Просьба поступила и довольно легко нашел 13 вариантов для случая k=1, то есть внутри прямоугольного треугольника расположен квадрат. Тут, правда несколько вариантов дублируют друг друга в случаях, когда вместо "a" имеем "b" и наоборот. Но все равно - число целочисленных решений довольно внушительно, точнее бесконечно. На листике линейкой и циркулем проверил последний вариант - все в норме!
Текст программы:
rem Прямоугольник в треугольнике
rem a=10:b=15
k=1
for a=1 to 130
for b=1 to 140
rem k - отношение длины прямоугольника
rem (то есть х) к его высоте y
x=a*b*k/sqrt(a^2+b^2*k^2)
y=a*b/sqrt(a^2+b^2*k^2)
y1=a^2/sqrt(a^2+b^2*k^2)
x1=b^2*k/sqrt(a^2+b^2*k^2)
if x=int(x) then
if y=int(y) then
X=x+x1:Y=y+y1
s=s+1
print s using "####",a using "####",b using "####";
print k using "###",x using "####",y using "####";
print x1 using "####",y1 using "####",X using "####";
print Y using "####",a+b using "####"
fi:fi
next b
next a
20 апреля 2021 г.