Взгляды Лобачевского на математический метод и его значение
Обратимся, во-первых, к главнейшей способности, уму, которым хотят отличить человека от прочих животных, противуполагая в последних инстинкт. Я не того мнения, чтобы человек лишен был инстинкта, который является во многих действиях ума, который в соединении с умом составляет Гений. Замечу только мимоходом, что инстинкт не приобретается; Гением быть нельзя, кто не родился. В этом-то искусство воспитателей: открыть Гений, обогатить его познаниями и дать свободу следовать его внушениям. Ум, если хотят составить его из воображения и памяти, едва ли отличает нас от животных? Но разум, без сомнения, принадлежит исключительно человеку; разум, это значит, известные начала суждения, в которых как бы отпечатались первые действующие причины вселенной и которые соглашают, таким образом, все наши заключения с явлениями в природе, где противоречия существовать не могут.
- Н.И. Лобачевский. Речь о важнейших предметах воспитания (1828)
Научные интересы Лобачевского в области физико-математических наук были весьма широки. Его научные исследования не исчерпываются работами по новой геометрии. В различные годы, кроме математических курсов, он вел также преподавание механики, физики и астрономии (см. с.52–57). Он был глубоко осведомлен в этих науках, внимательно следил за современной научной литературой, и ему принадлежит несколько статей в этой области: две статьи об акустическом резонансе (1823, 1828), Примечания к статье А. Купфера “О температуре почвы” (1829), “Исследование о движении твердого тела” (1834) [1, т. 5], “Отчет о наблюдении полного затмения Солнца” (1842) [1, т. 5], где он высказал ценные мысли о необходимости сочетать волновую и корпускулярную теории света, и “Разбор докторской диссертации А.Ф. Попова об уравнениях гидродинамики” (1845) [1, т. 5]. В дальнейшем мы коснемся содержания только математических его трудов.
Помимо идей новой геометрии он стремится осуществить в своих геометрических работах оригинальный подход к самым первым основным геометрическим понятиям. Мы уже упоминали, что он критиковал Евклида за то, что тот принимал в качестве исходных такие абстрактные понятия, как точка, линия и поверхность. В соответствии со своими материалистическими воззрениями на природу Лобачевский полагал, что начальные понятия должны быть более близки с непосредственно воспринимаемым нами объектам, к материальным телам. Они должны быть “приобретенными” с помощью наших чувств, и, только опираясь на эти первые понятия, следует вводить более отвлеченные “произведенные” понятия, так сказать абстракции второй ступени.
С помощью неопределимого исходного понятия «прикосновение» он вводит понятие геометрического тела (когда от материального тела сохранено только понятие «прикосновение»). Затем рассматривает разные типы разделений тела на части (или сечений), в том числе два важнейших: поступательное и обращательное (или накрест). Соответственно прикосновение получается поверхностное или линейное.
В случае, когда имеются три главных сечения тела и оно при этом разделяется на 8 частей, две части на противоположных сторонах имеют точечное прикосновение. Если у двух тел, имеющих поверхностное прикосновение, не рассматривать части, не касающиеся в одном теле другого, то получим поверхность. Аналогично определяется линия и точка. Введя расстояние как относительное положение двух точек Лобачевский дает определение сферы, далее плоскости (с помощью двух семейств концентрических сфер), окружности и, наконец, прямой (с помощью двух семейств концентрических окружностей на плоскости).
Аксиоматический метод еще не был тогда достаточно разработан; он и сложился лишь после и в значительной степени на основе появления неевклидовых геометрий (см. с. 98–111), поэтому в этой оригинальной попытке приблизить начальные понятия к природе имеется ряд неясностей и пробелов. Вместе с тем это была попытка ввести в качестве начальных некоторые топологические понятия, что свидетельствует и о положительных достижениях в стремлении Лобачевского дойти до самых глубин, до изначальных основ геометрии. Лобачевский полагал, что если приблизить начала геометрии к самой природе, то затем все выводы, полученные силой логического суждения, не смогут отклоняться от действительности, так как в разуме “как бы отпечатались первые действующие причины Вселенной, которые соглашают...все наши заключения с явлениями в природе” (см. с.62). Этот интерес к самым начальным математическим понятиям, к поискам усовершенствования начал проявился и в его работах по математическому анализу и алгебре.
Он опубликовал три работы по сходимости бесконечных рядов (1834, 1835, 1841гг.). Работа 1841г. получила, как ранее и его геометрический труд, отрицательный отзыв академика М.В. Остроградского, рассмотревшего ее по поручению и министра, и президента Академии наук [7, №479, 480]. В этих трудах он проявил себя как исследователь принципиальных вопросов в области анализа, занимался актуальными проблемами своего времени. Он отчетливо разграничил понятие непрерывности и дифференцируемости, проявил глубокое понимание точного смысла понятия функция, а в своих доказательствах пользовался введенным в науку позднее понятием равномерной непрерывности. Он нашел новый признак сходимости знакоположительных рядов, доказал при весьма общих условиях теорему о разложении функции в ряд Фурье и получил некоторые результаты, предвосхищавшие дальнейшее развитие математического анализа (см. [38, с.79–86] и “Историко-математические исследования”, 1949, вып. 2, с.9–71).
Одна из его работ относится к теории вероятностей (1842). В ней исследована вероятность средних результатов, полученных из повторных наблюдений, иначе говоря, найден закон распределения среднего арифметического взаимно независимых равномерно распределенных случайных величин. Эти результаты, по словам академика А.Н. Колмогорова, представляют интерес и для настоящего времени [1, т. 5, с.327–348].
В области алгебры Лобачевскому принадлежит статья о понижении степени двучленного уравнения (1834г.) и большое учебное пособие для учителей гимназии и студентов “Алгебра или вычисление конечных”, изданное им тоже в 1834г. в типографии университета.
Первоначально Лобачевским была задумана и подготовлена еще в 1823г. учебная книга по алгебре для гимназии (Он сам вел преподавание в гимназии). Рукопись в окончательном виде была представлена на факультет в августе 1824г. для напечатания на казенный счет и введения ее в гимназиях. Однако по разным причинам (задержка одного отзыва, наступление событий 1825г. и др.) издание не состоялось. Осенью 1826г. Лобачевский взял рукопись обратно, выразив сожаление о напрасно затраченном труде (рукопись сохранилась и находится в библиотеке Геометрического кабинета Казанского университета. Она опубликована [1, т. 4, с.366–426]).
“Алгебра” 1834г. (цензуру прошла в 1832г. [ 1, т. 4, с.5–365]) представляет собой результат переработки первоначального текста учебника и внесения существенных дополнений к нему, относящихся к высшей алгебре. По существу это – первый русский учебник высшей алгебры.
Помимо своеобразного изложения известного материала и некоторых усовершенствований в доказательствах он включает ряд совершенно оригинальных результатов.
Алгебра рассматривается Лобачевским как предварительное введение в математический анализ, как наука о конечном (хотя он и применяет здесь бесконечные ряды). И прежде всего алгебра “предписывает правила для счета всех чисел”. В соответствии с этой последней установкой, близкой к современной, первые восемь глав книги посвящены операциям с числами целыми и дробными и исследованию их свойств. Далее рассмотрены системы уравнений первой степени, а также решения их в целых числах; затем – степени и корни, включая операции с комплексными числами; логарифмы, их свойства и составление логарифмических таблиц (с помощью рядов); аналитическое введение тригонометрических функций; конечные разности и формулы суммирования (некоторые оригинальные), двучленные уравнения и “всякие” (т.е. высших степеней) алгебраические уравнения. Всего семнадцать глав, причем объем последней главы, возможно наиболее интересной, составляет почти одну треть книги.
Мы отметим наиболее оригинальные черты этой книги. Во-первых, особое внимание здесь уделено операциям над числами и их свойствам. Далее приведен один из способов введения определителей, возникающих при решении систем, очень близких к современному (определители использованы впервые в мировой учебной литературе). Затем следует отметить чисто аналитическое введение тригонометрических функций. Это объясняется тем, что Лобачевскому важно было показать, что они могут быть определены независимо от евклидовой геометрии. Изложен оригинальный метод, позволяющий понижать степень у некоторых видов двучленных уравнений.
Наконец, в последней главе найден новый способ приближенного вычисления корней алгебраических уравнений. Впоследствии он получил несправедливо название способа Греффе, хотя работа последнего вышла в 1837г. (первый вариант в 1833г.). Правда, до Лобачевского и Греффе он был предложен бельгийским математиком Данделеном в его статье 1826г. Поэтому, называя этот метод, справедливо будет упоминать имена всех трех ученых: Данделена, Лобачевского и Греффе, разработавших его независимо друг от друга.
Кроме опубликованных перечисленных выше работ, в библиотеке Геометрического кабинета Казанского университета хранятся студенческие записи лекций Лобачевского за разные годы по арифметике, алгебре, геометрии, дифференциальному исчислению, дифференциальным уравнениям и механике. Имеется также большая “Записная книга” (или “Тетрадь Лобачевского”), заполненная мелко написанными математическими текстами рукой Лобачевского и начатая, повидимому, в 1821г. В ней находятся выписки из научной литературы, расчеты, связанные с подготовкой к лекциям и самостоятельные исследования, преимущественно по алгебре (все без объяснений). Кроме того, в библиотеке хранится несколько десятков отдельных листочков с заметками по физике, механике, астрономии, математике, а также и другого рода, написанными тоже рукой Лобачевского (в частности, конспективное изложение формальной логики). Это – черновые выкладки, отрывки из конспектов лекций для студентов, фрагменты самостоятельных исследований, копии стихотворений и т.п. Все эти материалы (или их описание), а также учебные планы и программы (“Обозрения преподаваний” Лобачевского) опубликованы в книге “Н.И. Лобачевский. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма” [6], которая как бы завершает Полное собрание его сочинений, пять томов которого вышли в 1946–1951гг.
Широкий круг научных интересов Лобачевского способствовал выработке им целостного материалистического мировоззрения и позволил ему высказать имеющие важное значение мысли о роли математического метода в исследовании природы.
Так, построение новой математической теории, какой являлась система “воображаемой геометрии”, рассматривалось им как новая возможность более глубокого проникновения в закономерности объективного мира. В соответствии с этим он и проверял с помощью данных астрономических наблюдений применимость своей геометрии в физическом пространстве. Однако убедившись, что евклидова геометрия практически достаточно точна, и показав, как можно применить новую геометрию в математическом анализе, он как материалист высказывает уверенность, что его геометрия в дальнейшем еще потребуется либо “в тесной сфере молекулярных притяжений”, либо “за пределами видимого мира”, т.е. при расширении доступных изучению протяжений космоса, что в известном смысле подтвердилось в наше время (см. с. 121–126). Известны также его замечательные высказывания о неразрывных связях между движущейся материей и свойствами пространства. Эти связи получили конкретное выражение лишь после создания Эйнштейном частной (1905г.) и общей (1916г.) теорий относительности (см. с.117-118).
Лобачевский писал: “В природе мы познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например, геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство само собой, отдельно, для нас не существует...Силы все производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы” [1, т. 2, с.158–160].
От математической науки Лобачевский требует, “чтобы она стала на твердом основании, чтобы строгость и ясность сохранялись в самых ее началах, так как они делаются первым ее достоинством в продолжении” [1, т. 4, с.370]. Он четко высказывается против идеалистической трактовки начал математики. “В основу математических наук могут быть приняты все понятия, каковы бы они ни были, приобретенные из природы” [7, № 244, с.204–205]. Поэтому он и предложил принять в качестве исходного геометрического понятия “прикосновение” и, опираясь на него, ввести понятие “геометрического тела”. Он был твердо убежден, что “все математические начала, которые думают произвести из самого разума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики”. В виде примера таких бесполезных начал приведены: актуальные бесконечно-малые, основания учения о движении Канта, принцип разнородности линий с углами (т.е. требование существования подобных фигур), сравнение бесконечных площадей и др. (см. там же).
Он дает сжатую характеристику дедуктивного построения физико-математических наук: “...в начале их полагаются те понятия, откуда производится все учение силой нашего суждения” (см. там же).
Однако, по Лобачевскому, логический вывод – это совсем не субъективное построение, в нем отражены закономерности и связи объективного мира, а именно, как он сказал в “Речи”, в началах суждения, т.е. в законах логики “как бы отпечатались первые действующие причины Вселенной, которые и соглашают, таким образом, все наши заключения с явлениями в Природе”. Это высказывание близко известному высказыванию Ф. Энгельса о познаваемости мира, поскольку мышление и познание – продукт мозга, а мозг – продукт и часть природы.
Лобачевский высоко оценивает успехи физико-математических наук, называя их “славой нынешних веков, торжеством ума человеческого”. Эти успехи “справедливо удивляют нас, заставляют признаться, что уму человеческому предоставлено исключительно познавать сего рода истины. Надобно согласиться и с тем, что математики открыли прямые средства к приобретению познаний”. И далее он вкладывает в уста Ф. Бэкона уже процитированную нами (см. с.62) сжатую характеристику современного метода естествознания, опирающегося на экспериментальную проверку теории. Высоко оценивая вклад Декарта, он отмечает, что “мы живем уже в такие времена, когда едва тень древней схоластики бродит по университетам...Здесь учат тому, что на самом деле существует, а не тому, что изобретено одним праздным умом”.
В этих высказываниях ясно проступает крайне отрицательное отношение Лобачевского к некоторым имевшим в то время место попыткам псевдонаучных натурфилософских построений с помощью надуманных метафизических принципов и вообще его остро критические позиции в отношении к современной ему идеалистической философии, преподаваемой в университетах. В другом месте (см. [7, № 244, с.205]) он прямо подчеркивал, что напрасно было бы искать решение трудностей построения математической науки в философии (подразумевая, конечно, современную ему кантианскую философию и особенно шеллингианскую натурфилософию, которая бралась за решение проблем всех естественных наук): “нахожу также бесполезным...искать к ним ключа в философии. Математика должна быть совершенно независима от сей науки”.
Лобачевский справедливо указывает, что возможность использования математических методов в какой-либо из наук о природе – это свидетельство ее зрелости, когда качественное описание – пройденный этап, когда уже выявлены понятия и связи достаточно общие и определенные. “Все естественные науки силятся встать на ту высокую ступень совершенства, на которой последует их соединение с Математикой; и со времени сего соединения их успехи пойдут быстрыми шагами вперед. Это случилось уже с Физикой, в недавнее время с Минералогией, и есть надежда того же ожидать для всей Химии”... “Всему основанием служит справедливое понятие о вещах, которое не оставляет вести Математика через все его вычисления. После чего нет уже явлений природы, которых бы он не мог изъяснить; нет явлений, в которых бы он не мог предсказать и определить с точностью и время и меру”. И далее он особо подчеркивает, что без математики наука не сможет проникнуть достаточно глубоко в сущность изучаемых явлений. “...Но то однако ж правда, что ум, приученный к вычислениям, далеко продолжает еще итти за ту границу, которую не переступит ум, не посвященный в таинства науки чисел”. Так ярко он выразил фундаментальное значение математического метода в исследовании природы.
Б.Л. Лаптев. Николай Иванович Лобачевский. К 150-летию геометрии Лобачевского. 1826-1976. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1976. 136с.
http://pyrkov-professor.ru/default.aspx?tabid=190&ArticleId=987