Понятие однородности тесно связано с перемещением и причинно- следственным принципом.
Однородность некоторого множества означает тождественность свойств любого подмножества. Т.е. любое предположение, принятое для некоторого подмножества данного множества будет идентично для любого тождественного ему подмножества этого множества.
Подмножества будем называть тождественными, если существует перемещение, при котором они совпадают.
Перемещением называем взаимно- однозначное отображение, сохраняющее расстояние между точками.
Иными словами, однородность, например, плоскости означает, что какую бы то ни было точку этой плоскости мы ни рассматривали, все, что ни будет утверждаться относительно этой точки и её окрестности, будет верно и для любой другой её точки и её окрестности. И какие бы то ни было условия мы бы ни имели в окрестности заданной точки, для любой другой точки и ее окрестности мы получим при тех же условиях точно такие же следствия, как и для заданной точки и её окрестности.
Приведем пример использования понятия однородности.
Теорема.
Внутренние накрестлежащие углы равны тогда и только тогда, когда прямые параллельны.
1) Необходимость. Если внутр.накрестлежащие углы равны, то справа от секущей будем иметь полуплоскость с прямыми тождественную левой (для этого достаточно повернуть рисунок около середины внутр.отрезка секущей против час. стрелки до совпадения нижней части секущей с верхней). Следовательно, если прямые не параллельны, то они имеют общую точку. Но в виду однородности плоскости при одинаковых условиях общая точка будет также и по другой стороне от секущей. Т.е. две разные прямые имеют две разные общие точки, что противоречит постулату: через две разные точки можно провести лишь одну прямую. Следовательно, прямые параллельны.
2) Достаточность. Пусть прямые параллельны. Если накрестлежащие углы не равны, то проведем через точку пересечения секущей и одной из прямых прямую так, чтобы накрестлежащие углы были равны, тогда, согласно (1), проведенная прямая будет параллельна другой, а значит через эту точку будет проходить две разные прямые, параллельные данной, что противоречит постулату: через точку вне данной прямой можно провести лишь одну прямую, параллельную данной.
Следовательно, накрестлежащие углы равны.
Теорема доказана.
Можно ли дать определение точки?
Евклид попытался это сделать через понятия целого и его части.
Точка это то, что не имеет части, - определяет он.
В таком случае следует определить, что есть часть и что есть целое.
Если целое всегда содержит свою часть, то целое можно определить как сумму всех его непересекающихся частей.
Но если все части целого не существуют, то существует ли их сумма, т.е. целое?
Итак, точка есть понятие абстрактное и в природе не существует?
Тогда как быть со следующей интерпретацией?
Если начертить прямую и обозначить пункты 0, 1, 2, ..., то удалив из рассмотрения точку 1, мы сможем как угодно близко приблизиться к 1, но никогда ее не достигнем, т.к. ее мы исключили. Так что, если точка существует, то она есть пределом последовательности, например, (1-1/n) для n стремящимся к бесконечности, или, как сказал Евклид, она есть граница отрезка.
С другой стороны, точку можно указать на отрезке любой длины, а значит любой отрезок состоит из множества точек.
Однако применение понятия меры тут неуместно.
Точка имеет нулевую меру (длина точки равна нулю).
Если отрезок данной длины есть сумма его точек, то мы тогда должны признать, что можно складывать лишь сумму конечного или в крайнем случае счетного числа слагаемых, т.к. глядя на множество точек, составляющих отрезок данной длины, видим, что сумма континуума нулей (длин точек) не равна нулю, более того, она может быть какой угодно длины (даже бесконечной, т.к. любые два отрезка можно поставить во взаимно однозначное соответствие, а открытый интервал со всей осью).
Итак, мы приходим к удивительным фактам:
1) предел суммы конечного числа подинтервалов,частей фиксированного интервала, при увеличении их числа до бесконечности, т.е. сумма счетного множества интервалов нулевой длины (иначе: точек) фиксированного ограниченного интервала есть конечное число (длина интервала);
иными словами, сумма счетного множества точек есть интервал конечной длины;
2) предел суммы континуум-множества подинтервалов,частей фиксированного интервала, при стремлении их длин к нулю, может быть каким угодно числом и даже быть неограниченным;
иными словами, сумма несчетного множества точек может составлять интервал какой угодно длины (зависит от выбранного взаимно-однозначного соответствия) и даже быть бесконечным.
Да, глубокие свойства заложены в понятиях счетного и несчетного множества. И переход от одного к другому далеко не тривиален.