Аннотация: Целью исследования является разноаспектная мифология, постоянно живущая и эволюционирующая вокруг математики и системного анализа. В начале статьи автор высказывает несколько тезисов по поводу истории математики: в истории математики много «белых пятен» и мифов, обусловленных отсутствием конкретной информации об условиях и результатах творчества математиков былых времен; греческая наука и греческая математика - это наследие Крито-Минойской цивилизации; возможно, в будущем будет активно развиваться такая отрасль истории математики как реконструктивно-моделирующая математическая археология (археологическая математика); интуиционизм далеко не сказал своего «последнего слова» и за ним угадывается потенциальное серьезное будущее, если в ближайщие десятилетия всех математиков не заменит искусственный интеллект.
Автор высказывает три серьезные и малоозвученные философские проблемы
математики: 1) неточность, «размытость» и определенная условность
математического знания, 2) ошибочность математизации всех наук и отраслей знаний,
3) сведение живого многообразия реальности к структурам и формализации.
В первом приближении рассмотрена психологическая проблематика науки
математики - невероятно богатое поле для серьезных и глубоких исследований, и часто игнорируемое математическим сообществом (особенно - правоверными логицистами и формалистами). Литература в конце статьи.
Данная статья является продолжением предыдущих статей «Методологические основы моделирования процессов в биосферном хозяйстве» и «Системный анализ и биосферное хозяйство» [8, 9].
Целью исследования является разноаспектная мифология, постоянно живущая и эволюционирующая вокруг математики и системного анализа.
Поводом для написания конкретного эссе (мини-очерка) послужило параллельное одновременное прочтение (на текущей неделе 21-26 декабря с.г.) трех замечательных книг: 1) Яшин Б.Л. Философские проблемы математики (2018) [33]; 2) Успенский В.А. Апология математики (2017) [30]; 3) Кутырев В.А. Бытие или ничто (2015) [20] (последнюю, кстати, еще не дочитал, но совершенно понял для себя, что максимально солидарен с авторскими мыслями и идеями, и отныне буду относить себя к категории антропоконсерваторов, т.е. противников господства искусственного интеллекта и проч. проч.).
Естественно, что данный текст является очередным экспромтом, позволяющим зафиксировать субъективные эмоции по поводу вышеобозначенного и прочитанного, а также того, что давненько уже проникало в мысли и вызывало интеллектуальный зуд самовыражения (точнее, выражения собственного мнения по поводу широко распространенной около научной мифологии).
Книга Б.Л.Яшина понравилась своей строгостью, обстоятельностью и определенной точностью суждений. Полезна как философам, так и математикам. Скорее, намного больше – первым, поскольку вторые, как правило, не читают книг, где много слов и практически отсутствуют формулы, числа, символы и графические (геометрические) отображения.
Книга (сборник статей) В.А. Успенского больше предназначена гуманитарной аудитории и полезна студентам и молодым преподавателям математики для расширения кругозора по поводу всепроникающего влияния своей особенной науки – математики.
Приступая к выражению субъективного мнения, хотелось бы несколько слов (или предложений) выразить по поводу истории математики. Как писал Б.В. Гнеденко [14], математики редко выбирают своей специализацией историю математики. Всё таки, доминирующее формально логическое мышление не всем математикам позволяет увидеть и распознать «размытую» сущность исторического. Опять же – в исторической науке – свои традиции, свои структуры и абстракции, аргументы и проч., которые часто далеки от формально-символического отражения мира, господствующего в математической науке. Иногда, правда, случаются хождения математиков в историю (А.Т. Фоменко), которые порождают бурю парадоксов и противоречий, и переворачивают историю с ног на голову… Но это всё же исключения.
Так вот в истории математики много «белых пятен» и мифов, обусловленных отсутствием конкретной информации об условиях и результатах творчества математиков былых времен – отсюда – домыслы и крайне примитивные представления о развитии мировой математики до появления средневековой европейской математики, породившей впоследствии почти абсолютный евроцентризм всей математической науки.
От знаний математики прошлых тысячелетий уцелела в лучшем случае 1/1000 часть, запечатленная на глиняных табличках, на папирусе и других менее долговечных носителях информации.
Если сравнить, например, с античной философией и литературой, где в лучшем случае сохранилась 1/100 часть былых текстов, то с математическими текстами – историческими артефактами дела обстоят как минимум на порядок хуже. А ведь в античной философии от некоторых великих философов до нашего времени дошло 1 или 2 афоризма.
Общепринятое мнение – среди математиков (и многих других интеллектуалов), что математика как наука, впервые получила начальное полноценное развитие в Древней Греции, ориентировочно с V века до н.э. А тот момент, что в III и II тысячелетии до н.э., т.е. на 1,5-2,5 тысячи лет ранее, в Древнем Египте, Шумере, Хараппе и Мохенджо Даро (древне индийская цивилизация) и на Крите осуществлялось сложное техническое строительство пирамид, храмов, дворцов, каналов, канализации и других объектов – это как бы полагается, происходило на почти инстинктивном уровне и никакие математические знания при этом не использовались, и следовательно, математики не существовало. Но археологи и историки нематематического профиля считают, что древние индийцы добились значительных успехов в развитии научных знаний, в том числе, и в математике. Но поскольку математико-астрономические тексты эпохи Индской цивилизации до нас не дошли, а имеющиеся надписи не расшифрованы, то судить об уровне этих знаний можно лишь косвенно – по сохранившимся предметам материальной культуры.
Так называемая теорема Пифагора, известная в Вавилоне, Индии, Китае уже за несколько тысячелетий до жизни древнегреческого математика, присутствует во всех редакциях шульва-сутр, начиная с самой ранней. Не исключено, что широкое применение этой теоремы было в древней Индии основано на теоретической выкладке, а не на эмпирических данных [3].
Если отталкиваться от такой позиции, то труд индийского математика Ариабхаты (499 год) [10], это своеобразная энциклопедия, где отражены знания прошлых эпох, в том числе, знания времен Хараппы и Мохенджо Даро, которые были обретены индийскими математиками 4500-5000 лет назад.
Нечто похожее прослеживает в своей работе Ю.В. Чайковский [32] по отношению к греческой математике, углубляя её историю на несколько веков. Но по нашему мнению – греческая наука и греческая математика – это наследие Крито-Минойской цивилизации (письменность которой пока не расшифрована), которая оставила после себя удивительные артефакты архитектуры и искусства. По расшифрованному более позднему письму (около 1500-1450 г. до н.э.) у крито-минойцев была хорошо разработана система складского учета (почти за тысячу лет до Пифагора), не говоря о строгих геометрических пропорциях в сложной архитектуре дворцов и лабиринтов.
Возможно, в будущем будет активно развиваться такая отрасль истории математики как реконструктивно-моделирующая математическая археология (археологическая математика), в результате чего можно будет восстановить действительную логику исторического развития математики на протяжении всех пяти тысячелетий письменной цивилизации.
Монографии и труды по истории математики весьма резко различаются по стилю изложения и степени насыщенности собственно математическим содержанием.
Если, для примера, сравнить три весьма известных труда по истории математики: И.Г. Цейтен [31], Н. Бурбаки [1] и отечественную «Математику XIX века» [23], то сразу бросается в глаза «плотность математического материала». Самая математическая история, можно сказать, у Н.Бурбаки. Но сколько в ней субъективного отношения к реальным фактам математической истории. Например, интуиционизм – одно из ярких течений в математике XX века, французские математики-историки представляют как некий «курьёз». Хотя, по мнению А. Маркова (и многих других конструктивистов), по мнению Г. Вейля – одного из самых ярких математиков первой половины XX века (не говоря о самих математиках-интуиционистах), многие из взглядов Брауэра, Гейтинга и иже с ними, были восприняты и усвоены математиками конструктивного направления, неудовлетворенными господствующим в настоящее время «теоретико-множественным образом мышления» [4, 12, 27].
Как утверждал Г.Вейль: «Брауэр открыл нам глаза и показал, как далеко классическая математика, питаемая верой в «абсолютное», превосходящее все возможности человеческого понимания, выходит за рамки таких утверждения, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на опыте» [4].
Как отмечал в своей замечательной философской монографии «Методологические проблемы интуиционистской математики» М.И.Панов: «Брауэр отверг за логикой право быть «инструментом для добывания математических истин», считая, что математика рождается на интуитивной дологической стадии, а за ней возникает язык как средство фиксации и передачи математических мыслей. Однако, это средство неточное, ибо изначально неточен человеческий язык. Логика – это всего лишь механическая имитация языка, все недостатки которого сразу же становятся недостатками логики. Поэтому единственным источником математики является интуиция» [27].
И разве мало найдется современных математиков, которые бы не разделили утверждение Гейтинга о том, что «для математической мысли характерно, что она не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями»? [12]
В самом деле – как можно представлять «курьезом» явление, которое всерьез потрясло здание математического формализма в первой половине XX века, «выбивая из коллеи» (из равновесия) таких гигантов математической науки, как Д.Гильберт?
Интуиционизм далеко не сказал своего «последнего слова» и за ним угадывается потенциальное серьезное будущее, если в ближайшие десятилетия всех математиков не заменит искусственный интеллект. Что вовсе не является наивной гипотезой, как можно было думать лет 30-40 назад. «Искусственный интеллект» уже основательно «наступает на пятки» математикам, производя сложнейшие математические доказательства, непосильные для отдельно взятого человеческого ума, и которые математики порой не в силах проверить коллективно [19]. И тогда это будет подлинное потрясение всего фундамента математической науки, построенной на человеческой логике и интуиции.
Да простит меня добрый читатель за такое случайное отвлечение и забегание вперед!
В сознании представителей гуманитарных наук прочно укоренился стереотип (скорее, миф): математики говорят на языке символов, строго и однозначно формулируют выражения и также однозначно понимают мысли друг друга. В качестве еще одного случайного примера приведем два высказывания: двух довольно известных советских математиков и одного тоже известного – шведского.
В «Математической логике» Ю.Л. Ершова и Е.А. Палютина в параграфе 36 «Рекурсивные функции» звучит: «Тезис Черча: любая вычислимая частичная функция частично рекурсивна. Исторически именно это утверждение было первым точным математическим определением понятия (алгоритмически) вычислимой функции» [18].
В «Очерках по конструктивной математике» П.Мартина-Лёфа звучит: «Чёрч выдвинул тезис о том, что интуитивное понятие эффективности равнообъемно с точным математическим понятием рекурсивности… Одна половина тезиса утверждает, что рекурсивно перечислимые множества эффективно перечислимы также в интуитивном смысле… Вторая половина тезиса Чёрча – основная. Она утверждает, что множество, эффективно перечислимое в интуитивном смысле, также и рекурсивно перечислимо» [22].
А теперь попробуйте объяснить гуманитарию, далекому от математических мейнстримов: об одном и том же тезисе Чёрча говорят уважаемые математики или они разумеют разные тезисы Чёрча?
И тут начинаешь понимать великого А.Пуанкаре: «с точки зрения Гильберта, математики комбинирует только чистые символы, и настоящий математик должен рассуждать о них, не заботясь об их смысле. Его аксиомы не являются для него тем же, чем они являются для обыкновенного человека» [29].
И еще несколько строк по поводу тезиса Чёрча: «Тезис Чёрча – это своего рода гипотеза: класс рекурсивных функций тождественен классу всюду определенных вычислимых функций, т.е. рекурсивная функция всегда вычислима. Доказать этот тезис невозможно из-за того, что вычислимая функция не имеет строгого определения. Доводом в пользу тезиса Чёрча является то обстоятельство, что все известные до сих пор рекурсивные функции оказались вычислимыми.
Представители конструктивного направления принимают тезис Чёрча, а интуиционисты не признают… Гейтинг выдвинул следующие аргументы против тезиса Чёрча: каждое конечное множество рекурсивно, следовательно, каждое подмножество конечного множества рекурсивно, но эффективного метода, позволяющего задать каждое подмножество конечного множества списком его элементов и тем самым получить основания для вычислимости, не существует» [27, 13].
Из выше озвученного вытекают три серьезные и малоозвученные философские проблемы математики:
1) неточность, «размытость» и определенная условность математического знания,
2) ошибочность математизации всех наук и отраслей знаний,
3) сведение живого многообразия реальности к структурам и формализации.
Далее, мы намереваемся доказать наличие названных философских проблем математики (скоре всего – в последующих статьях с одноименным продолжающимся названием).
Пока же, отвлекаясь ненадолго от философских и исторических казусов математического знания, коснемся, в первом приближении, психологической проблематики науки математики. Невероятно богатое поле для серьезных и глубоких исследований, и часто игнорируемое математическим сообществом (особенно – правоверными логицистами и формалистами).
Существует широко распространенное в научной среде, в том числе и среди математиков, безоглядное утверждение – обвинение в психологизме: если кто-то посмеет рассматривать психологическую основу процесса познания и психологические особенности самих познавателей – его быстро объявляют «психологистом» и считают, что тема закрыта. Так делают все поклонники «чистого знания» в философии, логике, социологии, в математике и антропологии.
Процесс бурного развития математики в XIX веке [1, 23] породил такое явление как идеализация математики и математиков. Явление относится больше к сфере околонаучной мифологии, но многие ученые всерьез проникаются этим мифом и всемерно его транслируют и сами начинают в него верить. Скажу (по большому секрету) – математика – вполне обыкновенная наука, ничем не превосходящая философию, психологию или антропологию, а также многие иные отрасли научного знания. Математики – вполне обычные люди, со всеми присущими другим людям (не математикам) интеллектуальными, моральными и поведенческими качествами. Воспеваемый ими фанатизм по отношению к своей науке и к своим результатам – не более чем обычное тщеславие и чуть повышенная жажда самовыражения. Кристальная честность и преданность делу служения истине присуща может быть единицам из всего их исторически совокупного сообщества.
В качестве примера: выдающийся французский математик Коши(по отзывам своих коллег – эгоист и лицемер) успешно «затерял» рукопись еще более выдающегося норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, присланную ему на отзыв Парижской академией наук [мемуар «Об одном общем свойстве весьма обширного класса трансцендентных функций» в 1826 году]. В результате, по вине Коши, эта рукопись увидела свет только через 12 лет, после смерти Абеля, в 1841 году. А прояви Коши элементарную человеческую порядочность и своевременно признай гениальность юного коллеги из Норвегии, последний мог бы прожить не 27 лет, а скажем, хотя бы 50 лет и еще 23 года творил бы уникальные вещи (символические произведения) на пользу своей науки [26, 23].
Аналогичным образом (подобно Коши) вели себя английские коллеги-математики (за исключением Г.Харди и Т.Литлвуда) по отношению к приехавшему в далекую Британию индийскому гениальному самоучке Рамануджану, проявляя снобизм, спесивость и даже не изжитый тогда расизм. А ведь отнесись они к коллеге Рамануджану искренно по-человечески, и весьма вероятно, что он бы не умер от чахотки в 32 года.
О высоких моральных качествах в среде математиков также говорит случай совсем недавний, произошедший с Григорием Перельманом, проявившем предельные математические качества и получившем уникальный математический результат, в процессе подтверждения которого отдельные американские, китайские, да и российские коллеги, тоже повели себя, мягко говоря, не этично, что в значительной степени повлияло на психику уникального одаренного математика, и он практически оказался утерян для мировой науки на самой предельной точке своего творческого математического взлета.
В общем, тема эта чрезвычайно богатая и требующая серьезного осмысления.
Можно сказать и обратное – среди математиков действительно встречается немало истинных служителей своей науки (или – математического искусства).
Богатейший материал психологической жизни математиков дают автобиографии и биографии, что позволяет проникнуть не только в глубины творческих приемов и механизмов мышления, но и во многие другие аспекты психологической жизни науки математики и её творцов.
В качестве классического примера хочу привести автобиографии Н.Винера, Л.С. Понтрягина, Н.Н. Моисеева, Е.С.Вентцель (И.Грековой) [7, 16, 17, 21, 25, 28].
Когда-то, в начале XX века, великий французский математик А.Пуанкаре писал о том, что наука вне моральна, что не может быть научной морали, как и моральной науки.
А. Пуанкаре действительно был истинным служителем математической Музы (науки). Но тезис его о внеморальности науки конечно же устарел.
Давайте зададимся вопросом – могла ли появиться без участия математиков атомная бомба или все виды новейших вооружений и вся экспансия техногенной цивилизации?
Снобизм и ограниченность математики очень ярко проявились во второй половине XX века, при бурном развитии прикладной математики и становлении системного анализа (который многими математиками представляется количественной наукой и исключительно математическим приложением).
Во-первых, среди математиков был долгий спор (до сих пор не получивший завершения): одна ли есть математика или же их две: «чистая» и «прикладная» [16, 5, 6].
В 70-е и 80-е годы XX века уже прояснилось, что обещанное и прогнозируемое чудодействие математических методов в моделировании и прогнозировании сложных больших систем в значительной степени не состоялось. То есть, наряду с несомненными успехами были и серьезные неудачи и разочарования. Один из ведущих организаторов советского и международного направления системного анализа Дж.М.Гвишиани приводит слова известного американского системного аналитика Форестера: «математика слаба, когда сталкивается со всей сложностью и нелинейностью реальных ситуаций». И резюмирует: большие надежды, возлагавшиеся на применение математических методов моделирования и имитации, постепенно развеиваются – поведение социальных систем весьма ограничено поддается методам количественного анализа [11].
Близкую точку зрения высказывает выдающийся советский математик Е.С. Вентцель (И.Грекова): «Надо прямо смотреть в глаза фактам и признать, что применение математических методов не полезно, а вредно до тех пор, пока явление не освоено на гуманитарном уровне» [16].
Сходную точку зрения (с Д.М. Гвишиани и Е.С. Вентцель) высказывает также академик-математик Н.Н. Моисеев: «многие связи, играющие важную роль в биосферных процессах, мы пока не в состоянии формализовать, т.е. описать их на языке математики. Для их представления мы вынуждены использовать различного вида параметризации, основанные на экспертных оценках» [24].
Да и в целом, во всей математике, в её многочисленных ответвлениях («на пути превращения в Вавионскую башню» [2]) в значительной степени доминирует тенденция, отмеченная еще 65 лет назад Н.Винером: «тенденция придумывать постулаты ради постулирования, и писать научные статьи ради их написания, получила широкое распространение в современной математике» [7].
Как говорится, на лицо – глубокий перманентный кризис. Особенно ярко это заметно на фоне продвижения внедренческих работ по созданию искусственного интеллекта [19, 20].
ЛИТЕРАТУРА
1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. с фр. – М.: Издательство иностранной литературы, 1963. 292 с.
2. Бурбаки Н. Архитектура математики / Перевод с французского Д.;Н. Ленского // Математика, ее преподавание, приложения и история, Матем. просв., сер. 2, 5, 1960, С. 99–112.
3. Бонгард-Левин Г.М. Древнеиндийская цивилизация. Философия, наука, религия. – М.: Наука, 1980. 332 с.
4. Вейль Г. Математческое мышление / Пер. с англ. и нем. – М.: Наука, 1989. – 400 с.
5. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. – М.: Сов. радио, 1964.- 386 с.
6. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1980. 207 с.
7. Винер Н. Я – математик. 2-е изд., стереотип. / Пер. с англ. – М.: Наука, 1967.
8. Винобер А.В. Системный анализ и биосферное хозяйство: теоретические и прикладные аспекты формирования ноосферы / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2020 № 4 (22). С. 5-14
9. Винобер А.В. Методологические основы моделирования процессов в биосферном хозяйстве / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2020. - 8 (26) . - С. 16-31
10. Володарский А.И. Ариабхата. – М.: Наука, 1977. 111 с.
11. Гвишиани Д.М. Избранные труды по философии, социологии и системному анализу. – М.: Канон+, 2007. – 672 с.
12. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение / Пер. с англ. – М.: Мир, 1965. – 199 с.
13. Гейтинг А. Тридацать лет спустя // В кн. Математическая логика и её применение. – М., 1965
14. Гнеденко Б.В. Введение в специальность математика. – М.: Наука, 1991. 240 с.
15. Грекова И. Кафедра / Повести. – М.: Советский писатель, 1983. 542 с.
16. Грекова И. (Вентцель Е.С.). Методологические особенности прикладной математики на современном этапе ее развития // Вопросы философии. 1976. № 6. С. 104-114.
17. Е.С. Вентцель – И.Грекова. К столетию со дня рождения / Сост. Р.П. Вентцель, Г.Л. Эпштейн. – М.: Изд.дом «Юность», 2007. – 240 с.
18. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. – М.: Наука, 1979. 320 с.
19. Искусственный интеллект – надежды и опасения : сборник : пер. с англ. / под ред. Джона Брокмана. – М.: Изд-во АСТ, 2020. 384 с.
20. Кутырев В.А. Бытие или Ничто. – М.-Берлин: Директ-Медиа, 2015. 880 с.
21. Левин В.И. Елена Сергеевна и Дмитрий Александрович Вентцели – выдающиеся военные ученые и педагоги. – СПб: Наукоемкие технологии, 2017. 53 с.
22. Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике / Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. 135 с.
23. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1981.268 с.
24. Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития. – М.: Наука, 1987. 303 с.
25. Моисеев Н.Н. Как далеко до завтрашнего дня... : Свободные размышления, 1917-1993. / Н.Н. Моисеев. - М. : Тайдекс Ко, 2002. 488 с.
26. Оре О. Замечательный математик Нильс Хенрик Абель. М.: ГИФМЛ, 1961. 343 с.
27. Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. – М.: Наука, 1984. 223 с.
28. Понтрягин Л. С. Жизнеописание Льва Семёновича Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908 г.,Москва. – М.: Прима В, 1998. — 302 с.
29. Пуанкаре А. О науке: пер. с франц.- М.: Наука, Главная редакци физико-математической литературы, 1983. - 560 с.
30. Успенский В.А. Апология математики. – М. : Альпина нон-фикшн, 2017. 622 с.
31. Цейтен И.Г. История математики в древности и в Средние века / Пер. с фр. / Репринт 1932 г. – М.: Директ-Медиа, 2014. 232 с.
32. Чайковский Ю.В. Лекции о доплатоновом знании. М.: КМК, 2012. – 486 с.
33. Яшин Б.Л. Философские проблемы математики: история и современность. – М./Берлин: Директ-медиа, 2018. 209 с.
Опубликовано: Винобер А.В. Введение в философские и психологические проблемы математики и системного анализа. Очерк 1 / А.В. Винобер // Биосферное хозяйство: теория и практика. 2020 № 12 (30). С. 29-42