Геометрия Лобачевского и релятивистская механика
Из Заключения - Н.И. Лобачевский. О началах геометрии (1829—1830)
...Оставалось бы изследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой Геометрии в Механику, и не встретится ли здесь принятых уже и несомнительных понятий о природе вещей, но которые принудят нас ограничивать, или совсем не допускать зависимости линии и углов.
Однакож можно предвидеть, что перемены в Механике при новых началах Геометрии будут того же рода, как показал Лаплас (Mecanique celeste Т. I. Liv. I. Ch. II.), предполагая возможной всякую зависимость скорости от силы, или выразимся вернее — предполагая силы, измеряемые всегда скоростью, подчиненными другому закону в соединении, нежели принятому сложению их
Н.И. Лобачевский. Полное собрание сочинений по геометрии. Том 1. Казань, 1883. 561с.
http://books.e-heritage.ru/book/10070447
https://vk.com/doc-99389082_417758838 42мб pdf
Геометрия Лобачевского и релятивистская механика
Н.А. Черников
Объединенный институт ядерных исследований, Дубна
Приводятся основные понятия и результаты геометрии Лобачевского. С точки зрения геометрии Лобачевского излагается механика.
Введение
Творец неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевский, как известно, решил проблему параллельных, над которой так безуспешно трудились многие и многие поколения. О трудности этой проблемы можно судить по тому, что уже найденное ее решение было понято лишь немногими современниками великого ученого. Однако следующее поколение геометров овладело геометрией Лобачевского, почувствовало ее силу в точных науках и нашло простые способы ее изложения.
За релятивистскую механику в физической аудитории агитировать не приходится: она является рабочим инструментом в физике высоких энергий. Но, применяя этот инструмент, не всегда знают, что в основном имеют дело с геометрией Лобачевского. А между тем — имеют, поскольку пространство скоростей в релятивистской механике является пространством Лобачевского. Незнание этого часто приводит к непроизводительной затрате сил и, разумеется, затрудняет понимание самой релятивистской механики. Открывать же каждый раз заново геометрию Лобачевского — дело трудное и, конечно, лавров уже не приносящее. Трудность выбранной темы обзора в том и состоит, что в большинстве своем физики не знакомы с геометрией Лобачевского. В связи с этим обзор разбит на две части.
В первой, вспомогательной, части обзора излагается суть проблемы параллельных и история ее решения. Приводятся основные понятия и результаты геометрии Лобачевского. Раскрывается богатство стереометрии Лобачевского; содержащей на плоскости планиметрию Лобачевского, на сфере — сферическую планиметрию и, что наиболее замечательно, на орисфере —планиметрию Евклида.
Приводимых в обзоре сведений из тригонометрии достаточно для решения большинства задач механики контактных столкновений. На основе тригонометрии выводятся формулы Лобачевского для угла параллельности и для зависимости площади круга и длины окружности от радиуса.
Наконец, вводятся бельтрамиевы координаты, с помощью которых во второй части обзора определяется пространство скоростей.
Во второй, главной, части обзора излагается релятивистская механика одной и двух частиц. Не останавливаясь на деталях, отметим следующие основные моменты. Если в пространстве скоростей частицы геометрию Евклида заменить геометрией Лобачевского, то преобразования Галилея заменятся на преобразования Лоренца. В этом случае в механике одной частицы происходят изменения, во всем аналогичные тем, которые происходят в геометрии при отрицании евклидова постулата о параллельных.
Например, хотя кинетическая энергия и импульс частицы продолжают выражаться площадью круга и длиной окружности в пространстве скоростей, но сам вид зависимости этих величин от радиуса изменяется в соответствии с формулами Лобачевского. Более радикальным изменениям подвергается механика двух и более частиц. В этой обширной части механики остается неразрушенной только механика контактных столкновений. Последняя же изменяется в такой мере, в какой и механика одной частицы.
Так, закон сохранения импульса при распаде одной частицы на две продолжает оставаться эквивалентным паре архимедовых законов рычага в пространстве скоростей. Однако вместо плеч в этих законах приходится считать длины окружностей, описываемых рычагами. Эквивалентность закона сохранения импульса паре законов рычага Архимеда позволяет представить релятивистскую механику контактных столкновений в виде статики в пространстве Лобачевского. С помощью такого рода представлений во второй части обзора решается ряд механических задач. Этим автор надеется показать практическую ценность излагаемого материала...
Н.А. Черников. Геометрия Лобачевского и релятивистская механика // ЭЧАЯ. 1973. Т. 4, вып. 3. с.773-810