Пятнадцать лет назад я послушал замечательный доклад Алексея Ильича Комеча на семинаре Глобус в Независимом университете. А сейчас перечитал слегка расширенный текст этого доклада.
Доклад назывался "Нелинейные гамильтоновы уравнения и квантовая механика". Можно сказать, Алексей Ильич снял с квантовой механики мистический покров!
Комеч начал с того, что обратил наше внимание на недоумение, которое сохранилось в глубине души, вероятно, каждого математика, знакомившегося с квантовой механикой:
мы имеем с одной стороны вполне понятные дифференциальные уравнения (Шредингера, Дирака, Максвелла и т.п.),
а с другой стороны некие постулаты квантовой механики
о корпускулярно-волновом дуализме,
о переходах между стационарными состояниями...
И нигде не поясняется - это что ли теоремы о свойствах решений этих уравнений (или хоть гипотезы), или не все решения нам годятся, или вообще квантовая механика - внутренне противоречивая наука, т.е. постулаты противоречат уравнениям?
Кстати, Манин когда-то говорил, что отличие теоретической физики от математической физики в том, что теоретическая физика всегда внутренне противоречива.
Конечно, физики стараются эти противоречия изгнать, но когда это удается, теория уже становится разделом математической физики.
Но как-то физики не любят об этих противоречиях попусту вспоминать, так что слова Комеча были для меня прямо бальзамом - я увидел, что мое бессознательное недоумение от квантовой механики вполне законно.
И Комеч сделал первые шаги к изгнанию этого противоречия. Он предположил, что "постулаты квантовой механики" можно вывести из нелинейности ее уравнений.
На первый взгляд все они линейны, и никакого корпускулярно-волнового дуализма или перехода между стационарными состояниями у их решений быть не может.
Но Комеч рассматривает систему уравнений, состоящую из уравнения Шредингера и уравнения Максвелла, и эта система нелинейна (хоть по отдельности они линейны)
- в уравнение Шредингера входит произведение пси-функции и электрического потенциала, а также произведение градиента пси-функции и магнитного потенциала,
а в уравнение Максвела - квадрат модуля пси-функции).
Конечно, система слишком сложная, чтобы довести дело до конца.
Но Комеч и его соавторы рассмотрели разные упрощенные системы, и численные эксперименты
(а в простейших случаях - и аналитические вычисления),
показали, что действительно
1) в отсутствии внешнего поля решения с конечной энергией распадаются в сумму солитонов при t стремящемся к плюс или минус бесконечности;
2) при наличии внешнего поля (скажем, кулоновского поля ядра атома) решения на бесконечности стремятся к стационарным;
точнее, к стационарному решению стремится пси-функция, а электромагнитное поле уносит на бесконечность часть энергии (излучение фотона!).
Комеч отметил, что стремление решений к атракторам наблюдается у многих уравнений, но обычно это системы с трением, а фундаментальные уравнения квантовой механики гамильтоновы; но роль трения как раз и играет излучаемый фотон (или наоборот фотон, налетевший на атом).
Видимо Комеч остановился на системе состоящей из уравнения Шредингера и уравнения Максвелла, потому что это самый простой вариант (и то он слишком сложен).
Но эта система не совсем правильная, ведь уравнение Максвелла релятивистски инвариантно, а Шредингера - нет.
Так что в дальнейшем нужно будет рассматривать систему из уравнения Максвелла и уравнения Дирака...
(ЖЖ, 15.01.2022)