Вводный исторический экскурс.
Обычно под аксиомами арифметики понимают аксиомы существующей общепринятой формальной системы с «готовыми» понятиями, определениями, объектами, операциями.
Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции.
В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции. и как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.
Множество натуральных чисел N с обычными арифметическими операциями сложения и
умножения, предикатом равенства и константами 0,1 называют стандартной моделью
арифметики. Первая теорема Гёделя о неполноте (в упрощенной формулировке) утверждает, что не существует эффективной, т.е. обладающей разрешимым множеством аксиом и правил
вывода, теории (логического исчисления), множество выводимых утверждений которой
совпадает с теорией натуральных чисел первого порядка. С другой стороны, если исключить
из рассмотрения умножение, то получившаяся теория, называемая арифметикой Пресбургера,
обладает аксиоматической системой с конечным списком аксиом, т.е. существует
эффективная логическая система (также называемая арифметикой Пресбургера), полная
относительно модели из натуральных чисел с константами 0,1, функцией (операцией)
сложения и предикатом равенства. Теорема Трахтенброта утверждает, что не существует
эффективного логического исчисления, полного относительно класса всех конечных моделей
(стандартная формулировкапервопорядковая теория конечных моделей не является рекурсивно
перечислимой).
Парадоксы наивной теории множеств привели к созданию различных аксиоматических теорий
множеств. В отличие от аксиоматической арифметики, называемой формальной
арифметикой, теория множеств не обладает стандартной, т.е. всеми принимаемой в качестве
стандартной, моделью. Положение усугубляется тем, что имеются многочисленные
утверждения, такие как континуумгипотеза, аксиома выбора, которые равнонепротиворечивы
со своими отрицаниями; напр., мы можем к аксиоматической теории множеств присоединять
континуум-гипотезу.
На этом мы завершим краткий экскурс, не вдаваясь в подробности, проблемы, противоречия.
Нашей целью являются более фундаментальные понятия, неформальные основания, точнее, формализация неформализованных подлинных логических и арифметических начал.
Основные понятия.
1. Неформальная логика.
Объект. Имя. Идентификация. Существование. Субъект. Операция. Единица. Единое. Многое. Противоречие. Полнота. Новые языки нелинейного программирования.
Объект. Нечто, подлежащее исследованию. Весьма расплывчатое, неопределённое и противоречивое понятие. Когда подразумевается всё, содержательно оно оказывается «пустым», чрезмерно общим, бесполезным, ничем или почти ничем. Но нам будет важно некоторое наполнение, внутренняя градация. «Дай мне мудрость отличить одно от другого!» Тонкость дистинкций. Как у Аристотеля, «это бывает ещё таким и вот таким». Нам важно декларировать, что если мы называем, даём ИМЯ, дефиницию «объект», мы признаём сразу его СУЩЕСТВОВАНИЕ, хотя пока и не знаем, что это такое, но полагаем, что раз поименовали, то в каком-то «этом» смысле он существует. Имя автоматически придаёт определённый модус существования. Итак, объект – прежде всего явление человеческого мышления, осознания, воображения, языка и т.п.
В этом смысле он существует «ЛЕГКО». А ещё он может быть вероятностным, быть или не быть, иметь особый модус, способ существования: то появляться, то исчезать. А ещё объект может быть вещественным, материальным, как-то мало зависеть от всего человеческого. Что такое вещественное, материальное, конечно, мы точно не знаем, - мы определили это «опытным» путём, интуитивно, как нечто существующее почти независимо от нас, дольше нас, до и после нас. Но как только мы выдвинули подобный критерий, должны определить, что такое «дольше нас, до и после нас». Ведь мы ввели скрытно, латентно, имманентно сложнейшее новое понятие – ВРЕМЯ.
К сожалению, часто в формальных системах пытаются закрыть глаза на факт включённости времени в логику. «Противоположно в одном и том же отношении в одно и то же время». Но как только в механике начинают понимать относительность одновременности, понятие противоречия разрушается. Ещё более ситуация осложняется, если понять, что нет не только абсолютной одновременности и абсолютного существования, но и нет никакой абсолютной идентификации, не бывает одного и того же отношения. Все эти утверждения лишь ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЕ, ГИПОТЕТИЧЕСКИЕ, УСЛОВНЫЕ. Любая дефиниция – это конвенция, соглашение: мы так условимся. Всё, о чём уверенно твердила формальная логика в лице своих выдающихся авторитетов (Аристотеля, Лейбница и др.), - это лишь «нулевое приближение», говоря языком физиков-теоретиков. Природа, несомненно, намного богаче и устроена, «живёт» более сложной логикой. Конечно, мы тут приходим к диалектической логике, к учениям Парменида, Сократа, Платона, вплоть до Гегеля. Но должны заметить, что как раз эта логика имеет серьёзные дефекты, когда дело касается точности, деталей, как она не замечает, что в определениях опирается на формальную логику, которую критикует. Само определение противоречия становится парадоксальным, невозможным теоретически, возможным только как предмет практического соглашения. Сразу возникает множество парадоксов, не разрешимых в формальных системах и не определённых достаточно точно в неформальных. Итак, существование имеет много модусов, объект имеет много форм в зависимости от своего модуса существования, сама идентификация объекта – явление сомнительное и даже невозможное. В природе, в практике на принципиальном уровне ни одна вещь, ни одно явление не только не тождественны, не равны и даже не конгруэтны другому объекту или явлению – они не тождественны самим себе вследствие того, что природа на практике всегда изменчива во времени. Имя, самость, идентификатор как приблизительное, условное обозначение объекта, группы объектов или явлений, потому лишь сохраняется, что передаётся, перезаписывается на носителях памяти, но всё это лишь условные огрубления. На самом деле это слишком человеческие огрубления и приближения.
Ситуация ещё более усложнилась после открытия П.А.М. Дираком антиматерии и квантового вакуума в процессе конструирования линейного релятивистского уравнения квантовой механики.
Существование и объект приобрели ещё один модус.
Заметим, что явная в обычной логике граница между объектом и существованием (объект как предмет рассмотрения с подтверждённым определённым модусом существования и существование как действо, как предикат, как математический оператор, как таблица порождающих чисел в матричном представлении) может быть также разрушена при построении металогики в смысле рассмотрения оператора существования в качестве предмета исследования.
Да и сам объект, например, математический оператор может включать в себя своё существование.
Подобные рассуждения можно отнести и к понятиям субъекта. Что касается Единого и многого, логические трудности общеизвестны и прекрасно описаны в классике – в диалоге Платона «Парменид». О противоречивости и некорректности определения самого противоречия мы уже привели аргумент ранее. А вот о полноте каждый раз необходимо уточнять, в каком смысле имеется в виду эта полнота. Проще всего говорить о формально определённой полноте в формальной системе, но стоит отойти в сторону содержательности, как возникают новые модусы полноты.
Если всё так неопределённо и плохо с неформальной логикой, к чему вести подобный разговор вообще? Можно ведь, как и раньше, просто иметь в виду, но на практике не обращать на это никакого внимания. Можно. Но уже нельзя. Почему? Потому как линейные подходы требуют огромных ресурсов: всё человечество существующие компьютерные и информационные технологии превратили в операторов, порой даже в программистов, системных и проблемных. Но одного человечества будет маловато. Подавай всю вселенную. От наночастиц до коллайдеров и космических станций и телескопов, от роботов, гаджетов до животных, малышей дошкольного возраста и всех живущих и умерших людей, растений, клеток, ДНК и РНК, длинных молекул – все должны быть учтены, закодированы, идентифицированы, запрограммированы в том или ином смысле. Но теперь надо, чтобы программы создавали программы, чтобы роботы создавали роботов, чтобы мы могли со временем корректировать и редактировать свои гены, свои программы. И дальнейшее продление эпохи информационного концлагеря и технологической зависимости доведёт человечество до пределов здравого смысла. Необходимы эффективные разумные решения, переход к новой ступени абстрактного мышления и управления ресурсами.
Прежний такой революционный взрыв, по древнеегипетской версии, был связан с богом Тотом (Джехути) – Гермесом Трисмегистом, подарившим человечеству письменность и счёт. Теперь Программа нам дарит чип (микропроцессор), который можно включить в наше тело как универсальный идентификатор и коммуникатор. Все нудные, рабские дорогостоящие операции ввода, вывода и контроля информации уйдут в прошлое. Второй «подарок», в котором остро нуждается человечество, это новый универсальный алгоритмический язык естественного интеллекта. Мы его называем NIL (the Natural Intellect Language – НИЛ - язык естественного интеллекта).
Всё предыдущее изложение было прелюдией к аксиоматике этого языка, формализующего оставшееся ядро неформализованного).
1. Из того, к чему мы подготовили читателя ранее, мы делаем очень простую аксиому множественной декларации. Выделяем 8 классов объектов. Как читатель уже догадался: вещественный объект; вещественный антиобъект; ментальный объект; его отражение, копия, приближение; сложный, включающий в себя иерархию подобъектов объект; объект, включающий в себя субъекта первого порядка; вероятностный объект; объект неизвестного модуса существования.
2. Выделяем 8 модусов существования: бесконечное, абсолютное, аксиоматическое существование; несуществование; существование несуществующего; миражное, мнимое, образное, воображаемое существование; условное, вероятностное существование; существование как объект; существование как субъект, математическое существование (и несуществование); логическое существование (и несуществование).
3. Выделяем 8 типов идентификации объектов, от исчезнувших, мнимых, до трансформеров с передачей идентификаторов по памяти.
4. Выделяем 8 классов всевозможных операций над объектами и субъектами. Самих операций может быть открытое конечное счётное множество. Включаются также операции над операциями.
5. Вводим и кодируем специфические групповые операции и декларации языка.
В качестве необычных новых операций языка вводим операцию намеренного зацикливания с добавлением или вычёркиванием деталей, операцию сравнений с уровнями приблизительной идентификации, операцию контроля совместимости, непротиворечивости операций и операций над операциями.
Следующий проект касается уже саморазвития языка НИЛ до языка DIL (the Divine Intellect Language – ДИЛ – язык божественного, запредельного, нестандартного, нечеловеческого интеллекта). И дело не только и не столько в том, что дифференциации, 8-уровневой градации в определённых задачах будет недостаточно - дело в естественных ограничениях самих аксиоматических понятий и принципов логики. Например, в квантовой логике приходится отказаться от некоторых понятий, принципов, операций (например, таких, как «состоит из», «находится в», «да и нет», «третьего не дано»), в некоторых геометриях надо отказаться от обычных понятий точки, непрерывности, расстояний и т. п. При этом придётся ввести абсурдные для человеческого разума новые понятия. Одним из таких понятий является Единое. Новые запредельные понятия, операции и принципы требуются и при анализе бесконечностей, бесконечных счётных и несчётных множеств и т.п. К тому встаёт на горизонте и задача перепрограммирования самой Программы Единого, а также производных программ производных вселенных, создания и уничтожения вселенных. Конечно, для этого потребуется ДИЛ…
Пример программы на НИЛ. Создание робота, перепрограммирующего биоэволюцию на планете Земля.
1. Определение класса принадлежности и желательных параметров робота.
2. Определение цели и области перепрограммирования.
3. Определение и создание программ действия робота.
4. Определение программ существования робота.
5. Задание параметров исследования и изменения программ биоэволюции.
6. Отладка алгоритмов и программ изменения параметров биоэволюции.
7. Сборка робота из искусственных и природных материалов, биоклеток, нейронных сетей и т.п.
8. Тестирование и пробные запуски робота.
2. Неформальная аксиоматика Арифметики.
1. Определение Единицы.
Это самая сложная аксиома. Признание безусловного существования специально выделенного объекта. Что такое Единица хотя бы на интуитивном уровне? В каком смысле Единица существует? Что это означает по своим последствиям?
Единица как отражение, обозначение и смысл Единого – это Всё. Мы как субъект берём на себя смелость декларировать, что можем и имеем волю, свободу изменить этот смысл, оторвать понятие Единицы от первоначальной сути и приписать какому-то выделяемому нами объекту, т.е. не только самим выступить в роли Бога, но сделать Богом кого угодно и что угодно, кого хотим. Субъект становится в логическом контексте СверхБогом! Это ли не святотатство?! Какой либо субъект Природы, Вселенной когда-нибудь доходил до этого?! Если и была какая-то программа, то она в этой части засбоила, испортилась. Читатель, наверно, почувствовал, что эта аксиома потребовала языка ДИЛ и имеет смысл только на языке ДИЛ. Как показали Парменид и Платон, человеческим разумом, языком понять логику диалектики единого и многого невозможно. Нужен ДИЛ! Последствия? Мы даже злоупотребляем на каждом шагу этой операцией присвоения и отождествления на языке ДИЛ. Камень, дерево, молния, икона, скульптура, гора, океан, звёзды, пространство, время, книга, миф, легенда, сказка, психика, мысль, примета, воображаемый образ, - всё мы обожествляем не задумываясь, автоматически применяя язык ДИЛ. Герой Достоевского говорил, что люди сделали Бога игрушкой. Если бы только! Они сделали и делают его кем угодно, даже своей противоположностью. Поэтому самое безгрешное, безобидное, что мы сотворим сейчас для арифметики и для счёта, - присвоим единицу некоторому члену счётного множества, предположив и вообразив, что мы заранее, ещё до этого знали, что такое счётное множество (в формальной логике мы, конечно, не могли знать, но у нас есть язык ДИЛ). Полагая не очень основательно, что члены множества подобны друг другу (на языке ДИЛ), мы создадим их последовательность (это какой-то ужас! – аксиомы следования, упорядочения, требующие операций больше меньше, исключая по какому-то признаку приблизительное «равно», но на самом деле ещё требующие физических, геометрических предположений и представлений, где, как, на какой линии, не зная при этом заранее, что такое место, линия, следование, сравнение и т.п.) опять на языке ДИЛ. Хорошо, что у нас неформальная система. Попробуйте это всё создать в формальной системе! И тут теоремы Гёделя становятся совсем тавтологичными.
Всё же с горем пополам мы присвоили своему воображаемому предмету счёта статус Единицы.
2. Определение нуля.
С этим определением сразу в формальной логике возникает парадокс существования. С одной стороны, нуль означает несуществующий объект, т.е. несуществование объекта, с другой стороны, это декларированный, поименованный, включённый, необходимый и, значит, существующий объект. Выход: языки Нил или ДИЛ.
3. Аксиома следования. Трудности этой аксиомы мы обсудили ранее.
4. Операция отождествления. Вдруг в голову приходит, что мы не можем различить членов множества. Они все, кроме нуля, одинаковы, тождественны (пусть приблизительно, но на нашем уровне идентификации). Помогла аксиома следования – мы их построили в ряд, разумеется, не зная заранее, что такое ряд (язык ДИЛ).
5. Операции сложения с нулём и себе подобными Единицами.
А что получим в результате сложения? Если с нулём, то Единицу. Нуль - это «что есть, что нет».
А вот если с себе подобным, то нечто новое. Что это такое? Нужна ещё одна определяющая новый предмет аксиома.
6. 1+1=2. Сложение плюс отождествление нового даёт новый объект, называемый «Два», 2.
И что, каждый раз, складывая объекты с единицей, мы должны вводить новую аксиому?
Тут нас спасает возможность определения новой, групповой операции с декларацией, определениями и добавлением 2 типов объектов. Возникают абстрактный объект с номером следования № и следующий за ним с номером №+1. Последний объект возникает из предыдущего путём сложения с единицей. Так переформулируется аксиома 6.
Если опустить все логические рассуждения, то практически мы представили аксиоматику арифметики в духе Пеано:
1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предположение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа N, вытекает, что оно верно для следующего за N натурального числа (индукционное предположение), то это предположение верно для всех натуральных чисел.
С дальнейшим развитием оснований арифметики становится легче, поскольку теперь можно без особых оговорок добавить обычную формализацию, добавляющую к аксиоматике Пеано операции сложения и умножения (обычно 4 аксиомы).
Вывод напрашивается сам собой: без описания средств -деклараций и команд (операторов) -языков НИЛ и ДИЛ, создания соответствующих компиляторов никак не обойтись.