Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике
Геометрические знания составили основу всей точной науки, а самобытность геометрии Лобачевского — зарю самостоятельного развития наук в России. Посев научный взойдет для жатвы народной.
Д.И. Менделеев.
От редакции
Настоящий второй выпуск серии «Геометрия Лобачевского и развитие ее идей» содержит две статьи, посвященные применению неевклидовой геометрии в механике и физике. Обе статьи были написаны еще до второй мировой войны (они должны были, по первоначальному замыслу, сопровождать сочинения Лобачевского); несмотря на это, они сохранили интерес и актуальность до сих пор.
Первая статья ныне покойного профессора А.П. Котельникова содержит изложение основ механики неевклидова пространства. Математический аппарат, при помощи которого строятся основы механики евклидова пространства, опирается на теорию векторов; для установления тех же начал механики в неевклидовом пространстве потребовалась специальная векторная алгебра, которая и была разработана А.П. Котельниковым в его труде «Проективная теория векторов» в 1899 году. Чрезвычайно интересно, что ход развития этой теории привел к идеям, оказавшимся плодотворными для геометрии не только неевклидова, но и евклидова пространства.
Эти идеи отчетливо выяснены в статье А.П. Котельникова.
Вторая статья, принадлежащая академику В. А. Фоку, очень интересна в том отношении, что она выявляет, как разнообразны вопросы современной физики, в которых находит применения геометрия Лобачевского; более того, в этой статье освещаются те стороны физической реальности, для которых геометрия Евклида является недостаточной.
***
А.П. Котельников
Теория векторов и комплексные числа
(начала механики в неевклидовом пространстве)
Первые работы Де-Тилли и А. Дженноки, относящиеся к механике в пространстве Лобачевского, были вызваны желанием исследовать вопрос, не находится ли геометрия Лобачевского в противоречии с принципами механики. Хотя с первых же шагов в этих исследованиях мы встречаем ряд парадоксальных теорем, однако эти парадоксы такого же характера, как и те, с которыми нам приходится иметь дело в неевклидовой геометрии, как, например, теорема о невозможности в пространстве Лобачевского построить треугольник, площадь которого превосходила бы сколько угодно большую наперед заданную величину. В них нет логического противоречия, и, таким образом, изучение движения и равновесия тел в неевклидовых пространствах приводит нас к тому убеждению, что принципы механики совместны с неевклидовой геометрией и что мы с полным правом можем говорить о механике в неевклидовых пространствах.
Вместе с тем уже первые попытки изучить статику и кинематику твердого тела в пространстве Лобачевского, сделанные Де-Тилли, Дженноки, Линдеманом, Андрадом и др., привели к тому результату, что аналогия между статикой и кинематикой твердого тела, обнаруженная для евклидова пространства Пуансо в его классическом мемуаре «Theorie nouvelle de la rotation des corps» должна существовать и в механике неевклидовых пространств. Поэтому вполне естественно,
что математическая обработка этих двух отраслей механики потребовала нового построения теории векторов.
Исторический ход развития этой теории привел к двум новым идеям, оказавшимся плодотворными для геометрии не только неевклидова, но и евклидова пространства.
До конца XIX столетия в теории векторов, т.е. в тех геометрических теориях, в которых нам приходится иметь дело с величинами, связанными с направлением или положением прямой линии, вектор всегда изображался прямолинейным отрезком или, иначе говоря, совокупностью двух точек: начала и конца вектора. Но принцип двойственности распространяется для неевклидовых пространств не только на проективные, но и на метрические свойства; это внушает мысль о необходимости наряду с фигурой, образованной двумя точками, рассматривать как элемент теории векторов фигуру, образованную двумя плоскостями (точкой и плоскостью), а затем и фигуру, образованную двумя прямыми линиями. Такова первая новая идея, возникшая на почве неевклидовой геометрии.
Другая важная идея заключается в том, чтобы ввести в теорию комплексные числа с двумя единицами и некоторые их элементарные функции. Эти числа дают возможность установить соответствие между простыми геометрическими фигурами и более сложными и пользоваться первыми для изучения свойств последних. Введение чисел с двумя единицами приводит, таким образом, к особого рода приему, позволяющему переносить свойства одних фигур на другие, к особого рода принципу перенесения...
А.П. Котельников, В.А. Фок. Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 88с.
djvu
Проективная теория векторов
А.П. Котельникова, Казань, Издательство: Типо-литография Императорского Университета, 1899, 357с.
Автор настоящей книги - известный российский математик А.П.Котельников - ввел понятие векторов особого рода, так называемых ""винтов"", тесно связанных с комплексными числами. В данной книге разработан математический аппарат винтового исчисления, аналогичный векторному, и векторный счет в проективном пространстве
Проблема сложения векторов в пространствах постоянной кривизны явилась одним из отправных пунктов творчества А.П. Котельникова.
Во введении к докторской диссертации он, характеризуя наиболее существенные пункты, отличающие ее от работ других авторов, указывал, во-первых, что рассматривает кинематику и динамику твердого тела не по отдельности, но соединяет их в одну более отвлеченную теорию векторов, и, во-вторых, что «все указанные мною авторы задавали силу и скорость совокупностью прямой и числа, и только де Тилли и П. Юшкевич изобразили силы и скорость им пропорциональными отрезками прямой. Такое геометрическое представление у названных авторов, однако, не играет никакой существенной роли, и даже простейшим законом сложения сил и скоростей эти авторы, подобно всем другим, пользовались в его аналитической форме. Никто, насколько мне известно, не задавался вопросом, не следует ли, изображая силы и скорости прямолинейным отрезком, принять какую-нибудь другую зависимость между длиной этих отрезков и величиной изображаемых ими сил и скоростей вместо прямой пропорциональности, никто не задавался вопросом, нельзя ли основной закон механики — закон сложения сил и скоростей выразить в столь же простой геометрической форме, как и правило параллелограмма в евклидовом пространстве и, таким образом, придать механике твердого тела в неевклидовых пространствах более геометрический характер. Эти вопросы следует считать исходными вопросами моей работы. Они повели меня в свою очередь к более глубокому анализу тех предположений, которые необходимы с точки зрения проективной геометрии для формального обоснования теории векторов» (А.П. Котельников. Проективная теория векторов. Введение к докторской диссертации (отд. оттиск). Казань, 1899, с.29).
Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. - М.: Наука, 1968. - 592с.)