А.П. Котельников и теория векторов в неевклидовых пространствах
Большие заслуги в разработке проблем неевклидовой геометрии и механики принадлежали Александру Петровичу Котельникову (20 октября 1850 — 6 марта 1944), сыну П.И. Котельникова и ученику А.В. Васильева и Ф.М. Суворова. Вскоре после окончания Казанского университета (1889) Котельников приступил к разработке проблем механики неевклидовых пространств, результатом чего и явились его магистерская диссертация «Винтовое счисление и некоторые его применения к геометрии и механике» (Казань, 1895), а затем и докторская диссертация «Проективная теория векторов». В 1893—1899гг. он преподавал в Казанском университете в звании приват-доцепта. После защиты второй диссертации, за которую ему присудили степени доктора чистой и прикладной математики, Котельников некоторое время работал профессором в Киевском политехническом институте, с 1904 по 1914г — в Казани, затем в течение 10 лет вновь в Киеве (в университете и в Политехническом институте).
С 1924г. и до конца жизни он руководил кафедрой механики в Московском Высшем техническом училище, преподавал и в других втузах и работал в ЦАГИ. Продолжая научные работы по механике и геометрии, он вместе с тем принял деятельное участие в подготовке Полного собрания сочинении Н.И. Лобачевского, а также, в качестве главного редактора, Полного собрания сочинений Н.Е. Жуковского. В 1934г. ему было присвоено звание заслуженного деятеля науки и техники РСФСР.
В самом конце шестидесятых годов XIX века итальянский математик А. Дженокки и бельгиец Ж. де Тилли занялись вопросами неевклидовой механики, на необходимость разработки которой указывал еще сам Лобачевский. Правда, первоначальной целью обоих авторов была попытка доказать от противного евклидов постулат о параллельных, получив при отказе от этого постулата какое-либо противоречие в системе механики. Но противоречие такого рода, естественно, не обнаруживалось, и, убедившись в тщетности поисков, Дженокки и де Тилли положили начало неевклидовой механике. Проблема привлекла внимание ряда ученых. В России первые работы по этому вопросу принадлежали А.П. Котельникову и Павлу Соломоновичу Юшкевичу (11 июля 1873 — 6 декабря 1943), опубликовавшему работу «О сложении сил в гиперболическом пространстве» (Вести, опытной физики и элем, математики, сем. 22, 1898). Сложение сил, скоростей, вообще векторов в евклидовом пространстве выражается правилом параллелограмма. В пространстве Лобачевского параллелограммов нет и необходимо иное определение векторной суммы.
Проблема сложения векторов в пространствах постоянной кривизны явилась одним из отправных пунктов творчества А.П. Котельникова. Во введении к докторской диссертации он, характеризуя наиболее существенные пункты, отличающие ее от работ других авторов, указывал, во-первых, что рассматривает кинематику и динамику твердого тела не по отдельности, но соединяет их в одну более отвлеченную теорию векторов, и, во-вторых, что «все указанные мною авторы задавали силу и скорость совокупностью прямой и числа, и только де Тилли и П. Юшкевич изобразили силы и скорость им пропорциональными отрезками прямой. Такое геометрическое представление у названных авторов, однако, не играет никакой существенной роли, и даже простейшим законом сложения сил и скоростей эти авторы, подобно всем другим, пользовались в его аналитической форме. Никто, насколько мне известно, не задавался вопросом, не следует ли, изображая силы и скорости прямолинейным отрезком, принять какую-нибудь другую зависимость между длиной этих отрезков и величиной изображаемых ими сил и скоростей вместо прямой пропорциональности, никто не задавался вопросом, нельзя ли основной закон механики — закон сложения сил и скоростей выразить в столь же простой геометрической форме, как и правило параллелограмма в евклидовом пространстве и, таким образом, придать механике твердого тела в неевклидовых пространствах более геометрический характер. Эти вопросы следует считать исходными вопросами моей работы. Они повели меня в свою очередь к более глубокому анализу тех предположений, которые необходимы с точки зрения проективной геометрии для формального обоснования теории векторов» (А.П. Котельников. Проективная теория векторов. Введение к докторской диссертации (отд. оттиск). Казань, 1899, стр. 29.).
Построение теории векторов с приложениями к механике и геометрии и составляет содержание обеих диссертаций А.П. Котельникова, причем основным аппаратом служит винтовое исчисление и арифметика особого рода комплексных чисел с двумя единицами. Корни винтового исчисления восходят к теории кватернионов Гамильтона, о которой нам еще придется говорить (см. стр. 555 и след.), и развивающим ее трудам У. Клиффорда и Р. Болла, которые начали появляться в семидесятые годы XIX века. Были введены общие комплексные числа вида а + bw, где вторая единица w для пространств Евклида, Римана и Лобачевского определяется соответственно равенствами
w^2=0, w^2=k^2>0, w^2=k^2<0
(k^2 — кривизна пространства). Эти числа были названы, следуя тому же порядку, параболическими, эллиптическими и гиперболическими; частным случаем последних являются обыкновенные комплексные числа, k^2 = —1.
Выражения q1 + wg2, в которых g1, и g2 - суть гамильтоновы кватернионы, именуются бикватернионами и последние, подобно общим комплексным числам a + bw, подразделяются на параболические, эллиптические и гиперболические. Для характеристики системы приложенных к телу сил и его движения в пространстве Евклида было предложено понятие винта, как пары скользящего и свободного векторов, которые можно выбрать коллинеарными. Между всеми тремя категориями объектов существует тесная взаимосвязь: параболический кватернион можно рассматривать как сумму параболического комплексного числа и винта.
В свою очередь винт, определяемый скользящим вектором r и свободным вектором r', есть комплексный вектор r + wr’. В случае пространства постоянной ненулевой кривизны систему приложенных сил можно заменить двумя скользящими векторами, направленными по двум взаимно полярным прямым. Такой винт получил название мотора (Дело в том, что мОтор характеризует произвольное движение (лат motio) в рассматриваемом пространстве. Напомним, что вектор характеризует перемещение (лат. vectio) вдоль прямой). Только что указанные связи между бикватернионами, общими комплексными числами, винтами и векторами имеют место и для моторов. Заметим еще, что вторая единица общего комплексного числа w является оператором некоторого преобразования вектора, на который умножается w. Двукратное применение этой операции в евклидовом пространстве дает нуль-вектор, так что w^2 = 0; вообще же w^2 = k^2.
Магистерская диссертация А.П. Котельникова, предметом которой служили векторы, винты и их приложения для случая пространства Евклида, явилась как бы вступлением к докторской. В «Проективной теории векторов» дана общая теория векторов пространств постоянной кривизны, трактуемых как метрические проективные пространства. Метризация, т.е. измерение длин и углов, достигается тем, что в рассматриваемом проективном пространстве фиксируется так называемый абсолют — действительная или мнимая поверхность второго порядка, которая переходит сама в себя при проективном преобразовании, переводящем точки, лежащие на одной прямой, в точки, расположенные опять-таки на прямой.
Для пространства Евклида абсолют есть бесконечно удаленная плоскость вместе с принадлежащей ей мнимой линией пересечения всех сфер, для пространства Римана — некоторая мнимая поверхность и для пространства Лобачевского — поверхность замкнутая.
В докторской диссертации подробно изложены арифметика общих комплексных чисел, учение об их элементарных функциях и геометрические интерпретации на плоскости и поверхностях второго порядка. Далее последовательно разрабатывается теория векторов и операции над ними.
Сложение производится по правилу четырехугольника: на рис.50 сумма векторов ох и оу определяется как диагональ oz; следует иметь в виду, что точки a и b находятся в пересечении прямых, несущих ох и оу с плоскостью О, полярной с точкой о относительно абсолюта. В пространстве Евклида плоскость О бесконечно удаленная и четырехугольник переходит в параллелограмм.
Для векторов, мОторов и еще третьего вида основные объектов роторов, которые вводятся как пары плоскостей, пересечение которых называется осью ротора (Мотор характеризует вращение -лат. rotation - тела около оси. Заметим, что мотор можно вводить и как пару, составленную из вектора и ротора с осью, проходящей через начало вектора. Всякое движение в рассматриваемых пространствах можно в любой момент рассматривать как перемещение вдоль прямой, вместе с вращением вокруг нее), определяются различные характеризующие их величины, которые, так же как и операции над ними, во многом сходны со свойствами обыкновенных векторов и служат их обобщениями. Все это осуществляется с помощью исчисления бикватернионов, которые Котельников предпочитает рассматривать не в форме q1 + wg2, а в форме q = w + ix + jy + kz, где w, х, у, z - суть общие комплексные числа a + bw. Это позволяет весьма просто переводить формулы теории кватернионов в формулы теории бикватернионов и, на основе сходства обеих теорий, установить параллелизм геометрических систем, которые служат их геометрической интерпретацией, т.е. теории векторов и теории моторов. В более поздней работе, опубликованной уже посмертно, А.П. Котельников писал:
«Мы приходим, таким образом, к мысли перенести из теории векторов такие элементарные понятия, как длина вектора, проекция вектора, координаты вектора, угол между двумя векторами и т.д. в теорию моторов и внести в эту последнюю соответствующие понятия: тензор мотора, проекции мотора, комплексные координаты мотора, комплексный угол между прямыми и т.д. (Тензор мотора, определяемого парой скользящих векторов с углом ф между ними и кратчайшим расстоянием d, есть комплексное число tg(ф) + w/k tg(kd); комплексным углом между двумя прямыми называется число ф + wd; проекция мотора на ось равна произведению его тензора на косинус комплексного угла между осью мотора и осью проекции). Вместе с тем получается возможность каждому построению и теореме теории связки векторов сопоставить построение и теорему теории моторов и, пользуясь первыми, находить новые еще не известные теоремы теории моторов. Таким образом, мы приводим к принципу перенесения» (А.П. Котельников. Теория векторов и комплексные числа. В кн.: А.П. Котельников. В.А. Фок. Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике. М.-Л., 1950, стр.42).
Принцип перенесения имеет большое значение в исследовании Котельникова, устанавливая соответствие между простыми геометрическими фигурами и более сложными. Если взять комплексную сферу единичного радиуса в евклидовом пространстве, координаты которого суть общие комплексные числа a + bw, то один из основных результатов А.П. Котельникова можно высказать следующим образом: множество лучей неевклидова пространства взаимно однозначно изображаются комплексной сферой, причем комплексный угол между прямыми равен сферическому расстоянию соответственных точек сферы, а щетки прямых (множества перпендикуляров к одной прямой) изображаются большими кругами сферы. Вместе с тем, движения неевклидова пространства изображаются вращениями комплексной сферы, и обратно.
Исследования Котельникова развивались одновременно с аналогичными изысканиями немецкого математика Э. Штуди, начатыми в 1891г. и завершенными в наиболее важных частях в 1899—1901гг. (Б.А. Розенфельд, Александр Петрович Котельников,— Ист.-матем. исслед., вып. IX, 1956).
Так в той же Казани, где Лобачевский положил начало неевклидовой геометрии, в широком плане была разработана теория векторов и механика трехмерных пространств постоянной кривизны. Неевклидова механика привлекала внимание и других русских ученых, помимо названных. Укажем для примера статью Н.Е. Жуковского «О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы» (1902) (Н.Е. Жуковский, Собрание сочинений, т.1, М.-Л. 1948.
Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. - М.: Наука, 1968. - 592с.)
http://pyrkov-professor.ru/default.aspx?tabid=186&ArticleId=631