходит к законам движения как к всеобщему познанию «в себе» телесного. Он утверждает, во-первых, что не существует пустоты, ибо это было бы протяжение без телесной субстанции, т. е. телом без тела. Во-вторых, не существует неделимого для себя бытия; это доказывается тем же соображением, так как сущностью тела является протяженность. В-третьих, тело приводится в движение чем-то, находящимся вне его, само же по себе оно продолжает оставаться в состоянии покоя; и точно так же, если тело находится в состоянии движения, оно приводится в покой другим телом, находящимся вне его, т. е. тело инертно.
Декарт говорит: дайте мне материю (протяженное) и движение, и я вам дострою миры. Пространство и материя были для него, таким образом, единственными определениями материального универсума. Изменения материи представляют собою поэтому исключительно лишь движение, так что Декарт сводит все отношения к движению и покою мелких частиц, всякое материальное различие, цвет, вкус короче говоря, все телесные свойства и животные явления — к механизму. В живом существе переваривание пищи и т. д. суть такие механические результаты, принципом которых являются движение и покой.
10. Научные выводы из философии Декарта
Слово «философия» имело у Декарта и еще у многих других неопределенный смысл познания посредством мышления, размышления, рассуждения. Таким образом, все человеческое познание причислялось тогда к философии.
Философия Декарта, по его мнению, должна была дать весь круг наук, начиная с логики и метафизики. Вторая часть этой философии представляет собою обычную физику, математику, хотя и перемешанную с метафизическими спекуляциями, а третья часть, этика, рассматривает человеческую природу, обязанности людей, государства, гражданина.
Эти общие идеи получили конкретное преломление к 1637 г., когда вышло в свет Декартово «Рассуждение о методе». В этом сочинении, помимо общей характеристики метода естественнонаучных исследований, выделены в отдельные части приложения этого метода к диоптрике, метеорологии и к математике. Последняя часть носит название «Геометрия»; с точки зрения истории математики, она и представляет наибольший интерес.
11. Декарт – математик. Аналитическая геометрия
Природой материи, утверждал Декарт, является ее трехмерная объемность; важнейшими свойствами ее — делимость и подвижность. Эти же свойства материи должна отображать математика. Последняя не может быть либо численной, либо геометрической. Она должна быть универсальной наукой, в которую входит все, относящееся к порядку и мере. Все содержание математики должно рассматриваться с единых позиций, изучаться единым методом; само название науки должно отражать эту ее всеобщность. Декарт предложил назвать ее универсальной математикой, однако в дальнейшем за созданным им разделом математики утвердилось другое название - аналитическая геометрия.
«Геометрия» состоит из трех книг. В первой книге, в которой рассматриваются задачи, допускающие построение только циркулем и линейкой, изложены основы аналитической геометрии и буквенного исчисления Декарта. Вначале он объясняет, «как исчисление арифметики относится к построениям геометрии». Здесь приводятся правила арифметических действий с прямолинейными отрезками. Декарт заметил, что «часто нет нужды проводить эти линии на бумаге, а достаточно их обозначить какими-нибудь буквами, каждую линию одной буквой». Поэтому он показывает дальше, «как можно употреблять буквенные обозначения в геометрии». Известные величины он обозначает буквами а, Ь, с и т. д., неизвестные - буквами х, у, z; результат умножения а на Ь записывается в виде аЬ, результат возведения в квадрат - в виде а2, или аа, в куб - а3, или ааа, и т. д. Буквы у Декарта обозначали только положительные величины. Корни изображались современным знаком, равенство - особым знаком, введенным самим Декартом.
В следующем разделе первой книги «Геометрии» Декарт учит, «как следует получать уравнения, служащие для решения задач». Чтобы решить какую-либо задачу, нужно сначала считать ее как бы решенной и обозначить буквами все как данные, так и искомые линии. Затем, не делая никакого различия между данными и искомыми линиями, заметить зависимость между ними так, чтобы получить два выражения для одной и той же величины; это и приводит к уравнению, служащему для решения задачи, ибо можно приравнять одно выражение другому. Доказывается, что все геометрические задачи, решаемые с помощью циркуля и линейки, сводятся к решению уравнений не выше 2-й степени. Общие правила своей аналитической геометрии Декарт не излагает подробно в общем виде, а демонстрирует их при решении трудных задач.
Решая задачу Паппа, Декарт впервые ввел координатную систему, хотя она еще значительно отличалась от современной. Декарт берет некоторую прямую с фиксированной точкой отсчета и рассматривает кривую относительно этой прямой. Положения точек кривой задаются с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводит второй координатной оси. Не фиксирует он и направления отсчета от начала координат. Отрицательные абсциссы не рассматриваются. У кривой, заданной уравнением f(x, у)=0, ординаты точек, расположенных по одну сторону от исходной прямой, названы «истинными», а расположенных по другую - «ложными» корнями этого уравнения. (Такой же подход к вопросу сохранялся и у последователей Декарта. Только в XVIII в. сформировалось современное понимание координатной системы. Однако шаг, сделанный Декартом, сыграл определяющую роль в истории аналитической геометрии).
Создание аналитической геометрии имело поистине эпохальное значение. Она позволила перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам.
Вторая книга «Геометрии» названа: «О природе кривых линий». Она посвящена более подробному рассмотрению кривых различных порядков, их классификации и выявлению их свойств. Все кривые Декарт делит на два класса в зависимости от того, возможно ли провести их исследование средствами, которыми он располагал. В соответствии с этим в математику оказалось возможным допускать лишь такие кривые, которые описываются непрерывным движением (циркулем или линейкой) или же несколькими такими последовательными движениями, из которых последующие вполне определяются предшествующими. Остальные кривые получили название механических (позднее у Лейбница трансцендентных) и были исключены из класса допустимы кривых. Их свойства могут быть открыты лишь случайно благодаря специфическим приемам, не носящим систематического характера.
Все допустимые кривые, таким образом, могут быть построены с помощью некоторого шарнирного механизма. Относительно них без доказательства было высказано утверждение, что они выразимы алгебраическими уравнениями. Тем самым Декарт предвосхитил одну из главных теорем кинематики механизмов (доказанную в 1876 г. Кемпе), гласящую, что с помощью плоских шарнирных механизмов, в которых движение первых звеньев полностью определяет движение остальных, можно описывать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной трансцендентной.
Декарт мимоходом бросает замечание, что степень уравнения кривой инвариантна относительно выбора системы прямолинейных координат. Но гипноз принципа построения кривых только с помощью шарнирных механизмов слишком владеет Декартом. Поэтому в основу классификации кривых он кладет не порядок уравнения, а число звеньев шарнирного механизма.
Значительную часть второй книги составляют теоремы о проведении нормалей и касательных к алгебраическим кривым. Свой метод («метод нормалей») ученый распространил на конические сечения и на так называемые декартовы овалы. Декарт подчеркивал значение высказанных теорем для оптики.
Книгу замыкает предложение о возможности распространения метода Декарта на трехмерный случай. Высказывается при этом идея представления пространственной кривой с помощью проектирования ее на две взаимно-перпендикулярные плоскости, общая прямая которых является одной из осей координат. Однако эта идея оказалась у Декарта одиночной, не развитой. Нет у Декарта и речи о трех координатах точки в пространстве и об уравнениях поверхностей.
Задача третьей книги: «О построении телесных, или превосходящих телесные, задач» — построение общей теории решения уравнений и использование для этой цели наряду с алгебраическими средствами геометрических мест. Алгебраическая символика Декарта (как уже отмечалось выше) несущественно отличалась от современной. Всякое уравнение мыслится приведенным к виду Р(х)=0, где Р(х) — многочлен с целыми коэффициентами, расположенный по убывающим степеням неизвестного х. Именно Декарт сделал глубокий вывод, что число корней любого уравнения равно числу единиц в наивысшем показателе степени х (то есть, он сформулировал, хотя и не доказал основную теорему алгебры; только в 1797 г. это смог сделать Гаусс.). Декарт учитывал при этом корни действительные (положительные), ложные (отрицательные) и те, которые можно вообразить (мнимые или комплексные). Комплексные числа ещё не рассматривались Декартом на равных правах с вещественными. Отрицательные корни Декарт по традиции именовал ложными, однако объединял их с положительными термином действительные числа, отделяя от мнимых (комплексных). Этот термин вошёл в математику.
Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — стал решающим шагом к понятию функции. Замечательной по глубине замысла являлась постановка Декартом проблемы приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения таких функций. Декарт показал, что уравнение 3-й степени решается в квадратных радикалах (с помощью циркуля и линейки), лишь если оно приводимо.
Уравнения 3-й и 4-й степени геометрическими средствами Декарт решал с помощью пересечения двух конических сечений. Затем он распространил этот метод на уравнения третьего рода (5-й и 6-й степени), подбирая пересечения окружности и движущейся специальным образом подобранной кривой.
Таково содержание «Геометрии» Декарта первого сочинения по аналитической геометрии, сыгравшего огромную роль в дальнейшем развитии математики XVII в. Аналитическая геометрия Декарта имела еще много недостатков. Прежде всего область этой науки была еще чрезмерно сужена требованиями, проистекающими скорее из философских источников, чем из потребностей метода, ограничена только алгебраическими кривыми. Декарт не довершил проникновения в геометрию алгебраического аппарата, не распространил свой метод на изучение свойств кривых по свойствам соответствующих уравнений. Координатные оси в «Геометрии» еще неравноправны; проводится только одна ось, а другая координата восстанавливается по мере необходимости. Поведение кривой изучается только в первом квадранте, остальные квадранты не учитываются. Однако «Геометрия» Декарта означала шаг принципиального значения в перестройке математики, и это значение так велико, что делает это сочинение классическим.
«Геометрия» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что издана она была на французском, а не на латинском языке. «Геометрия» была, однако, тут же переведена на латинский и неоднократно издавалась отдельно, разрастаясь от комментариев и став настольной книгой европейских учёных. Труды всех математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта.
12. Декарт – механик
Физические исследования Декарта относятся главным образом к механике, оптике и общему строению Вселенной. Ученый полагал, что Вселенная целиком заполнена движущейся материей и в своих проявлениях самодостаточна. Кроме обычной материи, Декарт выделил обширный класс невидимых тонких материй, с помощью которых пытался объяснить действие теплоты, тяготения, электричества и магнетизма.
Подобно Демокриту, Декарт полагал, что физический мир состоит из бесконечного числа частиц, или «корпускул», которые механически сталкиваются друг с другом и образуют скопления. Однако, будучи христианином, он полагал, что эти корпускулы движутся не совсем хаотически, но повинуются определенным законам, положенным им от сотворения мира самим Богом-Промыслителем. Декарт дерзнул обнаружить эти законы, для начала задавшись вопросом: каким образом может отдельная корпускула свободно перемещаться в пространстве бесконечной Вселенной, если она не обладает ни абсолютным целеполаганием, ни аристотелевской стихийной тягой к движению? Применив к контексту атомистического пространства схоластическую теорию внешней силы, Декарт пришел к выводу, что покоящаяся корпускула стремится сохранить свое состояние покоя, если отсутствует какой-либо внешний импульс, тогда как движущаяся корпускула стремится продолжать свое движение по прямой линии и с прежней скоростью, если только ничто не отклоняет ее от пути.
Первостепенную важность имело то, что Декарт применил свои теории линейной инерции и корпускулярных столкновений к проблеме планетарного движения, тем самым начав «вычищать» с небес последние остатки Аристотелевой физики. Ибо автоматические круговые движения небесных тел, которые все еще отстаивали Коперник и Галилей, были невозможны в атомистическом мире, где частицы могли передвигаться только по прямой линии или же пребывать в покое. Приложив обе свои теории — инерционную и корпускулярную — к небесам, Декарт обнаружил самый важный фактор, остававшийся недостающим звеном в объяснении планетарного движения: при отсутствии какой-либо другой сдерживающей силы инерционное движение планеты, в том числе и Земли, обязательно стремилось бы вытолкнуть ее по касательной прямой прочь от изгибающейся вокруг Солнца орбиты. Но, поскольку их орбиты по-прежнему остаются сплошными замкнутыми кривыми, и подобного центробежного движения не происходит, то становиться очевидно: какая-то сила притягивает планеты к Солнцу — или, как это более ясно сказал Декарт и его последователи, что-то заставляет планеты постоянно «па-дать» по направлению к Солнцу. Главнейшая небесная дилемма, вставшая теперь перед новой космологией, заключалась в том, чтобы выяснить, какая именно сила вызывает это падение. Тот факт, что планеты вообще находятся в движении, отныне объяснялся инерцией. Однако по-прежнему требовало объяснения постоянное следование планет по эллиптическим ор-битам вокруг Солнца.
Именно Декарт ввёл в физику понятие количества движения (импульса) и сформулировал (в нестрогой формулировке) закон сохранения движения (количества движения). Это был его ответ на старую проблему, давно привлекавшую внимание философов. Еще средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Но другие выдвигали возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?
Для ответа на подобные вопросы Декартом и было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и Декарт определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом только в некоторых случаях.
Декарт высказал предположение, что атмосферное давление с увеличением высоты уменьшается. Теплоту и теплопередачу Декарт совершенно правильно рассматривал как происходящую от движения мелких частиц вещества.
Все выдвинутые Декартом идеи оказались очень плодотворными. Особенно важное значение имела главная концепция Декарта — физическая вселенная как атомистическая система, управляемая законами механики. Она стала ведущей моделью для ученых XVIII века.
13. Открытия Декарта в оптике
Вопросами оптики Декарт заинтересовался рано, еще в коллеже. 3аметки о световых явлениях и их сущности встречаются уже в его записях, датируемых 1620 г. Они появились, вероятно, после чтения трудов Кеплера, которого Декарт называл своим первым учителем. Кеплер, как и Галилей, внес важный вклад в развитие оптики - науки, уходящей корнями в античность. Древнегреческие ученые поставили вопрос о природе света, о закономерностях распространения, отражения и преломления лучей, о сущности процесса зрения, о причине возникновения цветов и т. д. Но исчерпывающего и однозначного ответа наука в то время дать не могла. Уже до нашей эры знали, что свет в однородной среде распространяется прямолинейно. Был известен и закон отражения: падающий и отраженный лучи лежат в той же плоскости, что и перпендикуляр к отражающей поверхности, и составляют равные углы с этим перпендикуляром. Закон отражения обобщили на случай сферических зеркал, как выпуклых, так и вогнутых. Было установлено существование фокуса. Эти и другие результаты были систематически изложены в «Оптике» Птолемея (II в.). Однако закон преломления лучей остался неизвестным не только Птолемею, но и физикам более позднего времени - вплоть до XVII в. Они считали, что отношение угла падения к углу преломления есть величина постоянная.
Как уже говорилось выше, в 1637 году вышла в свет «Диоптрика» Декарта, в которой содержались законы распространения света, отражения и преломления, идея эфира как переносчика света.
Декарт предполагает, что читателями его сочинения будут не только ученые, но и те, кто занимается шлифовкой зрительных стекол и конструированием оптических инструментов, поэтому излагает так, чтобы быть понятным всем: «ничего не пропускать и не предполагать, что какие-то факты уже известны из изучения других наук». Трактат начинается главой «0 свете», в которой Декарт разъясняет свое понимание природы света и цвета. (Подобно Аристотелю он считал, что свет есть некоторое действие среды, через которую проходят лучи, а не излучение от видимого предмета, как полагали другие античные авторы).
Декарт посвятил специальные разделы разъяснению природы чувств, строению глаза, вопросу, об изображениях, возникающих на дне глаза, о сущности процесса зрения, а также о средствах улучшения зрения. Сведения по анатомии глаза были получены Декартом не столько из литературы, сколько из собственных экспериментальных исследований и наблюдений. Большое внимание Декарт уделял вопросу о строении нервной системы и о механизме воздействия внешней среды на органы чувств. В более позднем сочинении «Страсти души» Декарт замечает: «Я показал в "Диоптрике»", каким образом видимые предметы передаются нам только благодаря тому, что они приводят в движение посредством прозрачных тел, находящихся между ними и нами, соответствующее место маленьких ниточек оптических нервов, находящихся в глазном дне, а затем то место мозга, откуда выходят эти нервы. Повторяю, они приводят в движение нервы столь разнообразно, что дают нам возможность видеть разнообразие вещей, и движения, передающие нашей душе эти предметы, происходят непосредственно не в глазу, а в мозгу».
Описывая процессы, приводящие к появлению изображений на дне глаза, Декарт сравнивает глаз с камерой-обскурой, в отверстие которой вставлена линза, а задняя стенка представляет внутреннюю оболочку, состоящую из окончаний оптического нерва. Условием четкости изображения является такая форма преломляющих поверхностей, что все лучи, исходящие из данной точки предмета, после преломления пересекаются в одной и той же точке на экране. В эту точку не должны попадать лучи ни от какой точки, кроме данной. Кроме того, внутри глаза не должно быть внутреннего отражения. Чтобы зрение было нормальным, каждой точке сетчатки глаза должно соответствовать изображение одной точки видимого предмета. Увеличение предмета должно быть значительным, яркость достаточно сильной, но не настолько, чтобы повредить зрение. Поле зрения должно быть наибольшим. Нормальный глаз удовлетворяет этим условиям, но при различных дефектах зрения некоторые из них не выполняются. Декарт рассматривает искусственные приспособления, с помощью которых можно исправить такие недостатки, и дает, в частности, описание зрительной трубы. Декарт выясняет, какая форма преломляющих поверхностей обеспечивает наилучшее изображение, устраняя помехи, связанные со сферической аберрацией. Декарт придавал большое значение оптическим приборам, ясно понимая, что применение их в экспериментальных исследованиях расширяет перспективы развития естественных наук.
Вторая глава «Диоптрики» посвящена явлению преломления - рефракции. Важнейший пример такого преломления мы наблюдаем при попадании светового луча из воздуха в стекло и затем снова в воздух — а именно это происходит (причем зачастую неоднократно) в любом оптическом приборе, будь то сложнейшее лабораторное оборудование или банальная пара очков. Что же происходит с фронтом световой волны при ее прохождении через границу двух прозрачных сред?
Ответ на этот вопрос дает закон Снеллиуса, названный по имени голландского естествоиспытателя Виллеброрда Снеллиуса, впервые сформулировавшего эту закономерность в 1621 г., после многочисленных экспериментов. Своих результатов Снеллиус не публиковал, но обнародовал свое открытие в курсе лекций, читанных им в Лейденском университете в 1621–1622 гг.
Суть этого явления, как его объясняет современная физика, состоит в следующем. Если при пересечении границы двух сред скорость света во второй среде ниже, чем скорость света в первой среде, луч отклоняется в сторону нормали (линии, перпендикулярной границе). Если же во второй среде скорость распространения света выше (как, например, при переходе света из стекла в воздух), луч, напротив, отклонится от нормали на больший угол. Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется коэффициентом преломления среды. Так, коэффициент преломления стекла равен примерно 1,5 (зависит от сорта стекла), то есть свет в стекле замедляется примерно на треть по сравнению со скоростью его распространения в вакууме. У каждого прозрачного материала — собственный коэффициент преломления (совпадения, конечно же, возможны, но они ни о чем не говорят). Закон Снеллиуса устанавливает числовое соотношение между углами падения и преломления луча при переходе из одной среды в другую. Если f1 и f2 — углы, соответственно, падения и преломления относительно нормали при переходе луча из одной среды в другую, а n1 и n2 — коэффициенты преломления этих сред, то имеет место соотношение: n1 sin f1 = n2 sin f2.
Независимо от Снеллиуса Декарт установил, что угол преломления луча при прохождении границы между двумя средами зависит от соотношения коэффициентов преломления этих сред, что, исследуя преломление светового луча при переходе из одной среды в другую, нужно иметь в виду не отношение угла падения к углу преломления, а отношение их синусов, которое для данных двух сред есть величина постоянная. Точная формулировка этого закона позволила усовершенствовать оптические приборы, которые тогда стали играть огромную роль в астрономии и навигации (а вскоре и в микроскопии).
В последних двух главах «Диоптрики» описаны зрительные трубы и микроскопы. Декарт проявляет большую осведомленность о работе с ними и предлагает методику шлифовки гиперболических поверхностей с помощью станка специальной конструкции.
14. Метеорология Декарта
Трактат Декарта «Метеоры» посвящен изучению различных метеорологических явлений, кажущихся сверхъестественными. Декарт доказывает, что с помощью разработанного им метода все они могут быть объяснены естественными причинами. Обсудив общие вопросы, он говорит о природе облаков и превращении их в снег, дождь и град, подробно рассматривает форму снежных кристаллов, анализирует причины бури, молнии. Специальному исследованию подвергаются такие атмосферные явления, как радуга, гало (радужные круги вокруг Солнца или Луны), ложные солнца. Декарт объясняет все эти явления, исходя из своей теории строения материи. Рассуждения, не основанные на опыте, приводят его иногда к выводам, которые сегодня представляются совершенно фантастическими. Однако нельзя забывать, что в эпоху, когда наука не располагала понятием об электрических явлениях и верными представлениями о свойствах жидких и твердых тел, задачу, поставленную Декартом, нельзя было разрешить успешно. Во всяком случае в «Метеорах» метеорология впервые предстает как точная наука, избавленная от налета таинственности, который ей придавали древние предрассудки и народные поверья, связанные с атмосферными явлениями. В трактате приводится много правильных и весьма ценных фактов и рассуждений, оказавших немалое воздействие на современных Декарту ученых. Особенно важным для дальнейшего развития физики оказалось объяснение, данное Декартом явлению радуги. Он пишет: «Радуга - столь замечательное чудо природы, и над ее причинами, до сих пор столь мало известными, во все времена столь настойчиво задумывались пытливые умы, что мне трудно найти вопрос, на котором я лучше мог бы показать, каким образом при помощи применения мною метода можно прийти к знаниям, которыми не обладали те, чьими сочинениями мы располагаем».
Уже задолго до Декарта было известно, что радуга возникает в результате преломления солнечных лучей в водяных каплях, имеющих форму шара. Однако никто не мог дать исчерпывающего объяснения явления радуги, так как не был известен точный закон преломления. На основании этого закона Декарт разработал теорию радуги, которая после поправок Ньютона, уже учитывавшего дисперсию и дифракцию света, сохраняется в основных чертах до наших дней.
15. Вклад Декарта в биологию
Декарт много лет работал над вопросом о деятельности различных систем организма человека и животных. В результате своих опытов ученый пришел к выводам, которые ломали все привычные представления. Он заключил, что живая и неживая природа составлена из одной и той же материи и что деятельность живого организма подчиняется тем самым законам, которые управляют неживой природой. Поэтому изучать их нужно одними и теми же методами. Отсюда же следовало, что можно вполне естественно истолковать происхождение живой природы.
Для Декарта учение о живом организме было одним из разделов общего учения о природе. Поэтому и здесь решающим являлся тот же механический принцип, который он последовательно проводил в своей физике. Законы механики для него тождественны законам природы. Живой организм, по Декарту, — это простая машина, а все его действия и происходящие в нем процессы сводятся к механическим движениям.
Особое значение имело введенное Декартом понятие о рефлексе, которое также основывалось на представлении о чисто механическом процессе. Но предложенная им схема связи между раздражением органов чувств и мышечной реакцией, несомненно, является прототипом учения о рефлекторной дуге
Согласно Декарту, все движения в организме совершаются благодаря наличию нервов, «которые наподобие тончайших нитей тянутся от мозга ко всем частям прочих членов тела, причем связаны с ними так, что нельзя прикоснуться почти ни к какой части человеческого тела, чтобы тем самым оконечности нервов не пришли в движение, и чтобы это движение не передалось посредством упомянутого нерва до самого мозга».
16. Психология Декарта
Главной проблемой, которую старался исследовать Декарт, было отношение между душой и телом. Первая принадлежит к области мышления, а второе — к области протяжения: так как оба они — субстанции и, следовательно, ни одна не нуждается в понятии другой, то тело и душа независимы друг от друга и не могут непосредственно влиять друг на друга. Душа могла бы оказывать влияние на тело лишь постольку, поскольку она нуждалась бы в нем, и наоборот, т. е. поскольку они находились бы между собою в существенном соотношении. Но так как и душа и тело суть целостность, то они не имеют реального соотношения друг с другом. Поэтому Декарт, оставаясь последовательным, отрицал физическое влияние одной из этих субстанций на другую; ведь это было бы механическим отношением между ними. Декарт, таким образом, устанавливает независимость интеллектуального от материи, и на этом основывал самостоятельное существование духа, ибо в его философии «я» сначала знает достоверно лишь о самом себе, так как я могу абстрагироваться от всего другого. Но существует потребность в указании опосредствующего, связи между абстрактным и внешним, единичным. Эту связь Декарт устанавливает следующим образом; он ставит между ними то, что представляет собою метафизическое основание их взаимных изменений, ставит Бога как связующее звено, поскольку Бог оказывает помощь душе в том, что она не в состоянии совершить посредством своей собственной свободы, Бог делает это для того, чтобы изменения тела н души соответствовали друг другу. Когда я испытываю влечение или у меня возникает намерение, они воплощаются телесно. Это совместное действие души и тела производится, согласно Декарту, Богом.
17. Этика Декарта
До третьей части, до философии духа, Декарт не дошел; он обнародовал лишь одно исследование под заглавием «De passionibus» («О страстях»). Декарт рассматривает в нем вопрос о мышлении и человеческой свободе. Существование свободы воли он доказывает тем, что душа мыслит, воля неограниченна и это составляет совершенство человека.
Человек как свободный может сделать нечто такое, что Бог раньше не велел сделать, а это противоречит всемогуществу и всеведению Бога; если же скажем, что все установлено Богом, то этим была бы в свою очередь уничтожена человеческая свобода. Он, однако, не разрешает противоречия между этими двумя определениями.
В письмах к принцессе Елизавете Декарт постарался сформулировать основные идеи собственной морали. Таковыми являются:
• идея «совершенного существа как истинного объекта любви»;
• идея «противоположности духа материи», предписывающая нам удаляться от всего телесного;
• идея «бесконечности вселенной», предписывающая «возвышение над всем земным и смирение перед Божественной мудростью»;
• наконец, идея «солидарности нашей с другими существами и всем миром, зависимости от них и необходимости жертв общему благу».
В письмах к Шаню, по просьбе королевы Кристины, Декарт обстоятельно отвечает на вопросы:
• «Что такое любовь?»
• «Оправдывается ли любовь к Богу единственно естественным светом разума?»
• «Какая крайность хуже — беспорядочная любовь или беспорядочная ненависть?»
Отличая интеллектуальную любовь от страстной, Декарт видит первую «в добровольном духовном единении существа с предметом, как частью одного с ним целого». Такая любовь находится в антагонизме со страстью и желанием. Высшая форма такой любви — любовь к Богу как бесконечно великому целому, ничтожную часть которого мы составляем. Отсюда вытекает, что как чистая мысль наша душа может любить Бога по свойствам собственной природы своей: это даёт ей высшие радости и уничтожает в ней всякие желания. Любовь, как бы беспорядочна она ни была, всё же лучше ненависти, которая делает даже хороших людей дурными. Ненависть — признак слабости и трусости. Смысл морали заключается в том, чтобы учить любить то, что достойно любви. Это даёт нам истинную радость и счастье, которое сводится к внутреннему свидетельству какого-либо достигнутого совершенства, при этом Декарт нападает на тех, кто заглушает свою совесть посредством вина и табака. В этих идеях Декарта содержатся уже все главнейшие положения этики Спинозы и, в частности, его учения об интеллектуальной любви к Богу.
Конспекты по истории культуры http://proza.ru/2011/06/02/190