Интеграл от расстояния по времени
Механика Ньютона пользуется: расстоянием, скоростью, ускорением, - то есть: нулевой, первой и второй производными по времени, поэтому никакой, в принципе, Америки мы не должны открыть, если воспользуемся, скажем, скоростью, расстоянием и "интегралом от расстояния по времени". А зачем нам вводить никому не нужный, а потому и никому в физике неизвестный "интеграл от расстояния по времени"? - Спросите Вы.
Встречный вопрос: а почему у вас даже мысли не возникает, что этот интеграл давным-давно введен, все им пользуются, более того серьёзные физики жить без него не могут, вот только он называется в физике как-то иначе, каким-то другим словом, например, "действием", хотя самостоятельного смысла, подобно "действию" в математике, это слово в физике не имеет, а употребляется в удивительнейшем словосочетании "принцип наименьшего действия".
Вот цитата из Интернета, проливающая свет на эту ситуацию: "Когда я впервые узнал об этом принципе, у меня возникло ощущение какой-то мистики. Такое впечатление, что природа таинственным образом перебирает все возможные пути движения системы и выбирает из них самый лучший.
... В 1744 Мопертюи вводит понятие «действия» и формулирует принцип, согласно которому истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным. Однако сам Мопертюи, так и не смог дать четкого определения, чему равно это действие. Строгая математическая формулировка принципа наименьшего действия была разработана уже другими математиками – Эйлером, Лагранжем, и окончательно была дана Уильямом Гамильтоном".
Согласно Лагранжу из всех траекторий, проходящих через точки А и В, Природа выбирает ту, на которой интеграл по времени от функции L = T - U (U - потенциальная энергия, T - кинетическая) принимает минимальное значение. Но T = m*v*v/2, то есть путь который проходит точка, двигаясь с единичным ускорением за время v. Иными словами, в кинетической энергии роль времени выполняет скорость, а роль пути, то бишь работы, выполняет T.
Второе слагаемое (потенциал U) - это тоже работа, тоже путь, который материальная точка должна преодолеть, двигаясь то с нулевым, то с единичным ускорением (единичное ускорение - это как бы чистый спирт, а нулевое ускорение, которому соответствует свободное движение, это - чистая вода; смешивая которые можно получать в среднем все виды ускорений, однако потенциал складывает только те моменты времени, когда ускорение равно единице ("перемешать, но не смешивать", - как говаривал Джеймс Бонд). Получается, что в функции Лагранжа одна работа вычитается из другой (одно расстояние вычитается из другого), а сама точка обязана двигаться по траектории, где эта разность равна нулю или принимает отрицательное значение.
Физика давным-давно всем этим пользуется, не вникая в суть того, что происходит на самом деле, как дурочка перед зеркалом. Вчера поздно вечером я это написал и подумалось, а не слишком ли резко (физиков больше, чем математиков - могут обидеться), но с утра пораньше ситуация прояснилась до уровня "в самый раз".
Дело в том, что Хендрик Лоренц ещё не родился (18 июля 1853), а ограниченная геометрия Лобачевского уже была известна. Отрезки расстояния в геометрии Лобачевского складываются по формуле (s1 + s2)/(1+s1*s2/L*L), значит, кинетическая энергия материальной точки тоже ограничена, а, следовательно, и скорость ограничена (v1 + v2)/(1+v1*v2/c*c). Но скорость - это время, значит, и время (t1 + t2)/(1+t1*t2/T*T). Не надо было ждать рождения Хендрика Лоренца! За что все физики так ненавидят Лобачевского (не встречал ни одного, кто знает его геометрию)? Неужели, только за то, что он русский?
Но если пространство Лобачевского занимает только часть пространства Евклида, то точка Лобачевского - становится сферой: скоплением галактик, галактикой, звездой, планетой, клеткой, атомом, кварком...