Первый том Полного собрания сочинений Н.И. Лобачевского
Новая Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении, и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики
– Н.И. Лобачевский. О началах геометрии
Т. 1. Сочинения по геометрии. Геометрические исследования по теории параллельных линий. О началах геометрии.
Т. 2. Сочинения по геометрии. Геометрия. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных.
Т. 3. Сочинения по геометрии. Воображаемая геометрия. Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам. Пангеометрия.
Т. 4. Сочинения по алгебре. Алгебра или вычисление конечных. - Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы делится на 8.
Т. 5. Сочинения по математическому анализу, теории вероятностей, механике и астрономии.
***
Рецензия
Н.И. Лобачевский. Полное собрание сочинений под общей редакцией В.Ф. Кагана, А.П. Котельникова, В.В. Степанова, Н.Г. Чеботарёва, П.А. Широкова. Главный редактор В.Ф. Каган. Том первый— Сочинение по геометрии. Геометрические исследования по теории параллельных линий. О началах геометрии. Гостехиздат, 1946, М.—Л., 415с.
Государственным технико-теоретическим издательством выпущен в свет первый том Полного собрания сочинений Н.И. Лобачевского (которое в целом рассчитано на 6 томов). Книга содержит два сочинения Н.И. Лобачевского: 1. «Геометрически исследования по теории параллельных линий» (1840) - в переводе В.Ф. Кагана,
и 2. «О началах геометрии» (1824).
Первое из них сопровождается вводными статьями и комментариями В.Ф. Кагана, второе — вводной статьёй и комментариями А.П. Котельникова.
Начиная полное собрание сочинений Лобачевского с «Геометрических исследований...» и отступая тем самым от хронологической последовательности его работ, редакция издания руководствовалась тем, что сочинение «Геометрические исследования...» по характеру изложения является наиболее доступным среди всех геометрических сочинений Лобачевского. Здесь Лобачевский излагает элементарную часть своего учения: неевклидову теорию параллельных линий, геометрию на предельной поверхности, вывод выражения функци П (х). В настоящем издании изложение Лобачевского поясняется многочисленными примечаниями, помещёнными отчасти в сносках, а главным образом — в конце его текста.
Первая вводная статья В.Ф. Кагана «Учение о параллельных линиях и открытие неевклидовой геометрии» содержит много интересных отрывков из сочинений -Прокла, Евклида, Нассир-Эддина, Валлиса, Л. Бертрана, Лежандра и выдержки и переписки Гаусса; особенно интересным нам представляется цитированные на стр. 35 комментарий Прокла. Конец статьи посвящен краткой биографии Лобачевского. Вторая вводная статья В.Ф. Кагана посвящена обзору сочинения «Геометрические исследования...».
Помещённая во второй части тома работа Лобачевского «О началах геометрии» является его первым опубликованным (1829г.) исследованием. В нем даётся чрезвычайно сжатое в наиболее ответственных местах и трудно для чтения изложение неевклидовой геометрии, доведённой до формул для элементов дуги, площади и объёма в некоторых специальных координатах. В этой работе обращают на себя внимание следующие обстоятельства.
1. Попытка Лобачевского определить основные понятия геометрии, отправляясь от понятия расстояния. Хотя, как известно, задача обоснования геометрии решена Гильбертом в другой постановке, но и такая ее постановка является вполне законной. В современных терминах это есть задача об условиях, при которых метрическое пространство —
евклидово (или, вообще, — пространство постоянной кривизны).
2. Попытка Лобачевского выяснить геометрические свойства физического пространства и тем самым установить, какая из двух известных ему геометрий является «употребительной» в звёздных масштабах (здесь проявляются отчётливо материалистические взгляды Лобачевского, с точки зрения которого вопрос о приложимости геометрии может решить только опыт).
3. Идея о приложимости неевклидовой геометрии к вычислениям математического анализа. На этом пути Лобачевский искал подтверждения логической непротиворечивости своей теории (для знакомства с вычислениями определённых интегралов, которые предпринимал Лобачевский, необходимо обращаться к его подлинным работам, так как в учебной литературе этот материал не содержится).
Вводная статья А.П. Котельникова посвящена обзору сочинения «О началах геометрии». В конце текста Лобачевского даны многочисленные примечания (А.П. Котельникова) и приложения историко-библиографического характера. В примечаниях содержатся интересные для преподавателей решения неевклидовых задач на построения (стр. 265 и далее) - В заключение отметим прекрасное, выдержанное в строгих тонах, внешнее оформление книги.
Н.В. Ефимов. Н.И. Лобачевский, “Полное собрание сочинений”, том I (рецензия), УМН, 1947, том 2, выпуск 6, 251
А.П. Котельников. Обзор сочинения «О началах геометрии»
В работе «О началах геометрии» Лобачевским намечены все те темы, которым были посвящены все последующие его геометрические работы; в дальнейших сочинениях эти темы нашли более полное развитие, а иногда и более простое изложение.
Сочинение «О началах геометрии» можно разделить на три части.
В первой части, представляющей собой извлечение из «Exposition
succinеte», устанавливаются основные геометрические понятия, излагаются свойства треугольников, теория параллельных и выводятся
тригонометрические формулы. Весь этот обширный материал изложен очень кратко, в подавляющем большинстве случаев почти без всяких доказательств, и первая часть имеет характер краткого конспекта.
«Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления в совершенно новом виде вcей науки»,— пишет Лобачевский. И действительно, план, набросанный в первой части, совершенно не соответствует тому порядку, которому следуют обычно при изложении начал геометрии.
Сначала вводится понятие о геометрическом теле, поверхности, линии и точке, причем за исходное единственное геометрическое свойство тела принимается прикосновение. Далее вводится расстояние между двумя точками, понятия о сфере и окружности предшествуют понятиям о плоскости и прямой линии. Одновременно рассматриваются углы линейные, плоскостные (двугранные) и телесные, и определяются все виды правильных многогранников.
Установив основные понятия, Лобачевский перечисляет свойства прямолинейных и сферических треугольников и далее пишет:
«...сумма углов прямолинейного треугольника не может быть
> Pi. Остается предполагать эту сумму = Pi или < Pi. То и другое может быть принято без всякого противоречия в последствии, от чего и происходят две Геометрии — одна, употребительная до ныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая...».
После этого перечисляются основные свойства параллельных в воображаемой геометрии, вводится угол параллельности и понятие о предельной линии и поверхности, в которые обращаются окружность и
сфера, когда их центр удаляется в бесконечность. «Геометрия на предельной сфере совершенно та же, в каком виде мы ее знаем на плоскости»), — утверждает Лобачевский без всякого доказательства.
Пользуясь этим свойством предельной поверхности, Лобачевский, при помощи соотношений между углами прямоугольного треугольника
и углами параллельности, соответствующими его сторонам (формулы (3), (4), (5)), выводит основную формулу с «воображаемой геометрии»
tang ;*F(a)= e^(-a)
определяющую связь между длиной отрезка и отвечающий ему
углом параллельности. Эта последняя вместе с предыдущими формулами дает возможность получить тригонометрические соотношения для прямоугольного, а затем и косоугольного прямоугольного треугольника. Выводом тригонометрических формул и заканчивается первая часть, — извлечение из «Exposition succinеte des principles de la Geometria etc».
Лобачевского, конечно, очень интересовал вопрос, насколько его «воображаемая геометрия» отражает геометрические соотношения нашего физического пространства, и, переходя ко второй части своей работы он показывает, пользуясь паралаксами неподвижных звезд, что
«...все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы в сравнении с линиею, принятою в теории за единицу, что употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии, без чувствительной погрешности должны быть справедливы...».
«…Как бы то ни было - заканчивает Лобачевский свое натур-философское отступление, — новая Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении, и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики».
Н.И. Лобачевский. “Полное собрание сочинений”, том I. 1946
https://www.klex.ru/161v
Н.И. Лобачевский. Полное собрание сочинений по геометрии. Том 1. Казань, 1883. 561с.
http://books.e-heritage.ru/book/10070447