Первый русский учебник высшей алгебры
По мнению моему Алгебра первая начинает Математику со всею точностию понятий и со всей обширностию взгляда
- Н.И. Лобачевский. Полное собрание сочинений. Том 4.
Настоящий четвертый том полного собрания сочинений Лобачевского содержит его работы по алгебре.
Этих работ две: курс алгебры под заглавием «Алгебра или вычисление конечных», изданный в Казани в 1834г., и статья «Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8», помещенная в «Ученых Записках Казанского Университета» в 1834 г. и выпущенная в том же году отдельной книжкой.
Кроме того, в геометрическом кабинете Казанского государственного университета хранится рукописный первоначальный вариант «Алгебры». Этот вариант не помещен в настоящем издании целиком, так как он почти полностью совпадает с первыми 13 главами книги «Алгебра или вычисление конечных».
Здесь воспроизведены лишь наиболее существенные места рукописи, которых нет в книге. В частности, рукопись снабжена интересным предисловием Лобачевского, касающимся школьного преподавания алгебры.
Предисловие из рукописи Н.И. Лобачевского «Алгебра» (1825г.)
Новая книга начал Математики не должна напрасно умножать число существующих, потому что их и без того уже много. Читателю довольно слегка пробежать мою Алгебру, чтоб открыть в ней большее различие со всеми изданными до сих пор и не думать более, чтоб намерение мое было собрать и повторить только сказанное другими. Далее он не замедлит увидеть, что кроме старания сделать лучший выбор я прибавил еще и много нового.
Тем более обязан оправдываться в побудительных к тому причинах, что открытия в познаниях начальных и столь обыкновенных не могли бы некому стоить больших усилий ума и мне принести чести, естьлиб с ними соединялось только новое обременение для учащихся в книге, которая назначается единственно для начинающих. Однакож я думаю иначе и скажу, что опыт на моей стороне.
Два года читается Алгебра в Казанской Гимназии под моим руководством, и в последнее время я имел всю причину восхищаться успехами детей. Видел, что они тверды в правилах, понимая все, совершенно уверенные в своих знаниях, отвечают со рвением на вопросы с намерением даже сысканные, разрешают их легко, не подозревая, чтоб в них можно скрываться затруднение, достойное занять взрослых. Так, я уверился в той истинне, что понятия не должны приобретаться навыком, но должно быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точностию, ясностию и определенностию; а потом уже утверждат[ь]ся упражнением, что[б] могли чрез то глубже напечатлеться в памяти и с легкостию быть применяемы в дальнейших исследованиях. Вот главное правило в искус[с]тве преподавать Математику, которой трудность единственно во отвлеченности и обширности понятий, которая чтоб быть легкой требует от нас только того, чтоб мы не переставали судить, употребляя знаки, как сокращения для выражения умственных представлений. Такому правилу однакож не следовали до сих пор в началах, потому что думали облегчить Учение детей, упражняя их преимущественно примерами решения задач, предоставляя им самим отвлекать для сего нужные понятия и современем только возвратиться назад, чтоб пополнить то, что было некогда сказано им недостаточно из недоверчивости к их способностям. Требование столь чрезмерное, что даже не всякой и тот мог его исполнить совершенно, кому после удавалось уходить далеко от начал. Затем готов я думать, что естьли учение Математики, столь свойственно[е] уму человеческому, остается для многих без успешно, то это по справедливости должно преписать недостаткам в искус[с]тве и способе преподавания. Не утверждая с дерзостию, чтоб я постигнул совершенство в последнем, но хочу надеяться, что избрал прямую дорогу к цели, впрочем ожидаю подтверждения от других.
Говоря о способе преподавания, прибавлю еще следующее замечание, по моему мнению совершенно справедливое. Наука почти безполезная в семействах [и] весьма важная для Государств, Математика требует учения от лица Государства. Едвали не из общественных заведений могут только выходить хорошие Математики, где все благоприятствует этой науке; выбор лучших наставников, которые непрестанно трудятся увеличить собственные свои познания; порядок и строгость, так сказать военные, которые одни только в состоянии принудить учеников следовать неослабно за преподаванием и удерживать в непрестанном напряжении их внимание; наконец, множество учеников, возбуждая соревнование, рождает охоту, превращает ее современем в отрахт (sic!) и бывает причиною появления гениев — Математиков. — Нелишнее мне было здесь упомянуть об этом, потому что написал учебную книгу для Гимназии, я не боялся затруднить моей разборчивостию и строгостию в истиннах более, нежели сколько это может принести пользы.
Для самой науки надобно было всегда желать, чтоб она стала на твердом основании, чтоб строгость и ясность сохранялись в самых ее началах, как oне делаются первым ее достоинством в продолжении. Такого рода опущение было вредно для целой науки, потому что было всегда причиной или без полезных исследований или темных, даже ложных понятий. — Сколько например написано защищений и возражений на всякую теорию дифференциального исчисления, в которых всего чаще можно только видеть недостаток в твердых началах и неосновательность суждений их писателей? —
Лагранж в своей теории Аналитических функций старается избежать употребления бесконечно малых; между тем он не усумнился ввести в свои исчисления воображаемой корень, который сам собою не существует, а только может быть понимаем в его свойствах: последнего уже довольно. — И не должно отнимать у Математики, что служит новым средством к облегчению в ней вычислений, расширяет ее пределы, как скоро все в ней производится из начал не сомнительных. Вот почему и я говорю здесь только о воображаемых, т.е. чтоб положить первые и твердые основания вообще для всех родов вычислений, употребительных в Аналитике: главная цель Алгебры.
Естьли я не напрасно трудился над сим сочинением, то за счастие быть полезным признаю себя обязанным Г. попечителю Казанского учебного округа Михаилу Леонтьевичу Магницкому, который потребовал от Профессоров его университета обратить их внимание на преподавание и поискать способов к улучшению.
***
Из обзора Н.Г. Чеботарева к сочинению Н.И. Лобачевского «Алгебра или вычисление конечных» (1834г.)
В предисловии Лобачевский определяет понятие алгебры так: «В Арифметике начинают с примеров на числах; потом, соблюдая постепенность в понятиях, вместо чисел, чтобы разуметь их произвольными, в Алгебре употребляют буквы, избегая однакож способа бесконечно малых или границ, как такого, который требует более усилий от ума и составляет уже последнюю и высшую часть Аналитики» (с.23). Но дальше Лобачевский говорит: «Решение уравнений составляло всегда главный предмет Алгебры» (с.25). Для историка математики представляло бы большой соблазн из сопоставления этих двух, различных определений усмотреть предсказание характерного для алгебры XX века ее расщепления на две мало связанные друг с другом дисциплины: с одной стороны — «современную алгебру», т.е. науку о формальных операциях, развившуюся в последнее время в большую самостоятельную дисциплину, и с другой стороны — алгебру, как науку о расположении и вычислении корней алгебраических уравнений на плоскости комплексной переменной. Последняя широко пользуется методами анализа бесконечно малых, а также теорией аналитических функций. Однако можно убедиться, что здесь мы имеем дело не с предсказанием будущего явления, а с констатированием процесса, происходящего с весьма давнего времени. В самом деле, если мы обратимся к более старым авторам, то увидим, что упомянутое расщепление алгебры красной нитью проходит чуть ли не через всю историю алгебры, то усиливаясь, то ослабевая.
…Какую же позицию занимал Лобачевский во взгляде на алгебру? Для выяснения этого приведем еще две цитаты из его предисловия. «В этом смысле Алгебра будет та же наука, которую Ньютон назвал Общая Арифметика, чтобы отличить от Арифметики на числах, и которую столько же справедливо можно называть вычисление конечных, в противоположность с дифференциальным или вычислением бесконечно малых, где являются неоспоримо новые начала, под каким бы видом ни старались их представлять, желая соблюсти строгость, эту существенную принадлежность всякого Математического учения» (с.23).
«Алгебру и Геометрию постигла одинаковая участь (Здесь разумеется Алгебра без помощи дифференциального исчисления, так же как Геометрия без применения Аналитики - Примечание Лобачевского). За быстрыми успехами в начале следовали весьма медленные и оставили науку на такой степени, где она еще далека от совершенства. Это произошло вероятно от того, что Математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою» (с.24).
Из этих слов Лобачевского видно, что он считает алгебру пропедевтикой к высшим частям анализа и что вместе с тем он считает ее самостоятельной наукой потому, что, по его мнению, она должна разрабатывать «начала» анализа, сообщая ему необходимую строгость. Здесь нетрудно узнать ту же мысль, которая руководила Лобачевским при его работах над «началами» геометрии. Ни в одной из этих областей Лобачевский не дошел до аксиоматического метода; но потребность в нем им уже явно ощущалась. Аксиоматический метод и развился впоследствии под влиянием трудов Лобачевского.
Лобачевский сперва предназначал свою книгу для гимназий; но затем, решив сделать ее пособием для учителей и студентов, значительно дополнил ее. В связи с этим можно усмотреть две различные цели, которые преследует книга: ее первые главы излагают начальные основы алгебры, причем обращается главное внимание на строгость выводов; вторая же часть книги посвящена высшим отделам алгебры, содержит много оригинальных выводов и методов и является введением в изучение дифференциального исчисления.
Цель и характер первых глав прекрасно очерчены Лобачевским в следующих словах предисловия: «Всякий, надеюсь, согласится с справедливостию моего замечания, что первые понятия во всех отраслях Математических наук приобретаются легко, но всегда соединены с недостатками, которые пополнить даже и в последствии бывает весьма трудно. Если писатели для начинающих опускают это из виду, то они предполагают другую цель, опасаясь бесполезно затруднить читателей. Где-нибудь однако ж надобно воротиться снова к началам и теперь уже всю строгость почитать у места. По мнению моему Алгебра первая начинает Математику со всею точностию понятий и со всей обширностию взгляда; тогда как Арифметика составляет еще приступ, служит только приготовлением и для навыка. Вот почему в моем сочинении говорится о числах, счете, четырех действиях Арифметических. Понятие о положительных и отрицательных я не почел нужным заимствовать прямо из природы вещей, перейдя уже раз к отвлеченным; но рассматриваю их как числа, искусственно соединенные с знаками и единственно в намерении правила сложения и вычитания сделать общими» (с.24-25)
***
Представление Физико-математического отделения в Совет Университета от 18 сентября 1825г. об исходатайствовании разрешения на введение «Алгебры» в употребление в гимназиях и о напечатают ее на казенный счет. Представление подписано Н.И. Лобачевским в качестве декана отделения
***
В области алгебры Лобачевскому принадлежит статья о понижении степени двучленного уравнения (1834г.) и большое учебное пособие для учителей гимназии и студентов “Алгебра или вычисление конечных”, изданное им тоже в 1834г. в типографии университета.
Первоначально Лобачевским была задумана и подготовлена еще в 1823г. учебная книга по алгебре для гимназии (Он сам вел преподавание в гимназии). Рукопись в окончательном виде была представлена на факультет в августе 1824г. для напечатания на казенный счет и введения ее в гимназиях. Однако по разным причинам (задержка одного отзыва, наступление событий 1825г. и др.) издание не состоялось. Осенью 1826г. Лобачевский взял рукопись обратно, выразив сожаление о напрасно затраченном труде (рукопись сохранилась и находится в библиотеке Геометрического кабинета Казанского университета. Она опубликована [1, т. 4, с.366–426]).
“Алгебра” 1834г. (цензуру прошла в 1832г. [ 1, т. 4, с.5–365]) представляет собой результат переработки первоначального текста учебника и внесения существенных дополнений к нему, относящихся к высшей алгебре. По существу это – первый русский учебник высшей алгебры.
Помимо своеобразного изложения известного материала и некоторых усовершенствований в доказательствах он включает ряд совершенно оригинальных результатов.
Алгебра рассматривается Лобачевским как предварительное введение в математический анализ, как наука о конечном (хотя он и применяет здесь бесконечные ряды). И прежде всего алгебра “предписывает правила для счета всех чисел”. В соответствии с этой последней установкой, близкой к современной, первые восемь глав книги посвящены операциям с числами целыми и дробными и исследованию их свойств. Далее рассмотрены системы уравнений первой степени, а также решения их в целых числах; затем – степени и корни, включая операции с комплексными числами; логарифмы, их свойства и составление логарифмических таблиц (с помощью рядов); аналитическое введение тригонометрических функций; конечные разности и формулы суммирования (некоторые оригинальные), двучленные уравнения и “всякие” (т.е. высших степеней) алгебраические уравнения. Всего семнадцать глав, причем объем последней главы, возможно наиболее интересной, составляет почти одну треть книги.
Мы отметим наиболее оригинальные черты этой книги. Во-первых, особое внимание здесь уделено операциям над числами и их свойствам. Далее приведен один из способов введения определителей, возникающих при решении систем, очень близких к современному (определители использованы впервые в мировой учебной литературе). Затем следует отметить чисто аналитическое введение тригонометрических функций. Это объясняется тем, что Лобачевскому важно было показать, что они могут быть определены независимо от евклидовой геометрии. Изложен оригинальный метод, позволяющий понижать степень у некоторых видов двучленных уравнений.
Наконец, в последней главе найден новый способ приближенного вычисления корней алгебраических уравнений. Впоследствии он получил несправедливо название способа Греффе, хотя работа последнего вышла в 1837г. (первый вариант в 1833г.). Правда, до Лобачевского и Греффе он был предложен бельгийским математиком Данделеном в его статье 1826г. Поэтому, называя этот метод, справедливо будет упоминать имена всех трех ученых: Данделена, Лобачевского и Греффе, разработавших его независимо друг от друга.
Б.Л. Лаптев. Николай Иванович Лобачевский. К 150-летию геометрии Лобачевского. 1826-1976. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1976. 136с.
http://pyrkov-professor.ru/default.aspx?tabid=190&ArticleId=987