Альбин Флакк Алкуин [732?)735?-804) заслужил титул «первого просветителя средневековой Европы». Используя власть Карла Великого – короля Франции и первого императора Римской империи Германской нации (Шарлеманя), он начал широкое распространение основ античного наследия в Европе. После Каролингского культурного возрождения, одним из инициаторов и лидеров которого был Алкуин, Европа никогда уже больше не возвращалась к невежеству 5-6-7 веков, - даже в «темном» 10 веке (Азимов 1).
Сама мысль о желательности и возможности «возрождения» классического наследия была, вероятно, высказана Алкуином одним из первых: «Не новые ли Афины сотворились во франкской земле, только многажды блистательнейшие, ибо они, прославленные учительством господа Христа, превосходят всю премудрость академических упражнений».[Пиков[2]]
Алкуин разрабатывал и проводил в жизнь реформу, по которой не только духовенство и придворные, но даже и бедные крестьяне - подданные в империи Карла Великого могли освоить базис античного образования. Ученики и последователи Алкуина распространяли эту реформу и за пределы империи Каролингов.
В те времена хранителем античного образования в Европе оказалась христианская церковь. Языком богослужения была латынь. Центрами образования были монастыри. Но обучение не было единообразным и зависело от руководителя монастыря. Одним из главных центров учености был в то время монастырь Джарроу (Jarrow) в Англии, где жил, работал и был похоронен бенедиктинский монах Беда Достопочтенный (Досточтимый, Beda Venerabilis) (672/673? — 26 мая 735). «Беда - один из крупнейших писателей, историков и теологов раннего средневековья, «первый замечательный энциклопедист заальпийского Запада. …. Его перу принадлежат трактаты по истории, философии, теологии, хронологии, математике, орфографии, астрономии, музыке, грамматике и другим наукам того времени, в которых он,…, собирал «ученость, сложившуюся до него в Европе, и предлагал ее в доступной форме своим соотечественникам» [Пиков[2]] .
Дата рождения Алкуина неизвестна (называют 730 или 732, но чаще всего 735 год). Происходил он из знатного англосаксонского рода, и настоящим его именем было Alhivine (Алхивин, Алхвине ), однако сам он предпочитал употреблять латинизированную форму своего имени – Alcuinus (Алкуин) или Albinus (Альбин) [Пиков[9]]. Алкуин учился в школе при соборе в Йорке, что в 88 километрах от Джарроу. Он овладел греческим, латинским и еврейским языками, - образованный служитель церкви должен был владеть этими тремя языками. Окончив школу, Алкуин остался там преподавать. Экгберт умер в 767 году, успев сделать библиотеку крупнейшей в Европе за пределами Рима, а школу одной из лучших в Европе. После Экгберта архиепископом стал друг Алкуина Этельберт (Альберт). Он назначил Алкуина главой монастырской школы. На новой должности Алкуин продолжил расширять и без того знаменитую библиотеку, и сделал школу одним из самых важных центров обучения в Европе.
В 774 году Этельберт ездил в Рим получать паллий архиепископа и взял Алкуина с собой с обязанностью покупать книги для библиотеки.
Алкуин служил дьяконом в церкви, хотя никогда в священники не был рукоположен. Нет свидетельств, что Алкуин принял монашеский постриг, хоть и известно, что образ жизни вел он монашеский. Слава Алкуина как ученого и главы школы вышла далеко за пределы Шотландии и достигла Карла Великого.
Этельберт умер в 780. Новым архиепископом стал Энбальд, сокурсник и близкий друг Алкуина. Еще раньше по поручению Этельберта они руководили восстановлением Йоркского собора. Король Эльфальд в 780 году послал Алкуина в Рим, чтобы подтвердить епископат Йорка и получить паллий для Энбальда от папы Адриана I. На обратном пути Алкуин встретился с Шарлеманем в Италии и принял его приглашение переехать в Аахен, который Карл Великий сделал своей новой столицей. Алкуин приехал к Карлу в 782 году с четырьмя своими учениками.
Карл Великий (741 – 814), сын короля Пипина Короткого [ Википедия 11,Википедия 12, Эйнхард 15], был первым наследственным королем. К концу его правление Франкское государство простиралось от Пиренеев до Ла-Манша и от Средиземного моря до Балтийского. На этих землях ныне расположены Франция, Бельгия, Голландия, Швейцария, Западная и Южная Германия, Австрия, северо-восточная Испания и большая часть Италии. Она объединяла до 30% населения на территории современной Европы. 25 декабря 800 года во время рождественской мессы в церкви Св. Петра в Риме папа Лев III, отчаянно нуждавшийся в военно-политической поддержке Карла против лангобардов, «неожиданно» короновал его императором Священной Римской империи германской нации. Этот эпизод не только немедленно повысил статус Карла, но впоследствии использовался папами для утверждения о превосходстве духовной власти над светской.
Карл прославился не только завоеваниями, но и развитием образования и культуры покоренных стран. Будучи сам формально необразованным человеком, так и не научившимся писать до конца своих дней, Карл Великий обладал острым умом, говорил на нескольких языках и всю жизнь учился. Эйнхард, современник и автор хроники Карла Великого [Эйнхард [3]), писал, что Карл «был многословен и красноречив и мог яснейшим образом выразить все, что хотел. Не довольствуясь лишь родной речью, он старался изучить иностранные языки. Латинский он изучил так, что обыкновенно говорил на нем, словно на родном, но по-гречески он больше понимал, нежели говорил. При этом он был столь многословен, что даже казался болтливым. Он усердно занимался свободными искусствами и весьма почитал тех, кто их преподавал, оказывая им большие почести. Грамматике он обучался у дьякона Петра Пизанского, который был тогда уже стар, в других науках его наставником был Альбин, прозванный Алкуином, тоже дьякон, сакс из Британии, муж во всем мире ученейший. Под его началом Карл много времени уделил изучению риторики, диалектики, а особенно астрономии. Он изучал искусство вычислений [computandi] и с усердием мудреца пытливо выведывал пути звезд. Пытался он писать и для этого имел обыкновение держать на ложе, у изголовья [in lecto sub cervicalibus] дощечки или таблички для письма, чтобы, как только выпадало свободное время, приучить руку выводить буквы, но труд его, начатый слишком поздно и несвоевременно, имел малый успех».
В 780 году, уже после серии военных побед, Карл приступил к реформам образования. Алкуин, приехав в 782 году, становится во главе этих реформ. В Аахене Карл учредил Палатинскую Академию (Schola Palatina —«Дворцовая школа»), по примеру Академии Платона, и назначил Алкуина главой этой академии. Кроме Алкуина и его спутников в работе академии принимали участие и другие интеллектуалы того времени, приглашенные Карлом. Сам Карл тоже участвовал в диспутах на общие темы религии и государственного устройства и законодательства, Придворная академия напоминала дружеский кружок, в котором обсуждались серьёзные богословские вопросы, слушались лекции, читались и толковались античные авторы, сочинялись изысканные комплементарные стихи, решались замысловатые вопросы и загадки. Дочери Карла пели под аккомпанемент арфы. Каждый «академик» принял античный или библейский псевдоним. Карл был «Давид», Алкуин был «Флакк». Об отношениях внутри Академии Карла можно судить, например, по такому эпизоду. В те времена были распространены сборники загадок и решение их было распространенным занятием при дворе Карла. В одном стихотворении, написанном между 782 и 786 годами, рассказывается, как Карл послал загадку другому академику, писателю и историку Павлу Диакону, предлагая решить ее за ночь, а Павел в ответ послал Карлу свой набор загадок [ Martha Bayless стр.164 [4]. Важнейшим для считалось знание римских классиков. Для этого разыскивались и копировались в монастырских скрипториях рукописи античных авторов. Таким образом, сохранилась для потомства большая часть сочинений авторов классической древности. Писались и новые тексты - о более поздних периодах истории. Например, Павел Диакон написал «Историю лангобардов».(Диакон 5)
Карл назначил Алкуина директором Дворцовой школы в Аахене. При свергнутой Пипином династии Меровингов единственной светской школой в королевстве франков была дворцовая, где обучали только военному делу и хорошим манерам. Алкуин полностью перестраивает обучение в дворцовой школе, используя свой опыт преподавания в Йорке основ античного образования. Теперь при дворе учились не только все дети Карла Великого - трое его сыновей и трое дочерей, но и также дети ближайших придворных. Сам Карл тоже посещал занятия в школе.
Алкуин жил в Аахене дважды: с 782 по 790 годы, и с 793 по 796 год. Став личным другом императора, он ни за что не соглашался, несмотря на упрямые уговоры короля, впредь сопровождать вооруженную армию в походах. Алкуин заявлял, что его слабенькое тело не приспособлено для лошадиной спины. – Но ты же мне сам читал о том, – возражал повелитель, – как королева Савская сделала странствие к королю Соломону? – Да, она прибыла в град Иерусалим и многому там дивилась. Но она не последовала за ним в поход против филистимлян" (http://www-co.narod.ru/0/Alkuin.html 6)
Круг обязанностей Алкуина был необычайно широк: он заведовал аббатствами Вифлеемским в Феррьере, и св. Лупа в Тройе, а с 796 года и аббатством св. Мартина в Туре. Карл Великий неоднократно использовал его, как дипломата, особенно в переговорах с королевствами Англии. По действительному своему положению Алкуин был духовным советником короля, и в этой области влияние его было огромным.
Алкуин способствовал установлению власти папы над всей западной церковью. Он сыграл важную роль в идейном опровержении «Адопциенской ереси», отстаивавшей неканоническое толкование Святой троицы. Они считали, что Иисус сначала был простым человеком, но так как Он жил праведно, Бог оказал Ему честь и усыновил, наделив Иисуса определенной силой и «божеством». Поскольку крещение Иисуса сопровождалось знамениями, многие адоп¬цианисты считали, что именно в этот момент Бог сделал Его Сыном. Другие полагали, что провозглашение усыновления произошло в момент воскресения Христа. В любом случае, сторонники этого учения считали, что божество Христа не принадлежало Ему от начала, но было дано как награда. Таким образом, адопцианское учение предполагает, что Сын не равен Отцу по сущности, и что во всех отношениях Сын ниже Отца. [Дорохова 7)
Несмотря на влияние Рима, эта ересь никак не угасала. Наконец, в 800 г. на Аахенском соборе между ее главным идеологом Феликсом и Алкуином состоялся диспут. Алкуин победил. Феликс отказался от своего учения и призвал своих сторонников возвратиться к католичеству. Алкуин также написал обширное произведение в семи книгах с изложением критики адопционизма. Секта скоро исчезла. Этот эпизод - очень важная характеристика Алкуина, считавшего, что истинная вера распространяется путем убеждения, а не репрессий. В роли советника Карла он оспаривал политику императора по принуждению язычников креститься под страхом смерти, утверждая: «Вера - это свободный акт воли, а не принудительный акт. Мы должны апеллировать к совести, а не принуждать к вере насилием. Вы можете заставить людей креститься, но вы не можете заставить их поверить ". В итоге Карл Великий отменил в империи смертную казнь за язычество в 797 году.
Но положение друга императора, слава ученого, власть, богатство, нестабильная жизнь - все это шло вразрез с идеалом монашеской жизни. В 794 г. Алкуин решил вернуться в Йорк и стать там монахом. Но этот отъезд так и не состоялся, и в 796 году Алкуин удалился от двора, получив от Карла должность настоятеля монастыря святого Мартина Турского, построенного на месте захоронения Святого Мартина. Базилика Святого Мартина до середины IX века была одной из крупнейших церковных построек в Европе. По словам Алкуина, собор Святого Мартина был «монастырем», где монахи «… должны культивировать добродетели, «благодаря которым монах возносится на небо» и которые «открывают врата рая для монахов ». Алкуин описал свое преподавание в письме Карлу Великому: «Я, Ваш Флакк, – говорит Алкуин, называя себя своим академическим именем, – по Вашему внушению и Вашей воле передаю некоторым в доме св. Мартина (Турского) мед Священного Писания; других напояю чистым вином древних знаний; третьих начинаю питать плодами грамматического изящества, некоторых просвещаю относительно движения звезд. В особенности забочусь я воспитать их полезными для святой церкви и способными украшать Ваше правление, чтобы не оставались незаслуженными мной милости Всемогущего Бога, и не напрасна была щедрость Вашей благосклонности ко мне».(Ильина 8)
Спустя несколько лет, в 801 году Алкуин попросил разрешения у Карла Великого совсем уйти в монастырскую жизнь. Последние несколько лет в Туре жил как простой монах. Для него это был естественный шаг. Он искренне призывал: Quapropter potius animam curare memento, quam carnem, quoniam haec manet, illa perit» : «Не забывайте заботиться о душе больше, чем о теле, поскольку первое остается, второе погибает». (Цитаты 9)
За свою жизнь Алкуин написал или руководил написанием множества сочинений: перевод библии на латинский язык под его руководством (Библия Алкуина), «Вера в Святую и Неделимую Троицу» («De fide sanctae et individuae Trinitatis», «О добродетелях и пороках», «О сущности души» («De ratione animae») и другие. Особенно ценны его письма Карлу, благодаря исключительному положению Алкуина при Карле. Эти письма частично переведены и изданы на русском языке (см. например, ( Ильина 8)
Карл поставил Алкуина во главе реформы образования в своей империи. Для управления огромной империей нужны были многочисленные грамотные люди. Поэтому Карл не ограничивал распространение образования только членами своей семьи и своих приближённых. Он хотел, чтоб учились не только будущие священники или дети знатных, богатых семейств, предназначенные занимать высокое положение в государстве. По воле Карла, Алкуин создает много учебных заведений трех типов. В первом преподавали сложившийся курс позднеримского образования (тривиум и квадривиум) и богословские науки; второй тип был музыкальным - школы церковного пения и церковной музыки; и, наконец, первоначальные школы грамотности для мирян простолюдинов. В 789 году Карл издал закон, повторявший прежние его требования, чтобы при монастырях учреждались школы, в которых учили бы чтению, письму, арифметике и пению. В этих школах, основанных во множестве поселений империи, учителя не должны были брать с учеников за преподавание что-нибудь, кроме добровольных подарков, чтобы бедные люди тоже могли отдавать детей учиться. Для обучения фатально не хватало книг. Карл приказал в каждой школе содержать скрипторий. Карл издал «Admonitio generate», или «Capitularies» (789), — свод законов, посвященных учебным и церковным реформам, он применялся во Франкском королевстве при Каролингах. Таким образом, король приказал духовенству получить образование либо по убеждению, либо под принуждением. Он напомнил, что для толкования Священного Писания нужно обладать свободным знанием латыни; позже он повелел, чтобы в каждом епископстве и в каждом монастыре тщательно изучали псалмы, ноты, счет и грамматику.
Уровень образования в большинстве монастырей не устраивал Карла. В КАПИТУЛЯРИИ О ЗАНЯТИЯХ НАУКАМИ (787 год), по-видимому, написанным рукой Алкуина, но подписанным Карлом, он писал: «…признали мы полезным, чтобы в епископствах и монастырях, Христовым попечением нам вверенным для управления, помимо соблюдения уставов монашеской жизни..., прилежали и в обучении наукам каждого, кто по мере своих способностей, с Божьей помощью, сможет учиться. Ибо поскольку соблюдение монастырских уставов хранит чистоту нравов, постольку обучение и учение устраивает и украшает слова речи. Поэтому те, кои стремятся угодить Богу праведной жизнью, пусть не пренебрегают угождать Ему также и правильной речью...
И хотя лучше правильно поступать, чем [правильно] знать, но сначала нужно знать, а потом поступать». В целом, послание императора посвящено доказательству необходимости изучения светских наук, особенно грамматики, и содержит скрытую полемику с традиционной точкой зрения, ставившей аскетическую практику намного выше «словесного» знания. Интересно, что Алкуин не разделял популярного уже в то время мнения, что «народ правду видит». Он писал в своем письме «Nec audiendi qui solent dicere, Vox populi, vox Dei , quum tumultuositas vulgi semper insaniaexima sit» : «И не слушайте тех, кто постоянно повторяет :« Голос народа - это голос Бога », потому что шум толпы всегда близок к безумию ». [Цитаты 9)
Потребности франкской школы, хорошо знакомые Алкуину благодаря преподаванию в придворной и Турской школах, побудили его написать на латыни учебники по семи свободным искусствам, ставшие позднее известными под названием «Дидактичекие труды» (Opera Didascalica ). «Дидактика» состоит из пяти трактатов: «Грамматика», «Орфография», «Диалог о риторике и добродетелях», «О диалектике» и «Диалог Пипина с Альбином». Трактат «О диалектике» (De Dialectica ), в соответствии с идеей Платона, рассчитан на более высокий уровень подготовки учащихся. Он также написан в форме диалога между Алкуином и Карлом Великим. Алкуин впервые выделяет диалектику из остальных свободных искусств. В этом, безусловно, отражен опыт полемики с идеологами адопционистов.
Тексты Алкуина использовались его учениками, распространявшими систему даже за пределами империи Карла. Его книги переписывались и распространялись по всей Европе еще столетия спустя.
В то время стили письма отличались так сильно, что люди из одной области империи не понимали книгу на латыни, переписанную в другой. В 789 г. Карл Великий издал указ об унификации книжных шрифтов, использующихся для всех церковных книг в Европе. Алкуин возглавил разработку нового шрифта. Для этого он изучил все распространенные виды латинских шрифтов. Новый стиль получил название, «каролингский минускул». На латыни minusculе означает "крохотный", что отражает убористость нового шрифта. Этот стиль отличался простотой и скоростью написания, скоростью чтения (распознавания), убористостью (компактность), логичностью. [Наумова [10]] В нем первоначально были только строчные буквы. Благодаря убористости он экономил дорогой материал - пергамент, благодаря простоте и скорости написания - упрощал и ускорял работу переписчиков и уменьшал число ошибок переписывания. В сравнении с национальными видами письменности он позволял на 20–30% экономить пергамент. Во времена Алкуина переписчики использовали "калам" – специальным образом заточенную тростниковую палочку. Было много разных способов заточки. Для каролингского минускула было достаточно одного вида калама. Весь текст можно было написать одним каламом, держа его под одним и тем же углом. Это и давало преимущество в скорости. Калам всегда двигался справа налево и сверху вниз. Поэтому некоторые буквы состояли из нескольких частей. Например, буква "S" состояла из трех.
Рис.1. Калам и написание буквы S
Через 200 лет каролингский минускул был вытеснен готическим шрифтом, который был ещё на 20%–30% экономнее. Но когда появилась дешевая бумага, удобство написания и чтения вернут каролингский минускул в слегка доработанном виде.
Рис.1 . Каролингский минускул.
Скорость написания была особенно важна, потому что до изобретения книгопечатания Гутенбергом оставалось еще долгих 650 лет, и все это время книги размножались ручным переписыванием в скрипториях. При Алкуине скрипторий Турского монастыря св. Мартина стал образцом для всей Европы. [Наумова [7]] Развитие каролингского минускула оказало, хотя и несколько косвенно, большое влияние на историю математики. Удобство написания и чтения привели в частности к тому, что большинство математических работ древних математиков были заново скопированы во многих копиях этим шрифтом и во многих случаях – это самые древние сохранившиеся копии.
Переходя собственно к математике, надо начать с того, что Алкуин осознавал принцип позиционности [Gandz[11]]. Ганц пишет, что в истории Европы первое упоминание позиционной системы содержится в письме Алкуина, в котором АЛКУИН отвечает на вопрос, заданный его учеником ДАФНИСОМ, почему в «Песне Песней» Царя Соломона, шестьдесят цариц и восемьдесят наложниц." Ответ Алкуина состоит в том, что шесть - совершенное число. Но Алкуин обосновывает совершенство шести не так, как принято у верующих, тем, что мир был создан за 6 дней. Он использует современное нам определение совершенного числа, как числа, равного сумме своих делителей, включая единицу (6 =1 + 2 + 3). Но самое замечательное состоит в замечании, что «шестьдесят в десятках занимают место шести в единицах, следовательно, это подходит для подсчета цариц» И далее: «Мы также видим, что прогрессия чисел по разрядам, соответствующим определенным единицам, увеличивается до бесконечности с помощью ограниченного числа определенных форм. Ибо последовательность в первом разряде дает числа от одного до десяти, во втором от десяти до ста, в третьем от ста до тысячи».[Gandz 11]. Ганц обращает внимание на то, что это письмо написано не позднее 782 года, то есть не меньше чем за 30 лет до появления трактата Аль-Хорезми, в котором, по-видимому, впервые систематически используется позиционная десятичная система . Ганц предполагает, что Алкуин узнал об индийской системе непосредственно от торговцев, привозивших Карлу товары из Индии (Gandz 11, стр. 413-414).
Более того, в стихотворении, написанном между 780 и 796 годами или, вероятно, даже между 780 и 782 годами, АЛКУИН хвалит ЭГБЕРТА за то, что он учил diversas numeri species variasque figuras, (различным видам и различным способам записи чисел)».
Но, кажется, Ганц преувеличивает и одновременно преуменьшает заслугу Алкуина в понимании позиционного представления чисел. В издании всех сохранившихся посланий Алкуина ( Monumjento Alcuiniana 12) содержится полный текст этого послания (стр. 818-821). В нем нет НИКИКИХ ЧИСЕЛ, записанный хоть в какой-то системе – римской, греческой, арабской, или любой другой. Это просто текст, в котором числа записаны соответствующими латинскими словами. Поэтому, для написания обозначения чисел в таком тексте не надо было знать никакую систему обозначений – ни римскую, ни египетскую, ни арабскую – никакую. Сама идея считать пятерками и десятками лежит в основе римской системы. Замечательная догадка Алкуина состоит в том, что число «форм» в каждом разряде одинаково. Поэтому достаточно только 9 символов от 1 до 9, чтобы записать любое число, если только понимать, какой разряд (то есть степень десяти) этот символ в данной записи обозначает. От этого недалеко до позиционной записи, гениальная идея которой состоит в том, что разряд определяется местом символа в записи числа. Однако, позиционная система немыслима без позиционного нуля. У Алкуина нет упоминания нуля. Поэтому не стоит преувеличивать близость Алкуина к позиционной арифметике. Но те же соображения указывают, что вся тирада отражает собственные идеи Алкуина, поскольку от арабов он узнал бы и о нуле и о системе в целом намного больше.
Общей схемой обучения в то время были два цикла наук –сначала тривиум (или тривий) [Miriam Joseph [13]], потом квадривиум [Мартино [14]. На латыни trivium означает «место, где встречаются три дороги» (tri + via), соответственно, квадривиум означает слияние четырех дорог. Освоение всего курса занимало 10 лет. Первые четыре года ученики осваивали латынь, заучивая наизусть длинные фрагменты священных текстов. За следующие три надо было осилить последовательно грамматику, логику и риторику. Квадривиуму отдавались последние три года, в которых преподавание наук шло параллельно.
От названия базового курса произошло столь любимое математиками слово «тривиально» то есть «очевидно» или «очень просто» или «общеизвестно». Освоение квадривиума было необходимым условием для изучения медицины, права и теологии.
Тривиум традиционно иллюстрировался примерами из практики. Однако, «Арифметика», которую некоторые авторы точнее называют «Нумерологией», была ограничена только изучением свойств чисел, как таковых.
Небольшое сочинение Алкуина «Propositiones ad Acuendos Juvenes» - «Проблемы для заточки молодых».[ Burkholder [15,16], Folkers [17], Hadley [18] восполняло этот пробел. "Задачи…" не подменяли учебники, но стимулировали изучение математики. Составление и распространение такого сборника математических задач вполне соответствовало общей педагогической концепции Алкуина. Он понимал, что принудительное обучение наукам неэффективно. А особое внимание Алкуина к преподаванию математики вполне в духе Платона, считавшего обучение математике способом развитие интеллекта вообще. В седьмой книге «Государства» [Платон [19]] Платон устами Сократа говорит, обращаясь к собеседнику: «Приходилось ли тебе наблюдать, как люди с природными способностями к счету бывают восприимчивы, можно сказать, ко всем наукам? Даже все те, кто туго соображает, если они обучаются этому и упражняются, то хотя бы они нее извлекали для себя никакой иной пользы, все же становятся более восприимчивы, чем были раньше». И далее «…если тело насильно заставляют преодолевать трудности, то оно не делается хуже, но насильственно внедренное в душу знание непрочно».
«Задачи…» Алкуина - по-видимому, самый первый сборник развлекательных математических задач на латинском языке после почти 300-летного перерыва. Смит [Smith [20]] в своей «Истории математики» считает, что последний, достойный упоминания набор из 45 задач составлен византийцем Метродорусом. Он включен в 14ю книгу «Греческой антологии» (Книга 14:«Загадки, задачи, предсказания»). [Paton [21]].
Задачи Алкуина намного разнообразнее, чем у Метродоруса. У Алкуина они должны были не просто иллюстрировать курс арифметики, но показать применение математики для решения условно реальных проблем. Все задачи формулируются в самых обыденных терминах, хотя иногда описывают экзотические ситуации. Это понятно. Они были предназначены не для членов академии, не для ученых или богословов. Его целью было заинтересовать учеников массовых школ изучением математики. Для понимания и оценки текста Алкуина надо учесть, что "задачи.." переписывались и использовались учителями для групповых занятий .Алкуин не всегда оговаривает все условия, необходимые для однозначного понимание задачи, очевидно, считая их само-собой разумеющимися. Меняя интерпретацию не оговоренных явно условий, можно получить другие решения и другие ответы. Кажется, что Алкуин это делает сознательно, побуждая учителей и учеников к творчеству. С течением времени выяснилось, что большинство задач Алкуина допускают далеко идущие обобщения.
Не ясно, был ли Алкуин автором сборника, или воспроизвел сборник, приписываемый Беде Досточтимому, в котором есть еще 3 задачи, не содержащиеся у Алкуина [Folkers [22]]. Но сам Беда не упоминает сборник в полном списке своих работ. Поэтому сборник называется «псевдо Беда». Убедительным доводом в пользу приоритета Алкуина служит то, что он в своем сборнике использует римскую систему счета, потому что его читатели знают только римскую. А псевдо-Беда использует Индо-Арабскую, потому что к началу 11 века арабские числа уже были известны в Европе намного шире, чем во времена Алкуина.
В любом случае, распространение эти задачи получили благодаря Алкуину. Кроме того, он привел решения всех 53 задач, а псевдо-Беда – только первых 37, намеренно оставив остальные без ответов.
До нас дошли 13 версий задачника Алкуина. Они несколько отличаются и в формулировках и в решениях, что показывает, что некоторые переписчики выполняли свою работу не механически. Надо еще раз подчеркнуть, что в то время не могло быть и речи, чтоб многие ученики имели свой экземпляр книги. Хорошо, если на всю школу был один. Поэтому все задачи написаны в форме обращения к классу. Каждая задача начинается или заканчивается формой: « Пусть то, кто может, скажет….». Мы заменили это на прямой вопрос «Сколько…» или «Как…». Соответственно, слово «вы» является не уважительной формой «Вы», но обращением к группе «вы».
Еще одно важное замечание. В задачнике Алкуин использует Римскую систему счета. А в ней даже простое вычисление, вроде умножения многозначного числа на 8, было трудной задачей. Это видно из того, что сам Алкуин иногда ошибался в вычислениях.
Сборник Алкуина включает и известные и оригинальные задачи. Семь задач, по-видимому, встречаются впервые в мире, а две – впервые в Европейской литературе. Важно, что Алкуин в 800 году не мог знать трудов математиков древнего Китая и, Индии и Востока. До рождения Марко Поло было еще 450 лет! Поэтому, то, что задача встречалась уже в китайских текстах, не умаляет чести Алкуина, как ее автора. В «Истории развлекательной математики» Алкуину приписывается приоритет в следующих задачах. [Singmaster [23]]
«Переправа через реку (3 типа), проблема исследователя, распределение бочек, проблема продавца яблок, замощение плиткой, необычное решение проблемы наследства ожидаемых наследников, три нечетных дают в сумме четное, первые странные семьи».
Все задачи можно разбить на несколько групп.
Прямые вычисления (в том числе с единицами веса, длины, объема) (1,50,53)
Отыскание числа по сумме кратных ему (2,3,4,7,8,36,37, 40,44,45, 48)
Погоня (26)
Загадки (14, 43)
«Три поворота » (15)
Арифметическая прогрессия (42)
Геометрическая прогрессия (13,41)
«Кошелек» (46)
«Деление с остатком» (49)
«Осел и мул», (16)
Пропорциональное «двойное» распределение «Сто кур» (5,32,33,33а,34, 38, 39, 47)
Продавец яблок» или «Пропавший пенни» (6)
«Распределение бочек» и «последовательность Алкуина» (12)
Переправа (17, 18,19,20)
Проблема исследователя (52)
Сложное родство (11,11а, 11б)
Большой прямоугольник из маленьких (9,10,21,30)
Площади треугольников, четырехугольников и круга (22,23,24,25)
«Упаковка» (разбиение площадей) (27, 28,29,31)
Неразрешимое деление наследства(51)
Наследование нерожденными (35)
Многие задачи Алкуина допускают более одного решения. Иногда это связано с неоднозначной формулировкой условия, иногда с существом задачи. Тем не менее, Алкуин всегда приводит только одно решение. Не ясно, предполагал ли он, что читатель будет искать другие решения, или ставил цель найти хотя бы одно решение.
Последующий текст в основном базируется на переводах задачника Алкуина на английский язык. (Burkholder [20,21]]. [Hadley [27])
Сначала несколько слов о единицах измерения. Алкуин использует средневековые меры длины и веса, а также денежные единицы. С математической точки зрения их абсолютные значения несущественны, важны только их соотношения. Но для восприятия реальности важно знать их примерную величину. Мы будем следовать в основном интерпретации Хадли и Сингмастера [Hadley 18]. Денежные единицы: фунт=20 шиллингов или 12 унций, 1 шиллинг=12 пенс. Золотой талант стоил 75 золотых фунтов, и каждый фунт составляет 72 золотых шиллинга. Вес измерялся в фунтах и унциях: 1 фунт=12 унций. Длина измерялась в ликах (leuca). Одна лика равнялась 1500 двойным шагам или 7500 футам, а один фут= 12 дюймам. Для объема не было единой системы, и мы будем говорить о «мере», если не оговорена другая единица.
О’Коннор и Робертсон [ O'Connor [25]) приводят решения всех задач Алкуина. Но мы не следуем их более современному подходу и добавляем дополнительные комментарии.
Группа 1. Задача 1. Пиявка и слизень.
Пиявка пригласила слизня на обед. Они живут на расстоянии одной лики. Слизень может преодолеть в день только один дюйм. Сколько дней ему придется ползти, чтобы поесть?
Решение. Лика составляет 7500 футов или 90 000 дюймов. Значит, ему придется потратить 90000 дней ( столько же, сколько дюймов), что составляет ( без учета високосных лет) 246 лет и 210 дней.
Комментарий. Это упражнение на умножение, которое в римской системе обозначений было совсем не автоматическим.Надо умножить 7500 на 12. Это должно было выглядеть так:
XII (12) VMMD(7500)
VI (6) XV(15000)
III (3) XXX(30000)
I(1) VI(60000)
XXX(30000) + VI(60000) =XC(90000)
Умножение сводилось к последовательному делению одного сомножителя на 2 с остатком и записи этих половин в левый столбец с одновременным удвоением второго и записи результата в правый столбец. Если первый сомножитель был нечетным, то значение в левом столбце уменьшалось на один, и в следующей строке в левый столбец записывалась половина нового значения. Затем в правом столбце вычеркивались все значения в строках с четным первым столбцом (выделенные курсивом в нашем примере) и оставшиеся значения складывались. [Stern [26]].
Группа 2. Задача 7. Блюдо весом 30 фунтов.
Блюдо весом 30 фунтов сделано из золота, серебра, латуни и свинца. Серебра по весу в три раза больше, чем золота; латуни в три раза больше, чем серебра, а свинца в три раза больше, чем латуни. Каков вес каждого металла?
Решение. Вес золота 9 унций; вес серебра - трижды по 9 унций, то есть 2 фунта 3 унции, латуни в три раза больше, то есть 6 фунтов и 9 унций; наконец, свинца - трижды 6 фунтов 9 унций, то есть 20 фунтов 3 унции. 9 унций плюс 2 фунта 3 унции плюс 6 фунтов 9 унций плюс 20 фунтов 3 унции составляют 30 фунтов.
Комментарий. Алкуин только приводит ответ. В то время решение получалось методом «предположенного значения». Предположим сначала , что вес золота равен 1 унции. Тогда будет 3 унции серебра, 9 унций латуни, 27 унций свинца. Всего 1+3+9+27=40 унций. Но по условию блюдо весит 360 унций. Значит, надо увеличить предположенной значение в 360/40=9 раз и мы получим искомое решение, которое затем обязательно следовало проверить подстановкой в условие. Этот метод был известен еще и в древнем Египте (Юшкевич 27, стр. 29)
Группа 3. Задача 26. Собака, преследующая зайца.
Есть поле длиной 150 футов. В одном конце стояла собака, в другом заяц. Собака бросилась догонять зайца. За один прыжок собака продвигается на девять футов, а заяц за это время пробегает семь. Сколько футов и сколько прыжков сделает собака пока не поймает зайца?
Решение Алкуина. Длина поля 150 футов. Половина 150 дает 75. Собака прыгает на девять футов за один раз, а девять раз 75 составляет 675. Таким образом, собака пробежала столько футов в погоне за зайцем, пока не поймала его цепкими зубами.
Комментарии. Алкуин неявно предполагает, что заяц убегает по прямой, соединяющей его с собакой. Алкуин не объясняет, почему надо делить 150 на 2. По-видимому, тем, что за один прыжок собака приближается к зайцу на 9-7=2 фута. Значит, чтобы приблизиться на 150 футов, ей надо прыгнуть 150/2=75 раз. За 75 прыжков она преодолеет 9*75= 675 футов, а заяц за это время пробежит 7*75= 525. Алкуин не приводит ответ для зайца. В Европе задача такого типа впервые появляется у Алкуина. В китайской литературе она фигурирует уже с 150 г до н.э., а затем появляется в индийских и арабских текстах. Там рассматриваются и более сложные варианты.
Группа 4. Задача 14.Вол.
Вол весь день пашет поле. Сколько следов он оставляет в последней борозде?
Решение Алкуина. Вол не оставляет следов в последней борозде, потому что идет впереди плуга и тащит его за собой. Столько же следов, сколько вол оставляет на поле, столько же уничтожает плуг, вспахивая поле.
Комментарий. Как уже говорилось, сборник Алкуина был предназначен не только для обучения вычислениям, но в первую очередь для развития навыков логического мышления и не только на математических примерах. Во многих задачах логика и понимание реалий составляют главное содержание.
Группа 5. Задача 15. Пахарь..
Сколько борозд на поле сделал пахарь, когда он сделал 3 поворота на каждой из двух противоположных сторон поля?
Решение Алкуина. Три от одного края поля и три от другого, всего шесть вспаханных борозд.
Комментарии. Псевдо-Беда дает ответ 7. В зависимости от того, что считать поворотом, можно получить и 5, и 6, и 7 борозд. Если считать, что первый раз пахарь повернул с дороги на первую борозду, а в конце повернул после последней борозды на (другую) дорогу, то всего будет пять борозд; если считать за «поворот» только один из первого или последнего, то получим 6, (решение Алкуина); наконец, если считать поворотами только повороты между бороздами, то получим 7 (решение псевдо-Беды). Решение Алкуина кажется наименее логичным или простой ошибкой. Это еще один довод в пользу того, что текст псевдо-Беда был написан позже текста Алкуина.
Эта задача – хороший пример стиля Алкуина. Он не оговаривает все условия. Здесь не важна форма поля, не предполагается, что пахарь вспахал все поле. Подразумевается только, что каждая борозда идет от одной стороны поля до противоположной стороны.
Рис.1.
Группа 6. Задача 42. Сто ступеней.
Лестница состоит из 100 ступеней. На первой ступени сидит голубь, на второй два, на третьей три, на четвертой 4, на пятой 5, и так далее до сотой ступени включительно. Сколько всего голубей?
Решение Алкуина. Возьмите голубя, сидящего на первой ступени, и добавьте к нему 99 голубей, сидящих на 99й ступени, получив 100. Сделайте то же самое со второй и 98-ой ступенью, и вы также получите 100. Повторяя все шаги в этом порядке, то есть, складывая число голубей на одной из более высоких ступеней с числом голубей на соответствующей нижней, вы всегда получите 100. Однако 50-й ступень остается без пары, точно так же 100-я. Добавьте их к сумме остальных и вы получите 5050 голубей.
Комментарии.
Суммирование арифметической прогрессии было известно еще в древнем Вавилоне (Ван дер Варден 27 стр. 165, ) и в Древнем Египте (Папирус Ринда 28,задача 64).
Группа 7. Задача 41. Племенная свиноматка и свинарник.
Фермер построил новый квадратный двор. В центре он посадил свиноматку, которая произвела помет из 7 поросят, так что вместе с матерью стало восемь свиноматок. Все они вынашивают пометы по 7 поросят в первом углу двора, затем свиноматка и все потомство рожают опять по 7 поросят во втором углу, и так далее во всех четырех углах. Наконец, все они рожают по 7 поросят в центре двора. Как много свиней в свинарнике, включая матерей?
Решение Алкуина. При первом рождении в центре свинарнике находится 7 поросят и мать, всего восемь. После второго рождения в первом углу, в свинарнике будет уже 64. После рождения во втором углу будет восемью шестьдесят четыре - это 512. В третьем углу будет восемь раз по 512 - это 4096. В четвертом будет восемь умноженное на 4096 то есть 32788.(Алкуин ошибся- должно быть 32768) Умножение этого на восемь дает 262304(должно быть 262144). Столько свиней будет в центре свинарника после последнего помета.
Комментарии. Алкуин предполагает, что все пометы полностью женские! Интересно, что последние два числа различаются в разных списках Это еще раз говорит о трудности вычислений в римской нотации.
Геометрическая прогрессия также была известна в древнем Вавилоне (Ван дер Варден 27) и в Древнем Египте (Папирус Ринда 28,задача 79).
Группа 8. Задача 46. Человек нашел кошелек.
Мужчина нашел по улице небольшую сумку с двумя золотыми талантами. Толпа людей заметила, что он нашел сумочку, и потребовала: «Друг, дай нам часть свой находки». Но мужчина сказал, что не хочет отдавать им деньги. Собравшиеся в толпе бросились на него, высыпали деньги из сумки, и каждый схватил по 50 золотых шиллингов. После того, как толпа ушла, у мужчины остались 50 золотых шиллингов. Сколько мужчин было в толпе?
[Напомним, что золотой талант стоит 75 фунтов, и каждый фунт составляет 72 золотых шиллинга.]
Решение.
Один талант стоит 5400 золотых шиллингов, так что в сумке было 10800 золотых шиллингов. Если после того, как каждый человек в толпе взял 50 золотых шиллингов, оставалось 50 золотых шиллингов, то бралось 10750 золотых шиллингов. В толпе грабителей должно было быть 10750/50 = 215 человек.
Комментарии. Соотношение фунт-шиллинг в этой задаче отличается от других. Алкуин подсчитал, что есть 216 частей по 50 золотых шиллингов, то есть не исключил нашедшего из толпы. В целом эта задача является упражнением на деление, которое в Римской системе счисления было очень сложным.
Группа 9. Задача 49. Задача о плотниках..
Семь плотников сделали по семь колес. Сколько телег они построили?
Решение. Предполагается, что для телеги требуется 4 колеса. Тогда, поскольку плотники сделали 49 колес, им хватит колес на 12 телег. Остается одно неиспользованное колесо. Это как раз и есть решение Алкуина.
Комментарий. Это – еще одно упражнение на умножение и деление, но с остатком.
Группа 10. Задача 16. Двое мужчин, ведущие волов.
Два человека вели волов по дороге. Один сказал другому: «Дай мне двух волов, и у меня будет столько же волов, сколько у тебя». Тогда другой сказал: «Если после этого ты дашь мне двух волов, у меня будет вдвое больше, чем у тебя». Сколько было волов у каждого?
Решение. Алкуин только приводит только ответ: у первого 4 вола, у второго 8 и проверяет, что он удовлетворяет условиям.
Комментарий. По-видимому, Алкуин предполагал следующее решение. Если человек сначала получил двух волов, а потом отдал их, то у него стало столько же волов, сколько было вначале. И у второго тоже. Значит, у второго вначале было в два раза больше волов, чем у первого. То есть разница была равна числу волов у первого человека. Но, если при передаче двух волов их количество у обоих сравнялись, то была передана половина разности. Значит, половина числа волов у первого равна двум. Следовательно у первого 4 вола, а у второго в два раза больше, то есть 8. Специфика этой задачи состоит в том, что нельзя просто предположить некоторое значение для первого, а потом подправить его, как в задаче номер 7 про блюдо весом в 30 фунтов.
Эта задача часто приписывается Евклиду и поэтому называется «проблема осла и мула», так как у Евклида речь идет об осле и муле, несущих груз (Долгарев 29):
«Мул и Осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
Жалобно охал Осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший Мул обратился к сопутчику с речью:
Что ж, старина, ты заныл, и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись,
сколько нес каждый из них, о. геометр, поведай нам это».
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.
Формулировка Алкуина отличается тем, что волов, в отличие от груза, нельзя делить на части. Поэтому нет необходимости оговаривать, что решение должно быть целочисленным. Другое отличие состоит в том, что второй отдает волов после того, как их получил, тогда как у Евклида формулировка симметрична: «если первый отдаст, то», а «если второй отдаст, то». Конечно, алгебраическое решение очевидно, но во времена Алкуина он было недоступно.
Группа 11. Задача 34. Глава семьи делит зерно между домочадцами.
Глава семьи из 100 человек приказал раздать100 мер зерна членам семьи так, чтобы каждый мужчина получил по три меры, каждая женщина по две меры, а каждый ребенок по половине меры. Сколько в семье мужчин, женщин и детей.
Решение Алкуина. Одиннадцать троек составляют 33; 15 двоек составляют 30, а семьдесят четыре половинки составляют 37. То есть 11 мужчин получают 33 меры, 15 женщин получают 30 мер, а 74 ребенка получают 37 мер. Проверка: 11 мужчин плюс 15 женщин и 74 ребенка в сумме дают 100 человек в семье. А 33 меры плюс 30 мер и 37 мер дают 100 мер зерна.
Комментарий. В задачах этой группы надо найти три неотрицательных целых числа удовлетворяющих двум условиям: их сумма равна заданному числу (в этой задаче, 100), а их сумма с заданными коэффициентами (в этой задаче 3, 2 и ;) равна тому же самому числу. У таких задач может быть несколько решений, иногда одно, а иногда и ни одного.
Если обозначить число мужчин через m (men), число женщин через w(women), а число детей через c (children), то получим систему:
m+w+c=100
3*m + 2*w +0.5*c=100
Умножая первое уравнение на 3 и вычитая второе получим:
w+2.5c=200
Поскольку w –целое число, то c должно быть четным. Положим c=2n. Тогда
w=200-5n
и
m=100-2n-200+5n=3n-100.
В задаче 34 есть 6 строго положительных решений, и одно с 0, задаваемые формулой: женщин=200-5n, мужчин 3n-100, детей 2n. Чтобы число женщин было неотрицательным, n должно быть меньше или равно 40. А чтобы число мужчин было неотрицательным, nдолжно быть не менее 34.При n =40, 39, 38, 37, 36, 35, 34 получаем для числа мужчин, женщин и детей: (20,0,80), (17, 5, 78), (14, 10, 76), (11,15,74)=решение Алкуина, (8,20,72), (5,25,70) и (2,30, 68). Неизвестно, что подразумевал Алкуин
Группа 12. Задача 6. Два торговца и 100 шиллингов.
Два торговца купили несколько свиней на 100 шиллингов по цене два шиллинга за 5 свиней, намереваясь откормить их и продать снова с прибылью. Но они не учли, что зима неподходящее время года для откорма, и у них нет шансов откормить свиней. Тогда они пытались продать их с прибылью. Но никто не хотел платить больше исходной цены - два шиллинга за каждые 5 свиней. Потерпев неудачу продать свиней оптом, они решили разделить их между собой. Разделив свиней поровну между собой и продав их по курсу, по которому они их купили, они сумели получить прибыль. Сколько там было свиней и как их можно было разделить, чтобы получить прибыль, которую нельзя было получить, продав их все сразу?
Решение Алкуина. Напомним, что в одном шиллинге 12 пенсов. Сначала было куплено 50 пятерок по два шиллинга, то есть 250 свиней на 100 шиллингов. По разделу каждый торговец получил 125 свиней.. Один продавал свиней по три за шиллинг, а другой продавал свиней по две за шиллинг. Тот, кто продавал свиней по 3 за шиллинг, получил 40 шиллингов за 120 свиней; тот, кто продавал лучших свиней по 2 за шиллинг 60 шиллингов за 120 свиней. У каждого осталось еще по 5 свиней. каждого сорта. Каждая свинья у первого стоила теперь 4 пенса, ау второго – 6 пенсов. За пять свиней по 4 пенса они получили 20 пенсов, а за 5 по 6 пенсов - 30 пенсов. Таким образом, они выиграли 50 пенсов, то есть 4 шиллинга и 2 пенса.
Комментарии. Эта задача, известная под названиями "The "applesellers' problem" и "The missing penny" впервые встречается у Алкуина, Трюк в том, что неверно усреднять равные числа наборов по две свиньи за шиллинг и три за шиллинг, чтобы получить среднюю цену 5 свиней за два шиллинга. Назовем тех свиней, которые потом продали по 3 за шиллинг "дешевыми", а других, которых продавали по 2 за шиллинг "дорогими". Было 125 свиней дешевых и 125 дорогих. В исходном наборе из 5 свиней в среднем было 2.5 дешевых свиней и 2.5 дорогх. Теперь получилось 41 пятерок по 3 дешевые свиньи и 2 дорогих в каждой пятерке. Значит, новые пятерки были хуже старых, а свиньи ( 2 дешевые и 43 дорогие) , не вошедшие с пятерки, в основном продавались по более дорогой цене. Трудность формулировки Алкуина в том, что ученику предлагается придумать трюк. В следующих двух задачах неравенство слагаемых прямо оговорено в условии, что убирает главную изюминку задачи Алкуина.
1) Три бегуна решили пробежать 25 км. Один сказал: «Я побегу равномерно, темпом 500 м за 2 минуты». Второй сказал: «А я буду чередовать- 300 м за минуту, следующие 200 тоже за минуту, и так чередовать до конца». А третий сказал: «А я пробегу первую половину дистанции темпом 300 м за минуту, а вторую половину темпом 200 за минуту». Кто из них прибежит первым, кто последним, и на сколько минут опоздает?
2) Моторная лодка, плывя с постоянной скоростью, в стоячей воде проплывает 25 км за 100 минут. Скорость реки 50 м в минуту. За сколько времени лодка проплывет 12.5 км вверх и потом 12.5 вниз по течению, если будет плыть с той же скоростью относительно воды?
Группа 13. Задача 12: (Распределение бутылей) Некий отец умер и оставил в наследство своим трем сыновьям 30 стеклянных бутылей, из которых 10 были полны масла, еще 10 были наполовину полны, а еще 10 были пусты. Разделите масло и бутыли так, чтобы всем трем сыновьям досталось равное количество масла и равное число бутылей.
Решение Алкуина. Ясно, что каждый сын должен получить по 10 бутылей. Дадим сначала первому все 10 полупустых бутылей, а каждому из двух оставшихся по 5 полных и 5 пустых.
Комментарии.
Это – оригинальная задача Алкуина. Опять, найденное решение не единственно. Можно дать первому 8 полупустых, одну полную и одну пустую, второму 2 полупустых, 4 полных и 4 пустых, а третьему 5 полных и 5 пустых. Для отыскания всех решений договоримся, что решения, получающиеся перестановкой братьев, считаются одним. Их удобно описывать , начиная с распределения полных бутылей. Легко понять, что любое распределение полных бутылей, при котором каждый брат получает не более половины всех полных бутылей, можно дополнить до искомого единственным способом. Для 10 бутылей, есть 5 распределений полных: 5,5,0; 5,4,1; 5,3,2; 4,4, 2; 4,3,3. Задачу распределения полных бутылей можно перефразировать так. «Сколько есть треугольников с целочисленными сторонами с заданным периметром?». У Алкуина периметр равен 10. Нужно только оговориться, что допускаются и вырожденные треугольники вроде (5,5,0) или (5,3,2). [Singmaster30].
Как уже было сказано, она сводится к системе линейных диофантовых уравнений. Обозначим через f1,f2,f3, h1,h2,h3, e1,e2,e3 число полных (full), полупустых (half-empty) и пустых (empty) бутылей выданных первому, второму и третьему сыну соответственно. Тогда условие задачи можно записать как:
f1+f2+f3=10; h1+h2+h3=10; e1+t2+t3=10;
f1+h1+e1=10; f2+h2+e2=10; f3+h3+e3=10 ;
f1+h1/2=f2+h2/2 ; f1+h1/2 = f3+h3/2; f2+h2/2 = f3+h3/2.
Часть условий вытекает из других. Исключая зависимые, получим 7 уравнений с 9 целочисленными неизвестными. Задавая произвольные f1<=5, f2<=5 получим все решения.
Число решений этой задачи для разных n (в исходной задаче n=10) называется последовательностью Алкуина. (Термин «последовательность Алкуина» восходит к книге Д. Оливастро 1993 года о математических играх (Д. Оливастро 31). Эта последовательность обладает многими интересными свойствами и продолжает привлекать внимание математиков и сейчас [East 32] (Биндер 33)
Группа 14. Задача 18. Переправа. Мужчине нужно было переправить через реку волка, козу и ящик капусты. Однако он нашел только лодку, на которой можно было перевозить за один раз только одно – либо волка, либо козу, либо ящик капусты. Как он всех их перебросил?
[Мужчина не может оставить без присмотра волка и козу вместе, или козу и капусту вместе, иначе волк съест козу или коза съест капусту].
Решение. Это – простейшая из задач о переправе у Алкуина. Обозначим мужчину, волка, козу и ящик капусты буквами М, В.К. и Я, , а расположение участников (левый берег/правый берег). Запишем решение (переезд всегда с берега, где есть мужчина М, на противоположный берег)
(МВКЯ/-)->(ВЯ/МК) ->
Комментарий. Задачи о переправе естественно приводят к задаче поиска кратчайшего пути в графе. Для этого надо рассмотреть все расположения объектов в задаче, включая и перевозчика, удовлетворяющие ограничениям задачи. Для МВКЯ задачи это будут (МВКЯ/-), (МВЯ/К), (МВК/Я), (МКЯ/В),(МК/ВЯ),(ВЯ/МК),(К/МВЯ),(В/МКЯ), (Я/МВК),(-/МВКЯ). Затем надо соединить дугами все расположения, которые можно получить одно из другого разрешенным переездом. Например, пару (МВЯ/К),(В/МКЯ) нужно соединить, так как М может перевезти Я на другой берег, но пару (МВЯ/К),(К/МВЯ) нельзя соединять потому что нельзя получить одно расположение из другого за один переезд. Имея такой граф можно найти кратчайший план переезда.
Группа 15. Задача 52. Задача главы семьи.
Некий глава семьи приказал перевезти 90 мер зерна из одного из его домов в другой на расстоянии 30 лиг. Этот груз зерна может перевезти верблюд за три поездки беря по 30 мер за раз (то есть верблюд может нести не больше 30 мер зерна). Учитывая, что верблюд съедает одну меру зерна на каждую лигу, которую он проходит с грузом, сколько мер осталось после того, как зерно было перевезено во второй дом?
Решение Алкуина. В первый раз верблюд несет 30 мер на 20 лиг, оставляет там 10 мер, возвращается, снова берет 30 мер и опять переносит их на 20 лиг, вновь оставляет там 10 мер, возвращается, берет оставшиеся 30 мер, проходит 20 лиг. К этому времени он несет 10 мер, потому что уже съел 20 мер. Верблюд забирает оставленные там ранее 20 мер, идет до конца и доносит 20 мер в конечный пункт.
Комментарии.
Формулировка Алкуина отличается условием, что верблюд ест только когда идет с грузом. Но из решения понятно, что предполагается, что количество съедаемого зерна не зависит от веса груза.
Оказывается, что найденное решение не оптимально. Лучше так: верблюд берет 30 мер, переносит на 15 лиг, оставляет там 15 мер, возвращается, берет 30 мер, через 15 лиг у него остается 15 мер, он добавляет к ним 15 ранее оставленных, идет еще 7.5 лиг, оставляет там 22.5 мер, возвращается, берет последние 30 мер, идет, через 22.5 лиг у него остается 7.5 мер, он забирает оставленные 22.5 мер, идет оставшиеся до конца 7.5 лиг и приносит 22.5 мер. Если считать, что нельзя использовать части мер, например, потому что нельзя отмерить половину меры, то можно донести 22 меры.
Эту задачу можно формулировать как задачу линейного программирования. Допустим, что общая стратегия верблюда при трех переходах – отнести часть зерна на некоторое расстояние, оставить там не съеденное зерно, вернуться, взять новую порцию, дойти до места, где было оставлено зерно, загрузиться этим зерном, идти еще некоторое расстояние, оставить там не съеденное зерно, вернуться, взять оставшееся, дойти до оставленного зерна, загрузиться и идти до конца. Ясно, что он должен брать по 30 мер каждый раз, чтобы забрать все зерно. Пусть первую остановку он делает через х лиг (x<=30), а вторую – через у лиг ( x+y<=30). Тогда на первой остановке он оставит 30 – х мер. Когда верблюд придет туда во второй раз у него будет тоже 30-х мер. Чтобы он мог забрать все зерно надо чтобы
(30-х) +(30-х)=60-2х<=30. Затем он идет у лиг. У него остается (60-2х –у) мер зерна. Когда он приходит в это место опять, у него будет 30-х-у мер зерна. Чтобы забрать все зерно надо, чтобы (60-2х-у) +(30-х-у)=90-3х-2y<=30. Далее он идет оставшиеся (30-х-у) лиг и доносит 90-3х-2у-(30-х-у)=60-2х-у мер зерна. Мы получили, что надо найти максимум (60-2х-у) при условиях 60-2x<=30, 90-3x-2y<=30, x<=30, x+y<=30 или минимум (2х+у) при условиях 30<=2x, x<=30, 60<=3x+2y, x+y<=30.Мы получили задачу линейного программирования. В данном простейшем случае, из первых двух неравенств получаем, что х=15, а затем, у=7.5. Значит, верблюд донесет 60-2*15-7.5=22.5 иер щерна.Мы предположили, что число переходов равно 3. Легко показать, что при большем числе переходов результат будет не лучше, но может стать только хуже.
Это оригинальная задача Алкуина. У этой задачи впоследствии появилось много вариантов. Например, как далеко сможет уехать вездеход от базы, если известно количество горючего на базе, количество горючего, которое может взять вездеход, и расход горючего на 1 километр. Предполагается, что вездеход может оставить любую часть горючего на трассе и потом пополнить бак этим горючем. Отсюда название "Jeep problem". Она была решена в Файном 1947 году(Fine 34), но и потом продолжала обсуждаться в литературе.(Phipps 35), (Potusek 36) Интересно, что она в разных формах неоднократно возникала в реальности, например во время войны за Фолклендские острова Англия использовала эти алгоритмы для расчета мест дозаправки в воздухе своих бомбардировщиков, которые без этого не могли долететь до цели и вернуться. [Jeep 37]
Группа 16. Задача 11. Два мужчины, женившихся на сестрах друг друга.
Если двое мужчин женятся на сестре друг друга. Какими будут отношения их сыновей друг к другу?
Решение. Сыновья являются двоюродными братьями дважды, у каждого из них есть родитель, который является родным братом одного из родителей другого.
(а) Двое мужчин, женившихся на матери друг друга.
Если двое мужчин женятся на матери друг друга, каковы будут отношения между их сыновьями?
Решение ( O Connor 25).
Пусть А и В будут двумя мужчинами, которые женятся на матери друг друга. Пусть М – мать А, а Н – мать В, С – сын от брака А+Н и Т – сын В+М. Тогда А - отец С, а B - его сводный брат, как сын матери отца. Тогда сын В является племянником С, а С - дядей Т. Точно так же В -отец T, а A - сводный брат Т и С – племянник ТТ. Таким образом, С и T, два сына, являются одновременно дядей и племянником друг другу.
б) Отец, сын, вдова и ее дочь.
Если сын вдовца женится на женщине, а его отец на ее дочери, каковы отношения их сыновей?
Решение. Как и в задаче 11а два сына являются дядей и племянником друг другу.
Комментарии. Это, по-видимому, оригинальные задачи Алкуина. Более ранние версии неизвестны. В задаче 11а более парадоксален анализ других связей. М замужем за В то есть сыном Н. Значит М – невестка Н, а Н – свекровь М и, следовательно, бабушка А как сына М. Значит Н замужем за своим внуком, а он, как муж своей бабушки, является дедушкой самому себе. Сам Алкуин не приводит решение этой задачи, хотя именно она и послужила источником многочисленных вариаций.[МаркТвен 38]
Алкуин не приводит решения задач о сложном родстве. Их включение в общий список, по-видимому, связано с обучением риторики в тривиуме. Ответы зависят от точного определения степени родства. Например, является ли отцом муж матери или только биологический отец. По-видимому, Алкуин предполагал инициировать обсуждение ситуации с неоднозначным ответом.
Группа 17. Задача 10. Проблема куска полотна.
У меня есть кусок полотна длиной 60 локтей и шириной 40 локтей. Я хочу разрезать его на части, каждая из которых будет 6 локтей длиной и 4 шириной. Сколько частей из него можно сделать?
Решение Алкуина. Десятая часть шестидесяти - 6; одна десятая от сорока - 4. Поскольку мы имеем одну десятую от шестидесяти и одну десятую от сорока, мы находим, что у нас есть 100 частей 6 локтей в длину и 4 локтя в ширину.
Комментарии. Задачи этой группы тоже сводятся к умножению и делению. Интересно, что Алкуин формулирует решение так, что кажется, он не предлагает делить размер большого куска на размер маленького (60 на 6), а вместо этого утверждает, что меньший размер равен определенной части большого. Наиболее сложная из них требует перевода футов в дюймы и операций с большими числами.
Группа 18. Площади. Задачи этой группы дают представление о состоянии вычисления площади разных фигур во время Алкуина. Поэтому мы рассмотрим их все. Чтобы не вводить новых мер длины и площади, мы заменили исходные perticae =5.02 метра на дюймы, а aripenna (144 квадратных perticae) на квадратные футы, поскольку соотношение между «квадратным perticae» и aripenna такое же, как и между квадратным дюймом и квадратным футом.
Задача 22. Поле неправильной формы.
Есть поле неправильной формы, размером 100 дюймов с каждой стороны, по 50 с каждого края и 60 по середине. Как много в нем квадратных футов?
Решение Алкуина. Длина поля - 100 дюймов, длина краев – по 50 дюймов, а в середине 60 дюймов. Добавляя к сумме длин боковых сторон длину середины, получим 160. Возьмите третью часть этого, что равно 53, и умножьте на 100, получив 5300. Разделите это на 12 равных частей, получаем 441. Затем разделите это на 12 равных частей, получив 37. Это число квадратных футов в поле.
Комментарии.
Алкуин, по-видимому, имеет в виду - шестиугольник, полученный соединением двух трапеций с основаниями 50 и 60, склеенных по большему основанию. Формулировка «100 дюймов с каждой стороны» неоднозначна. Можно предположить, что (а) он имеет ввиду высоты, опущенные из правой и левой вершины верхнего основания. В этом случае высота каждой трапеции равна 50. Или (б) что длины правого и левого краев равны 100. Тогда высота каждой трапеции равна ; (502 – 52) =;2475. Точное значение площади равно в первом случае 2*50*[50+60)/2).=5500, а во втором 2*55*;(2475)=5472.43 квадратных дюймов, то есть 38.19 или 5472.43/144=38 квадратных футов. В обоих случаях округленное значение равно 38. Несмотря на хорошее совпадение ответа Алкуина с точным значением, его основная формула неверна и может приводить к сильным ошибкам. По аналогии с трапецией, в которой площадь вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту, Алкуин использует среднее значение двух оснований и средней линии (50+50+60)/3=160/3=53.33, вместо правильного 55. С другой стороны, если принять вторую интерпретацию, он считает высоту трапеции равной ее боковой стороне, что частично компенсирует первую неточность. Замена боковой стороны на высоту дает примерно правильное значение площади в данном примере, но совершенно неправильна в общем случае.
Задача 23.Четыреугольное поле.
Есть четырехугольное поле размером 30 дюймов справа, и 32 дюймов слева, 34 дюйма у нижнего основания и 32 у верхнего . Сколько в нем квадратных футов?
Решение Алкуина. Сумма длин боковых сторон равна 62 дюймов, половина равна 31; а сумма длин оснований равна 66, половина равна 33. 31 умножить на 33 дает 1023. Разделите это на 12 частей, как указано выше, и получится 85; и снова разделите 85 на 12, и получится 7. Таким образом получится 7 акров.
Комментарии.
Строго говоря, задача не имеет решения, потому что форма четырехугольника не определяется длинами его сторон. Алкуин использует приближенную римскую формулу как произведение полусумм противоположных сторон, которой пользовались еще в Древнем Египте (Ван дер Варден. 27 стр.42). В данном случае минимальная площадь равна нулю, поскольку суммы длин противоположных сторон равны. Максимальная площадь получается, когда четырехугольник является вписанным, что видно из формулы Бретшнайдера (C. A. Bretschneider. 39) для площади любого выпуклого четырехугольника
S2= (p-a) (p-b) (p-c) (p-d)-abcd*cos2((;+;)/2),
где ; и ; противоположные углы четырехугольника, так как для вписанного четырехугольника сумма противолежащих углов равна ;.
Задача 24. Треугольное поле.
Треугольное поле – две боковые стороны по 30 и 18 дюймов в основании. Сколько в нем квадратных футов?
Решение Алкуина. Сложите две длинные стороны поля и получите 60. Половина 60 есть 30 ; и так как основание 18, возьмите половину этого, что составляет 9. Возьмите 9 раз 30, будет 270. Разделим 270 на 12, получится 22.5; и снова разделим на 12, давая 1 квадратный фут и 10.5 квадратных дюймов .
Комментарии.
Алкуин опять считает высоту равной боковой стороне. Точное значение 238.46 квадратных дюймов или 1 квадратный фут плюс 94.46 квадратных дюймов. Окончательный ответ Алкуина также содержит арифметическую ошибку. Поскольку он делит на 144 в два этапа, то его ответ в квадратных дюймах соответствует одному квадратному футу и 12*10.5=126 квадратным дюймам, а не 10.5 (!!)
25. Круглое поле. Круглое поле в окружности 400 дюймов. Сколько квадратных футов оно содержит?
Решение Алкуина 1. Четвертая часть окружности поля в 400 дюймом составляет 100; умноженное на само себя, это дает 10000. Разделите это на 12 частей; то результат - 833, что при разделении на 12 частей дает 69. Это количество квадратных футов в поле.
Решение Алкуина 2:«Возьмите четвертую часть от 400, то есть 100. Далее, третью часть от 400, что составляет 133. Возьмите половину от 100, то есть 50. Возьмите половину от 133, что равно 66. Умножьте 50 на 66, что равно 3151. Двенадцатая часть этого равна 280. Снова разделите 280 на двенадцать, получим 24. Умножьте 24 на 4, что равно 96. Всего есть 96 квадратных футов ». [Folkerts / Gericke 1993, стр. 325/36]
Комментарии. В решении 1 Алкуин (или переписчик) считает ; = 4 (!!!) Решение 2, содержит несколько арифметических ошибок. Но текст показывает, что оно эквивалентно ; =3. Римляне часто (например, Витрувий) считали ; =3.заметим, что из формулы для площади круга у древних египтян вытекает, что они считали
; =256.81 т.е. примерно 3.1605! (Ван дер Варден. 27 стр.43).Правильный ответ 12732.39545 квадратных дюймов или 88,419 квадратных футов.
Группа 19. Размещение «домов» в «городе»
В задачах «упаковки» 27,28,29,31 Алкин не рассматривает фактическое расположение «домов» в «городе», но просто делит площадь «города» на площадь «дома». Эти задачи продолжают вызывать интерес программистов и математиков [Zolotykh 40]
Задача 27. Четырехугольный город.
Есть четырехугольный город, у которого одна боковая сторона - 1100 футов, другая - 1000 футов, передняя - 600 футов, и задняя - 600 футов. Я хочу поставить там как можно больше домов, чтобы каждый дом был 40 футов в длину и 30 футов в ширину. Сколько домов должно быть в городе?
Решение Алкуина.
Полусумма боковых сторон равна 1050, а полусумма оснований равна 600. Поскольку каждый дом имеет длину 40 футов и ширину 30 футов, надо поделить 1050 на 40, что дает 26, и 600 на 30, что дает 20. Умножая 26 на 20, получим ответ 520.
Комментарии. Алкуин не вычисляет площадь города и площадь дома. Он считает город прямоугольным, а не трапецией, как на самом деле. Поэтому этого он делит (с остатком, округляя в меньшую сторону) одно измерение на длину дома, другое – на ширину и перемножает частные. Ясно, что для другой формы города полученное значение может быть больше реального. Например, если "сложить" трапецию так, чтобы одна боковая сторона "легла" на большее основание, то останется треугольник со сторонами 500, 600 и 1000. Его площадь 588642.5 квадратных футов, а площадь дома 1200 кв. футов. Поэтому число домов не может быть больше 490.
Запдача 28. Треугольный город.
Есть треугольный город, у которого одна сторона 100 футов, другая - 100 футов, а третья - 90 футов. Внутри этого города я хочу построить дома, каждый из которых будет 20 футов в длину и 10 футов в ширину. Сколько домов я могу построить в городе?
Решение.
Полусумма боковых сторон равна 100, а половина основания равна45. Длина дома равна 20. А ширина дома равна 10. Делим 100 на 20, что дает 5, а 45 – на 10 (с остатком), что дает четыре. Перемножая результаты, получаем, что число домов равно 20
Комментарии. Алкуин снова считает площадь треугольника равной произведению половины основания на полусумму боковых сторон. Правильное значение площади равна 4018,63 квадратных футов. Далее, Алкуин считает, что можно разместить прямоугольные дома так, чтобы они покрыли все площадь треугольника. Это невозможно. Поэтому, ответу Алкуина в этой и других подобных задачах дают только верхнюю оценку числа домов. Эта оценка в большинстве случаев недостижима, как в этой задаче.
Задача 29 . Круглый город.
Длина стены города равна 8000 футам. Сколько прямоугольных домов может вместить город, если каждый дом будет 30 футов в длину и 20 футов в ширину?
Решение Алкуина.Этот город имеет границу в 8000 футов. Поделите ее на две части в отношении полтора к одному, то есть 4800 и 3200, как соотносятся длина и ширина дома. Затем возьмите половину каждого из измерений и получится 2400 от большего числа и 1600 от меньшего. Разделите 1600 на двадцать и вы получите 80 раз по 20. Аналогичным образом разделите большее число 2400, на 30 частей и получите 80 раз по 30. Умножьте 80 умноженное на 80 и получите 6400. Такое количество домов можно построить в городе в соответствии с условиями задачи.
Комментарии. Здесь Алкуин допускает интересную ошибку. Хотя в условии говорится о круглом городе, он меняет его форму на прямоугольную с отношением сторон как у дома. Тем самым задача упрощается. Дома можно расположить вплотную и не оставить незаполненную площадь. Но Алкуин не знает, или пренебрегает тем, что площадь прямоугольного города с тем же периметром, что и круглого, намного меньше (Точные значения 384000 и 5092958 квадратных футов). Легко убедиться, что в круглом городе можно расположить более 7700 домов, что намного больше ответа Алкуина. В круг с периметром 8000 впишем квадрат со стороной 1800. В нем помещаются (1800/30)*(1800/20)=5400 домов. В каждый из оставшихся сегментов впишем равнобедренный треугольник с основанием на стороне квадрата. В нем можно поместить 543 дома. Таким образом, всего будет 5400+543*4=7572 дома.
Задача 31. Винный погреб.
Есть винный погреб 100 футов в длину и 64 фута в ширину. Сколько бочек он может вместить, учитывая, что каждая бочка имеет семь футов в длину и четыре фута в ширину, а в середине погреба есть проход шириной четыре фута?
Решение Алкуина. Четырнадцать семерок в 100 и шестнадцать четверок в 64, из которых одна четверка необходима для прохода, который проходит по длине этого подвала. Остается пятнадцать четверок в 60, а поскольку в 100 есть четырнадцать семерок, то возьмите 15 раз по 14 и получите 210. Такое количество бочек можно хранить в винном погребе, описанном выше.
Комментарии. Алкуин неявно предполагает, что все бочки ориентированы одинаково. Если отказаться от этого условия, то можно расположить больше. Если проход точно посередине, то с каждой стороны прохода есть прямоугольник 100 на 30 футов. Разобьем каждый из них на два 100 на 14 и 100 на 16. В прямоугольниках 100 на 14 разместим бочки параллельно короткой стороне, заполнив его целиком. Получим 2*25 бочек в этой части. А в оставшейся расположим бочки параллельно длинной стороне. Получим 4*14=56 бочек. Всего получится 2*(56+50)=212 бочек. Выигрыш достигается тем, что у Алкуина остается 120 квадратных футов пустого пространства, по 60 с каждой стороны, а при втором расположении только 64, по 32 с каждой стороны.
Если можно сдвинуть проход, так, что с одной стороны будет 28 футов, а с другой 32, то можно расположить 100 бочек с одной стороны, и 114 с другой, всего 214 бочек и только 8 квадратных футов пустого места.
Группа 20. Задача 51. Распределение вина и сосудов. Некий умирающий отец оставил четыре небольших сосуда с вином своим четырем сыновьям. В первом сосуде было 40 модий вина; во втором - 30; в третий, 20; а в четвертом - 10. Вызвав домашнего казначея, он сказал:
"Разделите эти четыре сосуда с вином между моими четырьмя сыновьями так, чтобы каждый сын получил равную часть вина и сосудов ". Как должны были быть разделены сосуды, чтобы все получили от этого равную сумму?
Решение Алкуина. В первом сосуде было 40 модий вина; во втором - 30; в третий - 20; а в четвертом - 10. Таким образом прибавляем 40 и 30, 20 и 10, получая 100. Затем разделите 100 на четыре части, из которых получится 25. Это число, взятое дважды, составляет 50. Таким образом, 25 модий достаются каждому сыну в качестве его части, а двум сыновьям – 50 модий. В первом сосуде 40, а в четвертом - 10. Вместе они составляют 50 модий, которые тебе следует разделить между двумя сыновьями. Аналогичным образом 30 и 20 модий, находящиеся во втором и третьем сосудах, составляют 50. Как указано выше, разделите это между двумя [другими] сыновьями, каждый из них получит по 25 модий. Таким образом, будет равное разделение вина и сосудов между сыновьями.
Комментарии. Эта задача по форме тождественна задаче 12, но в отличие от нее решение не закончено. Чтобы выполнить завещание придется открыть бочки с 40 и 30 модиями и отлить часть их содержимого.
Группа 21. Задача 35. Воля умирающего.
Некий отец умер и оставил детей, беременную жену и 960 фунтов денег. Он завещал, что если у нее родится сын, тогда сын должен получить три четверти наследство, а мать должна получить четверть, то есть три двенадцатых. Но, если родится дочь, то она должна получить семь двенадцатых, а мать - пять двенадцатых наследства. Но так получилось, что она родила двойню - и мальчика, и девочку. Сколько получили мать, сын и дочь в соответствии с завещанием?
Решение Алкуина. Сложите девять и три, получится 12. 12 унций составляют фунт. Затем добавьте семь и пять, которые составляют еще 12. 12, взятые дважды, составляют 24 унции, что равняется двум фунтов, что само по себе равно 40 шиллингам. Затем возьмите двадцать четвертую часть от 960 шиллингов, что составляет 40. Затем, поскольку сын должен получить три четверти или девять двенадцатых наследства, возьмите девять раз по 40. Сын получил девять умноженных на 40 что равно 360 шиллингов, то есть 18 фунтов,. И так как мать получила треть от полученного сына и пятую часть от полученного дочерью, то у нее три и пять, что составляет восемь. Поэтому, как предписано, возьмите восемь раз по 40. Значит, мать получила восемь раз по 40 шиллингов, что составляет 320 шиллингов, то есть 16 фунтов, После этого возьмите семь раз по 40, что равно 280 шиллингам или 14 фунтам, . Это то, что получила дочь. Сложите 360 и 320 и 280, и получите 960 шиллингов, 48 фунтов.
Комментарии. Решение Алкуина, эквивалентно разделению наследства пополам и применения соответствующего варианта завещания для рождения одного мальчика и одной девочки. В итоге и сын и дочь получают половину того, что получили бы, если бы не было второго ребенка. А мать получает среднее от того, что получила бы, родив одного ребенка.
Для решения Алкуин применяет стандартный метод. Он произвольно выбирает единицу, равную одной унции, проводит все вычисления и затем умножает на нужный коэффициент, данном случае, 40.
Эта задача отличается от всех остальных концептуальной неопределенностью постановки. Дело не в вычислениях, а в логике. Если мы ставим на первое место интересы детей, то сын должен получить 9/12 от полной суммы, а дочь – 7/12 от полной суммы, что невозможно. Тем самым, возникает ситуация выплаты долгов после банкротства. Эта задача широко обсуждается в литературе, начиная с комментарий к Талмуду и до сих пор. [AUMANN 41). Но Алкуин, сознательно или нет, отличие от большинства предшественников, отдает предпочтение матери.
Заключение.
Имя Алкуина малоизвестно широкой публике. С ним не связано никакое конкретное научное достижение вроде теоремы Пифагора или формулы Кардано. Но его вклад в развитие грамотности, а затем и наук в Европе воистину велик. Распространяя достижения своих предшественников, Алкуин выбирал главное, переосмысливал его и в таком виде доносил до своих учеников и последователей. Почти все, кто пришел в математику, в детстве прошли через период решения занимательных задач. Хотя первые занимательные задачи появились много тысячелетий назад, Алкуин возродил эту традицию в Европе и придумал несколько новых задач, ставших классическими. Его сборник "Задачи для заточки молодых» разошелся по Европе и прямо или косвенно способствовал пробуждению интереса к математике. Он послужил прообразом бесчисленных книг по занимательной математике и другим наукам. Так что и мы, живущие в XXI века, ощущаем влияние Алкуина и используем его наследие.
Литература.
1. А. Азимов. Темные века Раннее Средневековье в хаосе войн. 2005 Центрполиграф ,ISBN: 5-9524-1524-5
2. (Пиков1) Пиков Г. Г.,НГУ Реновационная педагогика Каролингского Возрождения и педагогические идеи Алкуина. https://nsu.ru/classics/pikov/pikov-alcuin.pdf
3. Эйнхард. Жизнь Карла Великого. — М.: Институт философии, теологии и истории св. Фомы, 2005. — 304 с. — ISBN 5-94242-013-0
4. Bayless, Martha, 1958 Parody. Middle Ages. 1996 Ann Arbor : University of Michigan Press.
5. Павел Варнефрид Диакон. История Лангобардов, 2008, Азбука-Классика.
6. Алкуин и возрождение умов http://www-co.narod.ru/0/Alkuin.html
7. Дорохова М.А. История культуры - Конспект лекций. 2008
8. Ильина А. .Алкуин. Письма (Cursor Mundi. Вып.10)
9. Цитаты Алкуина https://hrwiki.ru/wiki/Alcuin#Quotations
10. С.В.Наумова.ШРИФТ.Учебное пособие.Екатеринбург 2011. https://studfile.net/preview/3379442/.
11. Solomon Gandz. The Origin of the Ghub;r Numerals, or the Arabian Abacus and the Articuli. Isis , Nov., 1931, Vol. 16, No. 2 (Nov., 1931), pp. 393-424 Published by: The University of Chicago Press on behalf of The History of Science Society Stable URL: https://www.jstor.org/stable/224714
12. Alcuin Monumjento Alcuiniana/ Prepared by Philippo Iaffo, eds. Wattenbach and Duemmler, 1873
13. Miriam Joseph, Sister, 1898–The trivium : the liberal arts of logic, grammmar, and rhetoric: understanding the nature and function of language / by Sister Miriam Joseph ; edited by Marguerite McGlinn. Firt Paul Dry Books Edition, 2002
14. Джон Мартино, Миранда Ланди, Джейсон Мартино. Сакральная геометрия, нумерология, музыка, космология, или КВАДРИВИУМ. От Пифагора до наших дней. Эксмо, 2015 г.
15. Peter J. Burkholder. Alciun of York's _Propositiones ad Acuendos Juvenes_; ("Propositions for Sharpening Youths"); Introduction and Commentary.
16. Peter J. Burkholder. _Propositiones Alcuini Doctoris Caroli Magni Imperatoris ad Acuendes Juvenes_; _Propositions of Alciun, A Teacher of Emperor Charlemagne, for Sharpening Youths_; Translation
17. Menso Folkerts. Die ilteste mathematisce Aufgabensammlung in lateinischer Sprache. Die Alkuin zugeschriebenen Propositiones ad Acuendos Iuvenes. Oster. Akad. der Wissensch. Math.-Naturw. KI.,
18. [Hadley) John Hadley and David Singmaster. Problems to Sharpen the Young. The Mathematical Gazette , Mar., 1992, Vol. 76, No. 475, pp. 102-126
19. Платон. Государство. М. 2015
20. DAVID EUGENE SMITH. HISTORY OF MATHEMATICS. VOLUME II. SPECIAL TOPICS OF ELEMENTARY MATHEMATICS (1925)
21. Paton, W. R The Greek Anthology, With an English Translation. The Greek Anthology, With an English Translation. Loeb Classical Library edition, in Greek and English; London: W. Heinemann; New York, G.P. Putnam's Sons, c1916-1918
22. Folkerts, M.: Pseudo-Beda: De arithmeticis propositionibus. Eine mathematische Schrift aus der Karolingerzeit, in: Sudhoffs Archiv, 56 (1972), pp. 22–43..
23. (Singmaster) Singmaster, David: Chronology of recreational mathematics (1996) http://www.eldar.org/~problemi/singmast/recchron.html
24. [Singmaster2] David Singmaster The History of some of Alcuin's Propositiones. Karl der Grosse und sein Nachwirken. 1200 Jahre Kultur und Wissenschaft in Europa: Band II, Mathematisches Wissen 1998 Pages: pp. 11-29 https://doi.org/10.1484/M.STHS-EB.4.2017030
25. J J O'Connor and E F Robertson. Propositiones ad acuendos iuvenes by Alcuin 2012.
26. Dr. David P. Stern A Different Kind of Multiplication 2007
http://www.phy6.org/outreach/edu/roman.htm
27. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука ФмзМатГиз, Москва, 1949
28. Папирус Ринда(Ахмеса) https://ru.wikipedia.org/wiki/Папирус_Ахмеса
29. Долгарев И.А. История математики. ttps://www.twirpx.com/file/3443987/
30. D Singmaster. Triangles with integer sides and sharing barrels. College M J. 21:4, 278-285.
31. Dominic Olivastro.Ancient Puzzle: Classical Brainteasers and Other Timeless Mathematical Games of the Last 10 Centuries» 1993, Bantam
32. James East &Ron NilesInteger Triangles of Given Perimeter: A New Approach via Group Theory. The American Mathematical Monthly Volume 126, 2019 - Issue 8 Pages 735-739
33. Биндер, Дональд Дж .; Эриксон, Мартин (2012), «Последовательность Алкуина», American Mathematical Monthly , 119 (2): 115-121, doi : 10.4169
34. Fine, N. J. "The Jeep Problem." Amer. Math. Monthly 54, 24-31, 1947.
35. Phipps, C. G. "The Jeep Problem, A More General Solution." Amer. Math. Monthly 54, 458-462, 1947.
36. R. Potucek Elementary solution to the jeep problem with one chief and two supporting vehicles,2017, 2017 International Conference on Military Technologies (ICMT)
37. Jeep problem – Wikipedia https://en.wikipedia.org › wiki › Jeep_problem
38. МАРК ТВЕН «КАК Я СТАЛ ДЕДУШКОЙ САМОМУ СЕБЕ»).
39. C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261)
40. Zolotykh N. Yu. .Alcuin’s Propositiones de Civitatibus: the Earliest Packing Problems August 5, 2013 https://arxiv.org/abs/1308.0892v1
41. ROBERT J. AUMANN AND MICHAEL MASCHLER Game Theoretic Analysis of a bankruptcy Problem from the Talmud. JOURNAL OF ECONOMIC THEORY 36, 195-213 (1985]).