Мне в жизни очень повезло. Во время учебы в десятом классе посещал лекции в Политехническом музее. Их читали знаменитости двадцатого века. В том числе Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнольд. И как-то раз Арнольд сделал интересный вывод, что геометрия довольно часто позволяет избежать сложнейших теоретических расчетов. Привел несколько примеров и посоветовал на дом такую задачу. Выпуклый четырехугольник задан всеми четырьмя сторонами. При этом сказал очевидное: "Если четыре стержня соединить друг с другом шарнирно (в произвольном порядке), то будем иметь механизм. То есть количество вариантов четырехугольника окажется бессчетным. И, чтобы задача оказалась единственной, необходимо задать еще одно условие. Например такое: пусть угол между любыми двумя противолежащими сторонами равен величине t. А теперь идите домой и попытайтесь чисто геометрически задачу решить".
Ух я и помучился! Решил сделать физическую модель. То есть напилил четыре бруска, на концах которых просверлил отверстия. Расстояния между ними сделал разные. В первом бруске 33 см, во втором 44 см, в третьем 55 см и в последнем 66 см. Соединил их болтами и замкнул. Получился механизм. Завернул "барашки", чтобы можно было жестко получать любую возможную форму четырехугольника. Но как задать угол между двумя противоположными сторонами?
Взял три реечки и сделал жесткий треугольник, у которого один из углов 30 градусов. В его внутреннюю часть свободно помещался четырехугольник. Теперь шарнирный механизм четко фиксировался на плоскости стола, когда задвигал его в направлении угла t. Не помню уже сколько тетрадей использовал, задаваясь самыми разными шагами построений. И всё же решение нашел! Оно состояло из пяти шагов.
Предварительно нужно задаться длинами четырех отрезков. В иллюстрации слева они показаны. Задаемся и углом t. Он тоже в рамке. Теперь приступаем к построению. Сначала чертим два луча (Луч 1 и Луч 2), выходящие из точки A. Угол между лучами t. Раствором циркуля на нижнем луче отмеряем отрезок AD. И вот тут начинается первый шаг, о котором я додумался только спустя целую неделю. На верхнем луче отмеряем отрезок AK, который равен BC. Далее точку K соединяем с D. Далее делаем второй важный шаг: радиусом AB из точки K чертим дугу, затем третий шаг - радиусом CD с точки D тоже чертим дугу. В результате получаем на пересечении двух дуг уже реальную точку C будущего четырехугольника. Четвертый шаг - радиусом BC с точки С на отрезкее, параллельном Лучу 2 (или отрезку AK) фиксируем точку B. Ну, и пятый завершающий шаг - соединяем прямой B и A. В итоге получим нужный четырехугольник ABCD. Ибо угол между пунктирными линиями равен в точности t.
В те стародавние времена еще не было интернета, и я не выяснил тогда: новое ли это построение?
Теперь же - совсем другое дело! Оказывается, такой метод известен и опубликован во многих учебниках и статьях.
16 апреля 2023 г.