Вольные философско-математические штудии. Очерк первый
Аннотация. В первом очерке представлены результаты штудий автора по философии математики, имевших место с 21 января по 10 февраля 2022 года. Метод автора – парное сравнение текстов двух случайно выбранных авторов, при параллельном или последовательном чтении, как правило, в течение одной или двух недель. В январе-феврале 2022 года случайно и совершенно неожиданно для автора – ими оказались Габриэле Лолли – итальянский философ математики и его «Философия математики: наследие двадцатого столетия» и В.Я. Перминов – современный классик российской философии математики с «Философией и основаниями математики».
Ключевые слова: философия математики, история математики, конвенционализм, объективность научного знания
Эпиграф 1. Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно.
Никола Бурбаки
Эпиграф 2. Изменение и смерть в мире идей столь же неизбежны, как и в делах человеческих, и любящему истину математику не пристало делать вид, будто их нет, когда в действительности они имеют место… Каждый начинающий математик, формулирующий собственную философию (а этот этап наступает в жизни каждого математика), должен принимать решение, располагая всей полнотой фактов.
Джон Л.Синдж
Эпиграф 3. Абсолютная объективность, приписываемая обычно точным наукам, принадлежит к разряду заблуждений и ориентирует на ложные идеалы.
Майкл Полани
В первом очерке представлены результаты моих штудий по философии математики, имевших место с 21 января по 10 февраля 2022 года. Методика штудий достаточно проста и примитивна: когда есть настроение и желание, я читаю тексты по философии математики и делаю небольшие выписки. Соответственно, размышляю о прочитанном, и когда чувствую, что первый познавательный интерес уже остывает – подвожу краткий итог своеобразного ознакомительного микроисследования (что я сейчас и намереваюсь сделать). Можно сказать, это первые, возможно, вполне поверхностные впечатления. Но если их не зафиксировать – в скором времени они испарятся, как утренний туман.
В последнее время (может, несколько месяцев, а может – несколько лет) мне симпатичен метод парного сравнения текстов двух случайно выбранных авторов, при параллельном или последовательном чтении, как правило, в течение одной или двух недель. В декабре 2021 года это были Ян Хакинг и Владимир Тасич [1], а в январе-феврале 2022 года случайно и совершенно неожиданно для меня – ими оказались Габриэле Лолли – итальянский философ математики и В.Я. Перминов – современный классик российской философии математики: Габриэль Лолли «Философия математики: наследие двадцатого столетия. пер. с итал. 2012. 299 с. [6] и В.Я. Перминов «Философия и основания математики» [8].
Чтение последовательное.
Первым был Г.Лолли. Весьма многообещающее начало.
В предисловии к русскому изданию – удивительные познания по истории русской и советской математики.
Как потом оказалось – это самое сильное впечатление от монографии, создающее предвкушение к неожиданным открытиям в основном тексте, которые, увы, не произошли. Возможно, следует внимательно перечесть (перечитать) еще раз, спустя некоторое время – что-то обнаружится незамеченное.
Обзор и критический анализ философий математики, предложенных на Западе в XX столетии оказался довольно традиционным. Несколько расширенный список «измов» – 14 (включая нечасто встречающиеся – семиотика). Чаще всего философы математики выделяют от 2 до 4 «измов», реже – до 8. Необычайно много уделено внимания платонизму – видимо, автор считает себя большим знатоком именно платонистского направления в философии математики.
Г.Лолли утверждает, что платонизм поддерживает большинство современных математиков (догадываются ли сами математики, что они платонисты, Лолли не уточняет. По моему разумению, большинство математиков не догадывается, что такое платонизм, и за что их причислили к платонистам. Особенно, китайские, индийские, японские математики, а также арабские, тюркоязычные и все другие).
Но платонизм Габриэле Лолли изрядно «зашкаливает». Помимо гиперплатонизма, которому он неоднократно уделяет внимание, есть еще вселенная платонизма и многое другое. Чтобы не быть голословным, приведу несколько примеров.
1.«Платонист будь он реалистом любого толка, не может избежать вопроса об универсуме множеств, и встречает лицом к лицу факт, что универсум не единственен, что рядом с первым появляются другие, которые пытаются узакониться… Множества являются сами по себе не математическими объектами, а скорее логическими»
2.«У гиперплатониста может быть меньше проблем, поскольку он мог бы утверждать, что структуры, которые его интересуют, которые представляют собой особые множества, являются инвариантными в моделях теории множеств, теми же самыми в разных мирах или что возможные различия касаются второстепенных аспектов математической деятельности».
3.«Платонсты заявляют о ясном видении математической реальности, которая им представляется совершенно определенной… Платонисты не замечают также событий в социальном мире. Например, они гордятся тем, что это самая распространенная философия математики, однако имеются некоторые сомнения на этот счет. Никто не проводил статистических исследований по этому поводу». (Хорошо бы, если Г.Лолли указал, о каких платонистах он ведет речь: во всей Италии или Франции? Или может только на их кафедре философии математики?).
Добавим еще либеральных платонистов (стр.134), которые остались для меня загадкой. Вызывает также беспокойство судьба «разачарованного, но упорного платониста Н. Гудмена».
Посреди рассуждений о платонизме обнаружился любопытный фрагмент: «Непонятно, почему столько шума было поднято кстати (и некстати) по поводу теоремы Геделя, в то время как теорему Тарского лишь вскользь упоминают, хотя она гораздо более показательна и значительна для философии. … О теореме Тарского о невыразимости истины: в свете этой теоремы рассуждения о математических истинах неизбежно обречены на беспредметность, если язык неформальный, или же, на неопределенную отсылку к строгим метаязыкам, все более сомнительным» [6].
Думаю, здесь есть над чем поразмыслить. Тем более, что Гедель давно превратился в мифологический персонаж, в своеобразный памятник в парке логики и философии математики.
Также очень симптоматично самокритичное высказывание по поводу собственной деятельности философов математики: «Философия математики имеет, по меньшей мере, две сущности: Первая – это философия в чистом виде, и она не имеет ничего общего с математикой. С этой точки зрения для любого математика совершенно позволительно и даже вполне допустимо не понимать эту науку или совсем её игнорировать». По нашему разумению, это относится в первую очередь к плодящимся «измам» и постоянным попыткам инвентаризации математиков как платонистов, формалистов, интуиционистов, фаллибелистов и прочих, каковых в чистом виде в природе не существует, но так как это любимое занятие всех кафедральных философов всех времен, тяготеющих к систематике и классификации, и к наклеиванию ярлычков – то естественно, что философу математики, читающему лекции студентам, трудно удержаться от примитивной и туповатой систематики (общепринятой у коллег и необходимой при защите диссертаций).
«С другой стороны, она несомненно связана с развитием математики как через обмен идеями и мыслями, высказанными и воспринятыми математиками, так и посредством влияния, которое она оказывает как общекультурный фактор, в том числе и вышеупомянутыми путями, на цели и задачи этой научной дисциплины, её позиционирование в системе обучения и преподавания, её оценку в обществе со всеми вытекающими из этого последствиями. Таким образом, изучая философию математики, специалист всегда сможет лучше понять свою собственную науку, повысить её роль и значение, а также поднять значимость своей собственной работы» [6].
Завершая обширную тему платонизма, Г.Лолли высказывает еще одну любопытную мысль: «Редукционизм стремится заместить собой созерцательный интуитивный платонизм». Где и как это происходит непосредственно в математике – остается для читателей загадкой.
Второе, после платонизма направление, которому Г.Лолли удиляет значительное внимание – это феноменология. Отмечает рост интереса к феноменологии (не уточняя при этом – у кого?). Говорит о том, что позицию Геделя нужно классифицировать не как платонизм, а как феноменологию. Что сам Гедель во второй половине своей жизни размышлял, исследовал и многократно призывал изучать философию Гуссерля… К тому же, еще раньше Геделя испытал влияние Гуссерля Герман Вейль. Но тот же Вейль флиртовал (выражение Г.Лолли или его переводчика) с интуиционизмом весьма недолго (ничего себе не долго – с 1919 по 1928 год – А.В.).
Но еще до этого (видимо, до интуитивизма?) Г.Вейль разработал свою собственную версию конструктивизма, а с самого начала Г.Вейль выступал как трансцендентальный идеалист.
Завершая феноменологические импровизации, Г.Лолли подчеркивает: «Феноменология – это трудный термин, обозначающий сложную философию, которую не будем обсуждать в деталях, поскольку нельзя даже сказать, что она является собственно говоря, философией математики… В отношении математики феноменология не является завершенной философией и не очень известна».
В главе «Формы и модели» (с.257) итальянский профессор философии математики сообщает: «Является весьма привлекательным сказать, что схемы, модели, patterns, структуры – есть результат и объект творческой математической работы, поскольку это стало важным аспектом современной математики… «пластичная» или качественная математика, графы, упорядоченные структуры, конечные геометрии, машины с конечным числом состояний, и весь арсенал дискретной математики выступает как модели для разнообразных процессов и деятельностей».
И вообще, по мнению Г.Лолли, математика – это производство и хранилище моделей. Или, как утверждает цитируемый автором М. Резник: «постулирование математических сущностей, подобно выдумыванию мифов и написанию историй».
Отдельным направлением Г.Лолли выделяет «стихийную философию математиков». «Точка зрения работающего математика представляет собой обычно несостоятельную мешанину различных мнений, поскольку если он действительно работает, то не может посвятить много времени философским вопросам и довольствуется повторением того, что он где-нибудь нахватался» (Надеюсь, Г.Лолли не имеет ввиду таких математиков как Паскаль, Декарт, Ньютон, Лейбниц, Пуанкаре, Брауэр, Г.Вейль и т.д., которые имели весьма оригинальные философские взгляды и даже системы).
Еще в самом начале книги, в предисловии в русскому изданию, Г.Лолли выделяет особо показательный момент – усиление тенденции к освобождению от наследия классических школ, разрабатывавших основания математики в начале XX века, тенденции, которая сейчас пытается оформиться в самостоятельное направление с названием «философия математической практики». Главные ориентиры философии математической практики:
1)антифундаментализм (поиски неоспоримых оснований математики тщетны, математика подвержена ошибкам),
2)антилогизм (математическая логика не представляет адекватного инструментария для анализа математики),
3)акцент на практику.
И в завершении пилотного обзора «Философии математики» Г.Лолли, три вполне скромных утверждения, которые заставляют глубоко задуматься и искать более обоснованных и глубоких пояснений:
1.«В математике же случайные открытия в отличие от естественных наук, не происходит никогда».
Здесь итальянский профессор утверждает некую тотальную предопределенность математических открытий, их неизбежность, программируемость и предсказуемость. Случайности и вероятности непредсказуемого характера якобы отсутствуют в процессе математического познания или исследования. С этим утверждением довольно трудно согласиться.
2.«Теория множеств, отражая на своем языке математические понятия и структуры, совершает акт редукционизма»
По поводу данного постулата могут быть диаметрально противоположные взгляды: а) совершая акт редукционизма теория множеств создает более примитивные и упрощенные понятия и структуры математического понимания и отображения реального или абстрактного мира или б) теория множеств иногда может допускать акты редукционизма, как упрощающие, так и искажающие адекватность математических структур в их отображении математической сущности абстрактных явлений интуитивного логико-математического мира. Но чаще всего теория множеств стремится неоправданно усложнить математические понятия и структуры, создавая структурно-понятийную избыточность символических флуктуаций во имя получения математиками удовольствия от нерегламентируемой символической и лингвистической игры, созидающей хаос, не имеющий достаточно определенной целевой ориентации и глубокого математического смысла. в) могут быть и другие варианты понимания этого утверждения об актах редукционизма в лоне теории множеств, а также перенос этого утверждения в иные математические теории и направления.
3. «Философия математики представляет собой дисциплину, которую продолжают культивировать с прилежанием, что приносит многочисленные плоды».
И тут для меня очередная загадка: о каких плодах намекает Г.Лолли? Если о количестве публикаций, то с ним нельзя не согласиться. Но если о влиянии философии математики на содержание, цели и смыслы математических исследований – возникают большие сомнения. И где критерии, позволяющие определить или вычленить степень эффективности философской математики и разглядеть её многочисленные плоды?
Но в целом, «Философия математики» Г. Лолли – хороший учебник или учебное пособие для студентов и аспирантов философских и математических факультетов, вполне пригодное также для целей самообразования (начального) любопытствующих математиков, не лишенных гуманитарного мировосприятия.
Вторым компонентом для парного сравнения (совершенно случайно) оказалась монография В.Я. Перминова «Философия и основания математики». Однозначно, более фундаментальный труд, с гораздо более плотной упаковкой смыслами, дефинициями и рассуждениями, и более рассчитанный на своих же коллег философов математики или продвинутых философствующих математиков.
К пониманию философско-математической конценпции В.Я. Перминова не так то просто подступиться.
Сразу же бросается в глаза категоричность и парадоксальность его суждений и утверждений. Достаточно сказать, что на второй день моего чтения фундаментального труда «Философия и основания математики» В.Я. Перминова, я пришел к выводу о необходимости разработки нового метода (а может, и целого направления) для чтения подобных текстов, наполненных парадоксальностью и противоречивостью (взаимоотрицание соседствующих постулатов) определений и высказываний автора. Таким образом, 6 февраля 2022 года, в процессе чтения монографии В.Я. Перминова мне пришлось сформулировать основные принципы и ориентиры герменевтического микропсихоанализа, позволяющего осуществлять не только глубинный анализ письменных текстов, но и живой речи, т.е. «текстов» межличностного общения, диалогов, дискуссий, а также внутренних монологов или внутренних ассоциативных размышлений.
Герменевтический микропсихоанализ – это синтез философии, психологии, социологии, антропологии, истории, эволюционизма, теории качественных вероятностей, психоанализа, логотерапии, философской и психологической рефлексии и герменевтики и мн.др. Микропсихоанализ Сильвио Фанти – не более чем отправная идея (синтез психоанализа, трансперсональной психологии и глубинной психологии). Безусловно, это метод интерпретации явлений, текстов и понимания субъекта (личности) на основе собственного жизненного опыта и непосредственного восприятия.
В общем и целом – это небольшое открытие для личного пользования, но потенциально имеющее шансы облечься в продуктивную форму герменевтического анализа (как разновидности) научных и художественных текстов.
Прошу извинения у моих редких читателей, но это необходимо было сделать для понимания моих дальнейших рассуждений.
Итак, мы возвращаемся к «Философии и основаниям математики» В.Я. Перминова.
Как утверждает сам автор: «предметом данной книги является критическое рассмотрение релятивистской философии математики… Вопреки релятивистской философии некоторый методологический инстинкт принуждает нас рассматривать математику как систему абсолютно надежных утверждений и выводов» [8].
Согласитесь, уважаемые коллеги, использование термина «некоторый методологический инстинкт» философом математики, утверждающим строгость и абсолютную надежность математического знания, по крайней мере, несколько настораживает. Хотя бы потому, что этот термин больше похож на поэтическую метафору постмодерниста Жака Деррида или поэтизирующего метафизика-схоласта Мартина Хайдеггера, и изрядно отдает релятивизмом, потому как инстинкт, в строго научном понимании – это «совокупность врожденных компонентов поведения и психики животных и человека», а методология никак не относится к врожденным компонентам человека, являясь продуктом образовательно-познавательной деятельности на основе той или иной культурной социализации.
Никто не собирается оспаривать, что В.Я. Перминов – один из ведущих классиков фундаментальной философии математики в СССР и России, что он значительное время задает тон в дискуссиях о содержании и целях философии математики и разработал свою оригинальную концепцию философии математики, которую именуют априористской философией математики. Но, выдавая себя за апологета истинной и единственно верной науки (в данном случае имею в виду математику, о чистоте и абсолютности коей печется наш радикальный классик) нельзя же постоянно игнорировать в изложении своих текстов и ведения дискуссий элементарные логические и смысловые принципы обоснования научного знания? Конечно, классикам многое прощается. Говорят, что великий физиолог – академик Павлов увольнял с работы сотрудников, которые при нем имели неосторожность употребить в качестве объяснения термин «сознание». Вообще-то в науке, которую настойчиво и методично возносит к абсолютности и непогрешимости философ В.Я. Перминов, бывает много всяких парадоксов и казусов – их перечень мог бы занять объем многотомной энциклопедии.
Например, В.Я. Перминов утверждает в своей монографии: «Мы чувствуем, что прилагая эволюционный тезис к математическому знанию, мы совершаем некоторое насилие над истиной, распространяем в общем верное положение за пределы его действительной значимости… Является несомненным фактом, что математика содержит в себе принципы, обладающие абсолютной надежностью, имеющие вневременное значение, для которых общий релятивистский тезис не имеет силы» [8].
Перевожу предыдущий фрагмент с эзопова языка на повседневный русский. В.Я. Перминов утверждает, что эволюционные законы развития научного знания («эволюционный тезис») в общем-то верны и справедливы, но применять их к развитию науки математики нельзя, ибо это «насилие над истиной» (без объяснения вразумительных причин и последствий). Вероятно потому, что «математика содержит в себе причины, обладающие абсолютной надежностью и имеющие вневременное значение». Тут, по нашему мнению, математике приписывают звание абсолюта, вечного и неизменного, с помощью своих законов правящего миром (что-то подобное было и в марксистско-ленинском диалектическом материализме – единственно верном и неизменном учении). И еще загадочный «общий релятивистский тезис»?.
Как определяет философ науки В.В. Ильин: «Релятивизм не есть гносеологический анархизм, отрицание обязательности познавательных норм, объективных критериев правильности, состоятельности познания; он не исключает признания абсолютов» [4].
Может быть, В.Я. Перминов понимает под «общим релятивистским тезисом» широко распространенное обывательское выражение: «Всё относительно!»? Тогда надо уточнить свою мысль до степени доступного понимания, а не затемнять её труднообъяснимыми «эволюционными» и «релятивистскими» «тезисами».
Аргументируя появление своей априористской философии математики, В.Я, Перминов ссылается: «Еще Л.Фейербах объяснял развитие науки человеческим честолюбием». Думаю, что много веков до Фейербаха древнегреческий философ Гераклит по этому же поводу (человеческое честолюбие в развитии науки) изрек один из своих известных афоризмов: «Многознание уму не научает». Это я к тому, что часто многознание порождает только преувеличенное представление об имеющихся знаниях, когда на самом деле с точки зрения абстрактной мыслящей вселенной они просто наивны и смешны.
В.Я. Перминов развивает тему о бесспорных фактах сознания и при этом использует такие многозначные формулировки как «эмпирическому воззрению противоречит сама история математики». Где и в каком месте противоречит история математики эмпирическому воззрению, и главное – какому и чьему мировоззрению?
Далее: «Аподиктические очевидности не поддаются корректировке и имеют внеэмпирический и внеисторический характер… Очевидность – это только видение истины… Это совершенно общезначимые тривиальности типа 2+2=4, против которых нельзя возражать».
При всем многообразии человеческой фантазии, видимо, только философы математики могут сводить современную науку математику к очевидностям типа 2+2=4.
Своеобразное понимание В.Я. Перминовым роли выдающихся философов и математиков в развитии оснований математики.
Во-первых, «Мы должны сохранить, однако, кантовский тезис о безусловной очевидности математического доказательства».
Во-вторых, «Ложный тезис, что все математические утверждения, в том числе и самые элементарные, не более чем конвенции. Это было ложным шагом, искажающим сущность математического знания… В понимании традиционной математики мы должны идти не за Пуанкаре и Витгенштейном, а за Фреге и Гуссерлем, которые настаивали на однозначной определенности исходных математических очевидностей и на их связи с фундаментальными формами мышления».
По поводу «кантовского тезиса»: М.И. Панов отмечает, что в «Пролегоменах» Кант пишет, что математическое познание от любого априорного познания отличается тем, что оно «должно возникать отнюдь не из понятий, а всегда только посредством конструирования понятий» [5]. … Конструировать понятие по Канту – это значит показать соответствующее ему созерцание, т.е. наглядное представление. Эта мысль очень близка к одной из основных идей интуиционизма о конструировании объектов в мире интуиции [7].
«Установка Канта, - подчеркивал А.Л. Субботин, - принципиально антиформалистична и антилогистична» [10, цит по 5].
По поводу «элементарных конвенций» Пуанкаре и его «ложного тезиса»: Анри Пуанкаре в книге «Ученый и наука» в главе II «Будущее математики» отмечал: «Историку и даже физику приходится делать выбор между фактами… То же самое, a fortiori, имеет место и в математике: математик тоже не в состоянии воспринять все факты, которые в беспорядке предоставляются его уму, тем более, что здесь ведь он сам – я хочу сказать, его прихоть – создает эти факты. Ведь это он строит новую комбинацию из отдельных её частей, сближая между собой их элементы; лишь в редких случаях природа приносит ему вполне готовые комбинации» [9].
Что касается Э.Гуссерля, которого любит упоминать уважаемый В.Я. Перминов, то в последней своей работе «Кризис европейских наук и трансцендентальная феноменология» (1978), Гуссерль показывает, что «чистые» понятия математики и геометрии изначально коренятся в первичных очевидностях «жизненного мира», в дорефлексивной наивности обыденного сознания. В процессе исторического развития эта связь оказывается утраченной, что ведет к глобальному кризису европейской рациональности, которая теряет смысловой горизонт человеческих идеалов и ценностей» [2, 12].
Здесь я бы еще добавил в качестве возражения по поводу вневременной, внеисторической и абсолютной очевидности, мнение канадского философа математики В.Тасича: «Абсолютное знание – это знание самого знания, не как какой-то окончательной вещи, а как понимания того, как оно работает и меняется во времени» [11], а также мнение известного философа математики Я.Хакинга: «То, что мы хотим считать математикой, есть следствие исторических случайностей и никоим образом не является неизбежным» [13].
И еще один аргумент по поводу «ложных элементарных конвенций» и «абсолютных очевидностей» от известного математика Тобиаса Данцига: «… благодаря тому факту, что во внешнем виде этих выражений нет ничего такого, что указывало бы на их законность или незаконность, мы приходим к выводу – ничего не случится, если мы будем считать эти символы нормальными числами.
А отсюда всего один шаг до признания этих символических выражений существующими вообще всегда» [3].
Завершая краткий обзор монографии «Философия и основания математики» В.Я. Перминова, неизбежно приходится констатировать, что книга эта безусловно полезная как для философов, так и для математиков. Но трудно избежать сомнений при чтении целого ряда категорических высказываний, типа «математика является абсолютно надежной наукой в том смысле, что теоремы, записанные в учебниках, не имеют шансов быть опровергнутыми» [8].
Или «Можно сказать, что математическая строгость определяется локальным и, вследствие этого, абсолютным образом» [8].
В первом случае возникает мысль, что в лице Георга Гегеля мир получил окончательное завершение своего развития, а во втором – нечто похожее на квантовую физику – локальное становится вдруг абсолютным, но как осуществилось чудо превращения – остается загадкой для всех наблюдателей.
ЛИТЕРАТУРА
1.Винобер А.В. Философия математики и системного анализа: интуитивные антропологические импровизации // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2021. 12 (41). С. 21-39
2.Гуссерль Э. Кризис европейских наук и трансцендентальная феноменология / Пер. с нем. - СПб.: Владимир Даль, 2004. — 400 с.
3.Данциг Т. Символы // Математики о математиках : сб. статей / Пер. с англ. - М.: Знание 1967. С. 16-23
4.Ильин В.В. Теория познания. Эпистемология / В.В. Ильин. – М.: Издательство Московского университета, 1994. – 136 с.
5.Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей возникнуть в смысле науки / Пер. с нем. – М.: Академический проект, 2008. 176 с.
6.Лолли Г. Философия математики: наследие двадцатого столетия / Пер. с итал. А.Л. Сочкова, С.М. Антакова, под ред. проф. Я.Д. Сергеева. – Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2012. – 299 с.
7.Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. – М.: Наука, 1984. 223 с.
8.Перминов В.Я. Философия и основания математики. – М.: Прогресс-Традиция, 2001. 320 с.
9.Пуанкаре А. О науке: пер. с франц.- М.: Наука, Главная редакци физико-математической литературы, 1983. - 560 с.
10.Субботин А.Л. Лейбниц, Кант и их принципы философии математики // Философия в современном мире. Философия и логика. М., 1974.
11.Тасич В. Математика и корни постмодернисткой философии / Пер. с англ. В.В. Целищев. Серия Библиотека аналитической философии. - М.: Канон+ РООИ «Реабилитация». 2022. 368 с
12.Филиппович А.В. Гуссерль // Новейший философский словарь / Сост. А.А. Грицанов. – Мн.: Изд. В.М. Скакун, 1998. С. 190-192.
13.Хакинг Я. Почему вообще существует философия математики? / Пер. с англ. В.В. Целищев. Сер. Библиотека аналитической философии. - М.: Канон+ РООИ «Реабилитация». 2020. 400 с.
Опубликовано: Винобер А.В. Вольные философско-математические штудии. Очерк первый // Коэволюция и ноосфера: исследования, аналитика, прогнозирование. 2022, №1(17). С. 11-26.