На рисунке показаны пять точек, в которых должна находиться Луна, чтобы она могла вращаться вокруг Солнца синхронно с Землей
Мемуар Лагранжа был издан в Париже в 1772 году и сразу получил премию Парижской академии наук.
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Как-то Лагранж в шутку сказал:
-- Вот говорят, что бог создал Солнце, чтобы оно светило людям днем, а Луну -- ночью. Если такова была его цель, то с задачей он справился не лучшим образом. Вот если бы он поместил Луну напротив Земли на расстоянии в 1/100 расстояния Земли от Солнца, да заставил бы ее вращаться не вокруг Земли, а вокруг Солнца с той же скоростью, что и Земля, то тогда днем бы светило Солнце, а всю ночь, и притом круглогодично, Луна.
-- Ну и богохульник же вы мсье, -- возразила одна из салонных дам. А поскольку многие из тогдашних дам начитались Фонтенеля, да наслушались разных аббатов, двигавших научпоп в салонные массы, она добавила: -- И вообще возможно ли такое в свете учения Ньютона?
Лагранж приподнял парик, почесал себе затылок и чистосердечно вымолвил:
-- А черт его знает. Даже Ньютон думал о подобной проблеме, да так и не смог подступиться к ней. А что вы от меня хотите?
Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения. Используя этот закон, он вычислил орбиту вращения одного тела вокруг другого и показал, что такая орбита непременно будет иметь либо вид окружности, либо эллипса, либо параболы. На основании этого закона были рассчитаны орбиты всех планет Солнечной системы, а впоследствии и искусственных спутников Земли и разных там орбитальных станций. А вот на вопрос, что будет с телом, если оно будет притягиваться не одним, а несколькими, или хотя бы еще одним телом, ответа не дал ни сам Ньютон, ни его последователи.
Проблема, о которой Лагранж, конечно же был осведомлен, задела его за живое и он начал вести расчеты предложенного гипотетического случая, то есть когда Луна и Земля вместе с одинаковой угловой скоростью вращаются вокруг Солнца. Полностью задачу ему решить так же не удалось, но он сумел найти 5 взаимных положений тел, когда такое движение будет возможным.
То есть если бы Бог вращал Луну вокруг Солнца, как и Землю, то такая система из трех тел была бы устойчивой и вращалась до скончания века. 3 положения, которые еще за 5 лет до Лагранжа, как было установлено позднее, выяснил еще Эйлер: это когда все три тела находятся на одной прямой по моделям: Солнеце-Земля-Луна, Солнце-Луна-Земля или когда Луна и Земля располагаются на противоположных сторонах от Солнца. Лагранж добавил к этим положениях еще 2: когда планеты и Солнце образуют равносторонний треугольник.
И уже в наше время два сербских математика Шуваков и Дмитрашинович сумели отыскать еще 8 таких позиций, за что получили престижнейшую математическую премию.
Однако в общем виде задача так и не была решена. Для вычисления орбит планет и спутников этого и не требуется. К примеру, самая большая из планет Солнечной системы Юпитер, притягивает к себе Землю (и притягивается, соответственно, Землей) с силой в 0,00006 от силы притяжения Земли к Солнцу. Но как ни мала эта сила, а в течение миллионов лет, расстояние между Юпитером и Землей должно заметно измениться.
Как? Ответ на этот вопрос, несущественный с точки зрения определения орбит планет в их нынешнем состоянии, очень важен для построения моделей эволюции Солнечной системы. Кроме того, близко от Земли может пройти комета или другое небесное тело со значительной массой, пренебречь притяжением Земли к которой никак нельзя. Как изменится при этом орбита Земли?
ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ
То есть задача трех тел имеет отнюдь не чисто теоретическое значение. И неудивительно, что физики, математики и астрономы постоянно возвращаются к исследованию этой проблемы. Вляпался в нее и наш математик А. Ляпунов. Как-то он сидел с братьями Борисом и Сергеем летом на террасе и любовался на Луну:
-- Луна-то какая лунявая, -- восхищался Борис, помещик целиком заточенный на хозяйственную деятельность. -- Отличная будет погода. Самое то для косьбы.
-- А меня, -- говорил Сергей, композитор по специальности, -- Луна всегда бросает в меланхолическое настроение. Хотя, согласен, без нее было бы худо.
-- Эх-эх, -- вздохнул Александр. -- Мне бы ваши заботы. Если бы вы знали, какая она эта Луна коварная. К Солнцу притягивается в 2,2 раза сильнее, чем к Земле, а все равно вращается вокруг Земли. Как такое возможно?
Александр Ляпунов исследовал проблему несколько с другого бока. Проблема трех тел -- это всего лишь частный случай более общей проблемы -- проблемы множества тел. Вот ее классическая формулировка Вейерштрассом (1885):
"Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной".
Понятно, что эта задача еще сложнее задачи трех тел, и по-настоящему за нее никто не брался. А не проще было бы все же для начала решить задачу устойчивости системы трех тел -- поставил вопрос ребром французский математик Лиувиль. То есть три тела вращаются в найденных Лагранжем положениях, а остальные тела оказывают лишь возмущающее воздействие. Ну пролетела комета мимо Земли, сбила ее с панталыку, начала Земля как пьяная шататься по своей орбите туда-сюда, но через некоторое время протрезвела и вошла в обычную колею. Это как вроде маятник. Висит он себе висит на нитке и будет висеть до скончания века, пока его никто не трогает. Какой-нибудь дурак, проходя мимо, возьмет да и качнет его. И будет маятник качаться туда-сюда некоторое время, но все равно остановится и вернется в исходное положение.
То есть является ли найденная Лагранжем система трех тел устойчивой при возмущающем воздействии со стороны других тел -- так сформулировал задачу Лиувиль. И многие математики, в том числе и Ляпунов, принялись с жаром ее решать. Ляпунов блестяще и строго математически решил эту задачу, но лишь для круговых орбит, хотя и для случая эллипса он нашел ряд частных решений.
Еще один великий математик, который взялся за решение задачи устойчивости трех тел был Пуанкаре. Прежде всего Пуанкаре строго математически доказал, что решить проблему в рамках поставленной Вейерштрассом задачи строго невозможно ни алгебраически, не методами дифференциального исчисления. Что же делать? А ничего. Создавать совершенно новый математический аппарат. Он придумал так называемый интегральный инвариант.
Вот его формулировка, как она дана в Википедии, и которую профану понять просто невозможно:
"Интегральным инвариантом называется интегральное выражение, зависящее от координат и импульсов и сохраняющееся неизменным на некоторым образом выделенных множествах прямых путей (путей, на которых выполняется соответствующие уравнения Лагранжа). Относительным называется интегральный инвариант, относящийся к какому-либо замкнутому контуру. Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана является инвариантом первого порядка, так как интегрирование производится по одномерному множеству (по контуру)"
Можно только сказать, что математический лагерь этот инвариант расколол надвое: одни приняли его, другие нет. Те, кто не принял его, справедливо упрекали Пуанкаре, что он ввел математические объекты с неопределенным математическим смыслом. В математике все должно быть строго: какие бы сложные формулы она ни предлагала, исходные понятия должны быть очевидны и существовать. А существовать в математике -- это значит быть непротиворечивым. Не может треугольник иметь 4 угла, и не может окружность быть квадратной. И даже если никакого физического смысла в математическом объекте нет, как в комплексных числах, то если удалось доказать их непротиворечивость, они существуют.
Так вот Пуанкаре ввел несуществующие объекты. Да, соглашаются его сторонники, но ведь на основании этих объектов он решил ряд задач и решил правильно. Значит они имеют право на существование.
Рассудить математиков тут трудно. Мы лишь добавим, что даже если задача о трех телах будет решена с интегральными инвариантами или без оных, это будет всего лишь решение гипотетической задачи о том, что было бы, если бы Луна вращалась не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Но Луна-то вращается вокруг Земли, несмотря на то, что Солнце притягивает ее в 2,2 раза сильнее, чем Землю. И вычислить орбиту Луны с помощью законов механики решение задачи о трех телах не поможет. Пока же эта орбита вычисляется с помощью эмпирических формул, то есть формул, не выведенных из небесной механики Ньютона, а полученных практическими астрономами путем многотысячелетних наблюдений.
МИНИАТЮРЫ О НАУКЕ
http://proza.ru/2023/03/21/327