Принцип относительности и Геометрия Лобачевского

Принцип относительности и Геометрия Лобачевского
А.П. Котельников (Москва)
§1.
Уже в первых работах, посвященных принципу относительности и появившихся вскоре после знаменитого мемуара Einstein'a «Zur Elektrodynamik bewegter Korper», мы находим намеки на то, что Геометрия Лобачевского при изложении этого принципа и при решении выдвинутых им проблем может оказаться весьма полезной.
Так Н. Minkowski в своем классическом мемуаре: «Die Grundgleichungen f;r die elektromagnetische Vorgange in bewegten Korper», доказывая ковариантность ур. Maxwell'a–Hertz'a для Лоренцова преобразования, представляет это последнее как вращение на мнимый угол в плоскости x, t и полагает при этом v/c = g = i tg i; = th ;, т.е. выражает скорость при помощи гиперболического тангенса.
Воспользовавшись этим выражением скорости, A. Sommerfeld показывает, что теорема сложения скоростей Einstein'a может быть весьма просто представлена треугольником сферы с мнимым радиусом.
«Но», говорит Dr. V. Vari;ak, «гиперболическая геометрия есть мнимое отображение сферической, как это уже знали Лобачевский и Bolyai», и таким образом замечание A. Sommerfeld'a приводит к мысли о возможности применения Геометрии Лобачевского к принципу относительности.
G. Herglotz пользуясь простейшими фактами неевклидовой Геометрии, которая, говорит он: «вообще в вопросах принципа относительности, напр. при сложении скоростей, может быть весьма полезна», для того, чтобы найти все возможные, согласные с принципом относительности движения твердого тела, т.е. для решения задачи, формулированной, но не вполне решенной М. Born'ом.
Ряд аналогий между Геометрией Лобачевского и принципом относительности, замечание A. Sommerfeld'a и подстановка Г. Минковского v/c = th ; натолкнули V. Vari;ak'a на мысль о неевклидовом истолковании принципа относительности. Результаты своих исследований он формулирует таким образом: «если положить в основу неевклидову терминологию, то не только существенным образом упрощаются формулы теории относительности, но они допускают также геометрическое истолкование, совершенно аналогичное интерпретации классической теории в Евклидовой Геометрии. И эта аналогия простирается местами так далеко, что можно оставить неизменной и словесную формулировку теорем с той лишь разницей, что надо заменить Евклидовы образы соответственными образами пространства Лобачевского с параметром с = 3;1010 сант.».
В своих многочисленных заметках и мемуарах V. Vari;ak дает много примеров, иллюстрирующих его мысль: при помощи построений в пространстве Лобачевского он весьма просто представляет закон сложения скоростей Einstein'a, принцип Doppler'a, аберрацию света, отражение света от движущегося зеркала и т.д.
В прекрасном мемуаре «О геометрических основаниях Лоренцовой группы» F. Klein показав, что группа Лоренцовских преобразований есть проективная группа, оставляющая инвариантной квадратичную форму x^2 + y^2 + z^2 – c^2* t^2, тем самым устанавливает связь ее с группой преобразований пространства Лобачевского.
§2.
Таким образом, благодаря указанным работам математиков, обнаружилось, что Геометрия Лобачевского, которая до сих пор не имела никакого значения для физических теорий, должна играть важную роль в специальном принципе относительности. Это обстоятельство может показаться несколько странным, ибо различие между механикой Einstein'a и механикой Ньютона заключается только в том, что в первой скорость света считается абсолютно постоянной, но как в той, так и в другой предполагается, что явления окружающей нас природы происходят в пространстве Евклида. Естественно возникает вопрос: почему же, несмотря на то, что в основание как механики Einstein'a, так и механики Ньютона положено пространство Евклида, до сих пор при изучении классической механики, на протяжении столетий, никогда не ощущалось потребности ни в каких других геометрических построениях, кроме тех, которым учит нас Геометрия Евклида, между тем как не прошло и пяти лет после опубликования мемуара Einstein'a, как появились вполне определенные указания на то, что Геометрия Лобачевского является весьма подходящим орудием для изучения механики Einstein'a?
Мы получим ответ на этот вопрос, если, с одной стороны, обратимся к той изящной геометрической интерпретации, которую ввел в принцип относительности Г. Минковский, а с другой воспользуемся проективной Геометрией и теорией мероопределения, развитой A. Cayley и F. Klein'ом в их классических мемуарах.
Пусть x, y, z, обозначают прямоугольные координаты пространства, а t – время. «Предметом нашего восприятия», говорит Г. Минковский, «являются всегда места и времена, связанные между собой. Никто не замечал места иначе как в определенное время, и не замечал времени иначе как в определенном месте». Назовем систему значений x, y, z, t «мировой точкой».
Многообразие всех мыслимых мировых точек x, y, z, t Г. Минковский называет «миром». Мир Г. Минковского это пространство четырех измерений.
Какова же структура этого пространства? Будет ли оно пространством постоянной кривизны, и если оно постоянной кривизны, то принадлежит ли оно к типу пространств Евклида, Римана или Лобачевского? Сказанное мною выше о значении Геометрии Лобачевского для принципа относительности может, пожалуй, внушить мысль, что этот мир Минковского и есть пространство Лобачевского. Такая догадка была бы, однако, несколько поспешной: мир Минковского – это пространство Евклида, но только особого вида. Как в нашем обыкновенном Евклидовом пространстве могут быть поверхности постоянной положительной, отрицательной или нулевой кривизны, так и в мире Минковского 4-х измерений могут быть построены 3-х мерные пространства любой постоянной кривизны, и то пространство Лобачевского, которое играет такую выдающуюся роль в принципе относительности, должно находиться где-то в 4-хмерном мире Г. Минковского.
Но где же именно?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны припомнить некоторые основные положения теории мероопределения.
§3.
С начала XVII столетия, со времени появления Геометрии Декарта, преобладающее значение получила Аналитическая Геометрия, которая позволяла все свойства фигур, будут ли то свойства метрические или проективные, изучать при помощи Декартова метода координат. Этот метод, благодаря его универсальности и могуществу, привлек к себе внимание геометров и, опираясь на основные метрические понятия, давал возможность положить их в основание всей геометрии. Отодвинув т.о. на задний план изучение проективных свойств фигур, Аналитическая геометрия расширила наши геометрические представления введением понятия о мнимых точках, линиях и поверхностях и подготовила почву для дальнейшего развития проективной Геометрии.
Мало по малу проективные свойства фигур снова стали привлекать к себе внимание геометров; их значение в геометрии увеличивалось всё более и более, пока, наконец, во второй половине прошлого столетия взгляд на роль в геометрии метрических и проективных свойств не изменился. В эту эпоху стало совершенно ясно, что подобно тому, как Декартова Геометрия дает возможность свести все свойства фигур к свойствам метрическим, так проективная дает возможность проективные свойства положить в основание всей геометрии. Но при этом обнаружилось, что, изучая с точки зрения проективной геометрии метрические свойства какой либо фигуры, мы должны вместе с ней рассматривать еще и другую фигуру постоянную, неизменную, неподвижную, одну и ту же во всех случаях, которую называют абсолютом.
Исключительно абсолютом обусловливаются метрические свойства пространства.
Постараюсь объяснить, что служит абсолютом Евклидова пространства.
Давно уже было замечено, что многие, по-видимому различные, теоремы Геометрии, становятся тожественными, делаются видоизменениями одной и той же теоремы, если мы будем представлять себе, что параллельные между собой линии все сходятся в одной и той же бесконечно удаленной точке, и будем считать, что все бесконечно удаленные точки одной и той же плоскости лежат на одной и той же бесконечно удаленной прямой линии и все бесконечно удаленные точки пространства образуют бесконечно удаленную плоскость.
При такой точке зрения на каждой прямой линии есть только одна бесконечно удаленная точка, в которой она пересекает бесконечно удаленную плоскость. Основное метрическое понятие, связанное с прямой линией, расстояние между двумя ее точками, рассматривается в проективной геометрии как свойство фигуры, образованной тремя точками: двумя данными и бесконечно удаленной точкой прямой. Эта последняя и образует абсолют прямой линии Евклидова пространства.
Далее геометры обратили внимание на то, что разнообразные кривые, которые мы получаем, рассекая поверхность круглого конуса плоскостью, так наз. конические сечения, легко поддаются простой классификации, если мы воспользуемся бесконечно удаленной прямой плоскости.
Дело в том, что со всякой прямой, в том числе и с бесконечно удаленной, всякое коническое сечение пересекается в двух точках, но эти две точки могут быть различны, могут сливаться в одну, когда прямая касается конического сечения, и, наконец, будут мнимы, когда прямая с коническим сечением вовсе не встречается.
Если коническое сечение пересекается с бесконечно удаленной прямой в двух действительных точках, то оно имеет вид гиперболы, если оно встречается с бесконечно удаленной прямой в двух совпадающих точках, т.е. касается с ней, то оно обращается в параболу. Наконец коническое сечение третьего типа, эллипс, пересекается с бесконечно удаленной прямой в двух мнимых точках. Круг есть частный случай эллипса, и мы должны, следовательно, сказать, что и он пересекается с бесконечно удаленной прямой в двух мнимых точках.
Ряд геометрических фактов заставляет нас считать, что все круги плоскости пересекают бесконечно удаленную прямую в одних и тех же двух мнимых точках, которые и принято называть поэтому круговыми точками.
Работы французской школы геометров первой половины прошлого столетия выяснили, что основные метрические понятия плоскости самым тесным образом связаны с бесконечно удаленной прямой и мнимыми круговыми точками на ней. Расстояние между двумя точками A и В, угол между двумя прямыми l и m рассматриваются в проективной геометрии как свойства тех фигур, которые мы получим, присоединив к точкам A и B, или к прямым l и m круговые точки. Эти последние вместе с бесконечно удаленной прямой и образуют абсолют Евклидовой плоскости.
Подобным же образом оказалось, что при изучении геометрии трехмерного пространства полезно представлять себе, что все шаровые поверхности пересекаются с бесконечно удаленной плоскостью по одному и тому же мнимому кругу, который поэтому называют шаровым кругом.
С точки зрения проективной геометрии метрические свойства какой-либо фигуры суть свойства сложной фигуры, составленной из нее и шарового круга. Этот круг вместе с бесконечно удаленной плоскостью, в которой он лежит, и служат абсолютом Евклидова пространства трех измерений.
§4.
Дальнейший шаг в развитии этих идей был сделан английским математиком A. Cayley. Он дал по его словам «теорию расстояний» или, как принято теперь говорить, «теорию мероопределения». Эта теория заключается в том, что мы можем, вводя основные метрические понятия, взять за абсолют прямой линии не одну точку, а две, за абсолют плоскости не бесконечно удаленную прямую с круговыми точками на ней, а любое коническое сечение. Обобщенная таким образом геометрия прямой линии обращается в геометрию Евклидовой прямой, когда две точки абсолюта сливаются в одну. Обобщенная же геометрия плоскости превращается в геометрию Евклидовой плоскости или в геометрию сферы, если коническое сечение, принятое за абсолют, обращается в пару круговых точек или становится мнимым.
Сам A. Cayley, набросав в своем мемуаре на нескольких страницах теорию мероопределения, не останавливается на дальнейшем ее развитии и не касается следствий, из нее вытекающих. А между тем эти следствия имеют весьма большое значение для всей Геометрии.
Первым, обратившим внимание на значение небольшого мемуара A. Cayley, был F. Klein.
Упростив математическую сторону теории мероопределения, F. Klein показывает, что не только Геометрия Евклида и Геометрия сферы, но и Геометрия Римана и Лобачевского укладываются в геометрическую схему A. Cayley. Всё различие геометрии плоскости Евклида, Римана и Лобачевского обусловливается различием абсолютов этих трех типов плоскостей. Мы уже видели, что абсолютом Евклидовой плоскости служит прямая с двумя мнимыми точками на ней.
Если же за абсолют мы примем коническое сечение, то получим плоскость Римана, когда оно будет мнимым, и плоскости Лобачевского, когда оно – действительно.
Теория мероопределения A. Cayley может быть распространена и на пространство трех измерений. Если мы за абсолют примем не шаровой круг, а поверхность второго порядка, то получим или Геометрию Лобачевского, или Геометрию Римана, смотря по тому, будет ли поверхность действительной или мнимой.
Надо однако заметить, что теория мероопределения дает возможность не только просто классифицировать уже хорошо изученные типы пространств, она идет гораздо дальше и позволяет строить схемы и новых пространств, еще не изученных. До сих пор математики мало обращали на них внимания, т.к. ни в самой Геометрии, ни в других науках в них не встречалось надобности. Но принцип относительности, его геометрическая интерпретация, предложенная Г. Минковским, заставляет нас создать, пользуясь теорией мероопределения, новые пространства, которые до сих пор еще не изучались, но которые должны теперь обратить на себя внимание геометров.
§5.
Обращаясь к построению мира Г. Минковского и мира Ньютона, мы всегда в дальнейшем будем предполагать, что все наши построения происходят в пространстве проективном, в котором имеют место аксиомы проективной Геометрии.
...
§11.
Вообразим четырехмерное проективное пространство R4 и возьмем в нем линейное трехмерное пространство Р3, которое назовем бесконечно удаленным. С этим пространством Р3 всякая прямая пересечется в одной точке, плоскость – по прямой линии, и линейное трехмерное пространство – по плоскости.
...
§12.
Возьмем наконец за абсолют Р3 пространство Лобачевского трех измерений и пусть его абсолютом служит некоторая поверхность S2 второго порядка.
Каждая прямая пространства R4 встретит пространство Л3 = P3 только в одной точке, в конце прямой, каждая плоскость пересечется с Л3 по бесконечно удаленной прямой и каждое линейное пространство трех измерений – по бесконечно удаленной плоскости. Концы двух взаимно перпендикулярных линий пространства R4 сопряжены по отношению к поверхности S2, а линии пересечения с Л3 двух перпендикулярных плоскостей образуют взаимные поляры S2.
Концы осей ортогональной системы Oxyzt находятся в вершинах автополярного по отношению к S2 тетраэдра. Замена одной координатной системы другой соответствует замене одного тетраэдра x, y, z, t другим x;, y;, z;, t;.
Если t, конец оси t, находится внутри поверхности S2, есть точка реальная, то точки x, y, z, концы осей х, у, z, будут идеальными. Плоскости yzt, zxt, xyt пересекутся с поверхностью S2 по действительным кривым и будут плоскостями Лобачевского, координатные же пространства Oyzt, Ozxt, Oxyt пространствами Минковского трех измерений. Плоскость xyz будет плоскостью Римана, а пространство Oxyz – обыкновенным пространством Евклида. Этот характер координатных пространств убеждает нас в том, что геометрические свойства фигур четырехмерного пространства Oxyzt, устанавливая связь между х, у, z, t и их производными, будут выражать законы механики Einstein'а. Пространство R4 ; M4 ; (Л3E) будет, следовательно, миром Минковского четырех измерений, и преобразование Лоренца представится как переход от одного координатного тетраэдра xyzt, к другому x;y;z;t;.
Движение точки m в Евклидовом пространстве Oxyz, заданное ур. x = f(t), y = f1(t), z = f2(t), представится в пространстве М4 мировой линией, касательная проведенная к ней в какой-нибудь точке M(x,y,z,t) пересечет абсолют Л3 в точке A0. Скорость точки m в момент t в системе (х, y, z, t) представится вектором tA0 и будет равна
v = c·sh u, (21)
где u есть длина отрезка tA0. Рассуждая совершенно так же, как и в случае движения точки по прямой или по плоскости, мы можем установить однозначное соответствие между скоростями и точками абсолюта, остающееся неизменным при переходе от одной системы отсчета к другой.
При этом скоростям, меньшим скорости света с, будут соответствовать реальные точки абсолюта Л3, лежащие внутри поверхности S2, скоростям большим чем с – точки идеальные, и, наконец, скоростям равным скорости света – точки самой поверхности S2. Мы можем поверхность S2 назвать световой поверхностью или световым абсолютом пространства Лобачевского Л3.
Сложение скоростей приведется к сложению отрезков в пространстве Л3 и выразится основной тригонометрической формулой Геометрии Лобачевского, которая легко преобразуется в формулу Einstein'а.
...
Я не буду более рассматривать примеров из кинематики динамики и обращу только внимание на то простое геометрическое толкование, которое получает электромагнитный вектор, т.е. вектор, состоящий из электрического смещения и магнитной силы, и закон, управляющий этим вектором при переходе от одной системы отсчета к другой.
В своем мемуаре «Пространство и время» Г. Минковский говорит: «При описании поля, вызываемого электроном, оказывается, что разделение поля на электрическую и магнитную силы есть разделение относительное и зависит от избранной оси времен; наиболее целесообразно рассматривать одновременно обе силы, руководствуясь при этом известною, хотя и неполною, аналогией, силовым винтом механики».
Эти слова Минковского должны быть исправлены в том смысле, что электромагнитный вектор представляет собой совершенно полную аналогию с винтом механики, но только не в пространстве Евклида, а в пространстве Лобачевского Л3, которое служит абсолютом миру Минковского.
Действительно, рассмотрим кинематический винт пространства Лобачевского. Перемещение твердого тела в пространстве Лобачевского мы можем разложить на поступательное, которое определяется перемещением какой-нибудь точки А тела и задается вектором V, и вращательное, вокруг оси, проходящей через ту же точку А, и определяемое вектором ;. Но это разложение перемещения на поступательное и вращательное относительно. Если бы для характеристики того же самого перемещения тела мы избрали бы другую точку В, то оно – перемещение – определилось бы двумя другими векторами V; и ;;, связанными с векторами V, ; законами кинематики пространства Лобачевского. Эта зависимость между V, ; и V;, ;; и будет как раз той зависимостью, которая связывает элементы одного и того же вектора, отнесенного один раз к системе отсчета (x, y, z, t), у которой концом оси t служит точка А, а в другой раз к системе (x;, y;, z;, t;), у которой конец оси t; совпадает с точкой В. Едва ли проще можно представить себе эту зависимость. Она показывает нам, что каждому электромагнитному вектору соответствует винт в абсолюте Л3.
Я не буду входить в дальнейшие подробности, ограничусь только общим замечанием, что теория векторов неевклидовых пространств, изложенная в моей работе: «Проективная теория векторов» (1899), имеет много общего с теорией векторов мира Минковского, разработанной A. Sommerfeld;ом в его мемуаре: «Zur Relativit;tstheorie». Та точка зрения, которую устанавливает на мир Минковского проективная Геометрия, как на пространство четырех измерений, абсолютом которому служит трехмерное пространство Лобачевского, представляет теорию векторов мира Минковского в новом освещении, благодаря которому эта теория значительно выигрывает в простоте и ясности и связывается самым тесным образом с теорией векторов в пространстве Лобачевского. Вместе с тем устанавливается связь между геометрической интерпретацией принципа относительности при помощи Геометрии Лобачевского, предложенной Vari;ak'ом, и миром Минковского, и становится ясным, что реальная часть пространства Лобачевского Л3, которая служит абсолютом мира Минковского, и есть то пространство, которым пользуется Vari;ak в своих многочисленных работах.
Итак, резюмируя всё выше сказанное, мы видим, что механика Евклидова пространства трех измерений может быть рассматриваема как Геометрия мира (х, у, z, t) четырех измерений. Для классической механики мы имеем мир Ньютона N4, для механики Einstein'а – мир Минковского М4.
Бесконечно удаленные элементы мира образуют его абсолют.
Абсолютом мира Ньютона служит обыкновенное трехмерное Евклидово пространство; абсолютом последнего – мнимое коническое сечение (шаровой круг).
Абсолютом мира Минковского служит трехмерное пространство Лобачевского; абсолютом последнего – световая поверхность 2-го порядка.
Так как Геометрией Лобачевского определяются метрические свойства мира Минковского, а эти свойства выражают законы принципа относительности, то можно сказать, что Геометрия пространства Лобачевского трех измерений определяет законы механики Einstein'а.
В том же смысле Геометрия Евклидова пространства трех измерений определяет законы механики Ньютона.
А.П. Котельников. Принцип относительности и Геометрия Лобачевского, In mem. Lobatschevskii, 1927, том 2, 37–66