Принцип относительности и Геометрия Лобачевского
Проективное пространство скоростей
Се ТрГлаве молiхомь Влiце а Мале
Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками ({3;7})
...Первые шаги в формировании соответствующего взгляда на механику был предпринят еще самим Лобачевским [31], а также (несколько более конкретной форме) Де-Тилли [81], [82], Дженокки [85] и Шерингом [108], [109], в связи с выяснением возможности построения механики пространств Лобачевского. Опираясь на известную аналогию между кинематикой и статикой твердого тела в евклидовом пространстве и пытаясь перенести ее в механику неевклидова пространства, они столкнулись с необходимостью построения новой теории векторов, пригодной для неевклидовых пространств.
Дальнейшее развитие этого круга идей с привлечением аппарата проективной геометрии был осуществлен в работах Линдемана [96], Клиффорда [79], Кокса [80] и Бухгейма [77]. Помимо обычных векторов (пар точек) они рассматривали как элемент теории векторов пары плоскостей и пары прямых. В соответствии с этим в векторную алгебру были введены комплексные числа с двумя единицами. До логического завершения эта теория была доведена А.П. Котельниковым [28]. И был открыт так называемый принцип соответствия, позволяющий свести изучение сложных объектов этой теории к изучению гораздо более простой модели — связки векторов в евклидовом пространстве.
Открытие Эйнштейном специальной теории относительности придал этим исследованиям новое направление — выяснением связи геометрии пространства скоростей в специальной теории относительности и пространстве Лобачевского. По-видимому, впервые на эту связь обратил внимание в 1909 году Зоммерфельд [111], а затем, независимо, Варичак [120], Герглоц [88] Роб [107].
Далее, в 1914 год появился русский перевод статьи Клейна [27], стимулировавшей работы Казанской школы геометров. Клейн доказал, что группа Лоренца изоморфна группе движений пространства Лобачевского. В 1923 год A.П. Котельниковым [30] связь между геометрией Лобачевского и специальной теорией относительности была установлена полностью. А.П. Котельников, представляя скорости частиц в виде бесконечно удаленной точки пространства-времени, ввел проективное пространство скоростей. В этом пространстве скорость частиц с нулевой массой покоя (фотона) лежит на абсолюте, скорость частиц с положительной массой покоя — внутри абсолюта, а скорость частиц с мнимой массой покоя (такие частицы сейчас называют тахионами)—вне абсолюта.
При этом внутренняя область абсолюта представляет собой пространство Лобачевского с характерной константой с, равной скорости света.
Интерес к этим исследованиям вновь возродился лишь в середине пятидесятых годов, в связи с появлением в свет книги В.A. Фока [57] и работы Н.А. Черникова [58]. В упомянутой книге В.A. Фока введение пространства скоростей Лобачевского основано на формулах Эйнштейна-Пуанкаре для относительной скорости частиц и модели Бельтрами геометрии Лобачевского. В отличии от В.A. Фока, построение Н.A. Черникова основано на введение расслоенного пространства.
Поясним основную идею построения Н.А. Черникова. Пространство-время теории относительности представляет собой
гладкое многообразие, в котором траекториям частиц соответствуют гладкие кривые. Касательные к этим кривым представляют
собой скорости частиц. Таким образом, в каждой точкe x из М^4 пространство скоростей частиц представляет собой проективно трехмерное пространство. Пространство же всех скоростей частиц представляет собой семимерное пространство с базой М^4 и слоем Р^3(x). При этом дифференциалы координат многообразия М^4 представляют собой однородные координаты в Р^3(x).
Зададим в слое Р^3(x) метрику gijdxdx с сигнатурой (+ , - , - , -) .
Для обычных частиц gijdxdx>0. Эта область представляет собой пространство Лобачевского с характерной константой с, равной скорости света.
Скорости частиц с нулевой массой покоя (фотонов) определяются условием gijdxdx = 0,
а частиц с мнимой массой (тахионов) — условием gijdxdx<0.
Более детальное развитие теории пространства скоростей можно найти в работах Н.А. Черникова [58] — [68]. В настоящее время этот подход уже систематически используется рядом физиков (см.[9], [26], [45], [46]).
28. Котельников А.П., Проективная теория векторов. Изв. Казанск. Фн -мат об-ва, 2- серия, 1892, VIII и IX
29. —, Винтовое счисление. Уч. зап. Казанск. ун-та, 1895—1896. Отд. изд. 1895
30. —, Принцип относительности и геометрия Лобачевского. В сб. «In memorial Lobatchevskii». Казань, 1927, 2, 37—66
31. Лобачевский Н.И., Собрание сочинений в 5 томах. Под ред. В.Ф. Кагана. М. —Л., Гостехиздат, 1949
58 - Черников Н.А., Распад частицы и соединение частиц в образах пространства скоростей. Научн. докл. высш. школы, физ.-мат. н., 1958, № 2, 158—161 (РЖМат, 1960, 859)
59 - Релятивистское распределение Максвелла — Больцмана и интегральная форма законов сохранения. Препринт (Объедин. ин- ядер, исслед., —723). Дубна, 1961
60 - Кинетическое уравнение для релятивистского газа в произвольном гравитационном поле. Препринт (Объедин. ин- ядер, исслед., Р—1028). Дубна, 1961
61 - Применение геометрии Лобачевского в специальной теории относительности. Междумар. зимняя школа теор. физики. Объедин. ин- ядер. исслед. Дубна, 1964
62 - Лекции по геометрии Лобачевского и теории относительности. Новосибирск. Гос. ун-т, 1965
63 — Стохастическое движение релятивистской частицы. Преприн (И1Ф, 68—44). Киев, 1968
64 - Геометрия Лобачевского и релятивистская механика. В сб. «Физика элементарных частиц и атомного ядра». М., Атомиздат, 1973, 4, вып. 3,
773—810
65 — Введение геометрии Лобачевского в механику. В сб. «Классическа и квантовая теория гравитации». Минск, Ин-т- физик А БССР, 1976,
47—53
66 — Геометрия Лобачевского как физическая наука. Препринт. (Объедин. ин- ядер, исслед., Р2—10251). Дубна, 1976
67 — Введение геометрии Лобачевского в механику. Препринт (Объедин. ин- ядер, исслед., Р2—9620). Дубна, 1976, 9 с. (РЖМат, 1976, 12А836)
68 — Геометрия Лобачевского как физическая наука. Всес. науч. конф. по неевклид. геометрии «150 лет геометрии Лобачевского», Казань, 1976. М., 1977, 146—153 (РЖМат, 1978, 7А943)
С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, Д.Д. Соколов, Некоторые вопросы геометрии Лобачевского, связанные с физикой, Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 1982, том 13, 157–188
...Рассуждая совершенно так же, как и в случае движения точки по прямой или по плоскости, мы можем установить однозначное соответствие между скоростями и точками абсолюта, остающееся неизменным при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом скоростям меньшим скорости света с будут соответствовать реальные точки абсолюта Л3, лежащие внутри поверхности S2, скоростям больших чем с, — точки идельные, и наконец скоростям равным скорости света — точки самой поверхности S2. Мы можем поверхность S2 назвать световой поверхностью или световым абсолютом пространства Лобачевского Л3
А.П. Котельников. Принцип относительности и Геометрия Лобачевского, In mem. Lobatschevskii, 1927, том 2, 37–66