Олигарх собрал детей для обсуждения результатов решения первой задачи.
- Решение задачи даётся формулами (3). Всего периодов получилось четыре, но мы начали отсчёт с конца первого периода. Поэтому правильно вы решили, что ожидаемое событие надо отнести к концу четвёртого периода, т.е. через три периода по пять лет – через пятнадцать лет. И я понимаю недовольство и недоумение старшего и младшего сыновей и дочери, что у среднего сына начальный капитал оказался наибольшим – 1,60944 млрд. евро, тогда как у младшего – 1 млрд. евро, у старшего – 502 млн. евро, а у дочери – пока только половина суммы бонуса. Когда старший из вас стал «кобызиться», я предложил ему поменяться с младшим. Но, посоветовавшись с консультантами и ознакомившись с расчётами, понял, что через пятнадцать лет окажется в наиболее выгодных условиях. И младший после расчётов понял, что через пятнадцать лет постоянно может иметь капитал, превосходящий капитал среднего сына более чем на полмиллиарда евро. А дочке безо всяких её усилий «прикатит» более двух миллиардов евро. Что вы теперь возразите по поводу справедливости? Кто хочет переиграть условия?
То-то же! У всех условия наиболее выгодны по отношению к их природным свойствам.
- Папа, я знала, что ты мудрый. А ты уверен, что через пятнадцать лет условия сильно не поменяются? – спросила дочка, напустив на себя наивный вид.
- В этом не может быть уверенности. Но ведь это грубая прикидка и вполне реалистичная, если проанализировать события последних двадцати лет. Многое, но не всё зависит от вас. Математика тем и удивительна, что может рассчитывать и предсказывать даже случайные события.
Вот вам вторая задача:
«Количество счастливых случаев, выпадающих для Богини Маат в течение года, богиня фиксировала в течение 100 лет. Если количество счастливых событий каждый год является равномерно случайным, сколько рекордных (по числу счастливых событий) годов можно ожидать за этот период?»
Младший сын стал рассуждать:
- Предполагая, что количество счастливых случаев, выпадающих каждый год, является равномерно случайным,
1-й год гарантированно установит рекорд, потому что это единственный записанный год,
2-й год имеет вероятность ; иметь больше счастливых случаев, чем 1-й год,
3-й год имеет вероятность 1/3 иметь больше, счастливых случаев, чем первые 2 года,
4-й год имеет вероятность 1/4 иметь больше счастливых случаев, чем первые 3 года,
и так далее.
Расчет ожидаемого значения количества рекордных счастливых годов включает суммирование этих вероятностей, что по формуле (5) даёт 100-е гармоническое число, равное приблизительно 5,187, т.е. 5 рекордных счастливых годов.
- Молодец! Правильно! Но почему мы часто встречаем именно 5 доминант в нелинейных моделях? Покрытие плоскости правильными пятиугольниками выводит в третье измерение. У нас пять пальцев. В коллективах образуются доминирующие пятёрки. Энрико Ферми даже в распределении энергии электронов на дебаевской решётке обнаружил спонтанное возникновение пятеричной доминанты. Это мы наблюдаем всюду: в музыке, архитектуре, строении тел и клеток. Даже ячейки тайных обществ состоят из 5 членов. И в частной жизни каждый может довольно уверенно назвать пятерых наиболее близких людей, а вот уже кандидатуры шестого становятся альтернативными. Квадратный корень из пяти является основой «золотого сечения», гармонии. Да и тут мы встретили это именно в гармонических числах. Конечно, каждое число имеет свою неповторимую значимость и индивидуальность. Но число 5 мы, видимо, должны отнести к гармонии жизни.
- Папа, но это ведь просто следует из приведённых формул. В нашей жизни число повторений значимых событий лежит, в основном, в диапазоне от одного до сотни. Тогда по формуле (5) мы и получаем 5. Ведь, если взять большее число повторений, мы получим большое число доминант. Например, при 500 повторениях мы по формуле (5) получим 6,79. В природе как раз встречаются при большом числе повторений большие доминанты, равные 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т. п.
- А при каком числе повторений получается 19 доминант?
- Кажется, порядка 168 миллионов.
А вы, читатель, можете точно вычислить минимальное число повторений для получения 19 доминант?