Родился 10 (13) сентября 1913 года в поселении Отрадный Таганрогского округа области Войска Донского, Российская империя (ныне деревня Петровка (село Радостное) Краснодонского района Луганской области, Украина) в семье крестьянина (рабочего). Украинец. Окончил 4 класса сельской школы, работал в колхозе заведующим фермой. С 1933 года проживал в городе Луганск, работал на Луганском паровозостроительном заводе. Параллельно учился в вечерней средней школе (окончил 9 классов), занимался в аэроклубе.
В РККА с июня 1935 года.
Окончил школу младших авиационных специалистов в 1935 году.
Служил в Киевском военном округе, в звании младшего командира сверхсрочной службы был воздушным стрелком-радистом 26-й скоростной бомбардировочной авиационной эскадрильи 54-й скоростной бомбардировочной авиационной бригады.
Участвовал в национально-революционной войне в Испании с 26 марта по 3 сентября 1938 года в качестве стрелка-радиста бомбардировщика СБ 24-й бомбардировочной группы республиканской авиации.
После возвращения из Испании продолжал служить в авиации.
Присвоено звание лейтенанта.
Окончил Харьковское военно-авиационное училище в 1941 году.
Участвовал в Великой Отечественной войне с 22 июня 1941 года.
Воевал в должности начальника связи эскадрильи 52-го полка дальнебомбардировочной авиации.
К концу сентября 1941 года произвел 19 боевых вылетов.
Был назначен штурманом звена 749-го дальнебомбардировочного полка (с 1943 года — 9 гвардейский бомбардировочный авиационный полк).
Принимая участие в боях под Сталинградом, совершил 12 боевых вылетов.
Всего к концу сентября 1942 года произвел 113 боевых вылетов, в том числе 7 вылетов для бомбардировки военно-промышленных объектов Кёнигсберга, Варшавы, Данцига, Люблин и других городов. Уничтожил 20 танков, 40 автомашин, 10 цистерн с горючим, 4 самолета на аэродроме Орел и много другой техники противника.
Участвовал в сражении на Курской дуге.
В 1943 году присвоено звание капитана.
К августу 1943 года на бомбардировщике Ил-4 совершил 207 боевых вылетов, из них 144 ночных и 10 вылетов в глубокий тыл врага, имел общий налёт 1365 лётных часов.
Воевал на Ленинградском фронте, принимал участие в боях за освобождение Украины, в битве за Днепр, в освобождении Крыма и Беларуси.
В 1944 году присвоено звание майора.
Всего совершил 275 боевых вылетов, в том числе для нанесения ударов по Кенигсбергу, Данцигу, Люблину, Варшаве и другим городам.
23 августа 1944 года на самолете Ил-4 командира эскадрильи майора Г. К. Давыдова возвращался с боевого задания, при посадке на аэродром Веприк в результате катастрофы был смертельно ранен и умер. Похоронен на Аллее Славы в городе Белая Церковь (Украина).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 18 сентября 1943 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии капитану Кошель Фёдору Фёдоровичу присвоено звание Героя Советского Союза (медаль «Золотая Звезда» № 1734).
Награжден орденом Ленина (18.09.1943), двумя орденами Красного Знамени (22.02.1939, 24.02.1942), орденом Отечественной войны 1-й степени (31.12.1942), медалями «За оборону Москвы», «За оборону Ленинграда», «За оборону Сталинграда».
Приказом министра обороны СССР от 4 января 1966 года Герой Советского Союза гвардии майор Ф. Ф. Кошель зачислен навечно в списки личного состава Н-ской авиационной части.