НЕЗАБЫВАЕМАЯ ТЕОРЕМА
На сайте «Проза.ру» помещена статья Леввера о книге английского журналиста С.Сингха «Великая теорема Ферма». В статье приводятся подходы к разным доказательствам. Наверное, многие могут вспомнить свои попытки доказательства, которые казались убедительными. Автор пишет: «… поставленная Ферма проблема официально закрыта. Но ведь никто не утверждает, что её нельзя решить по иному…» В своё время и мы пытались это делать, но постепенно всё забылось. Выше упомянутая статья вдохновила на новую попытку. Ниже попытаемся изложить доказательство, посильное для понимания студентом технического вуза.
Формулировка теоремы. Доказать до какого показателя степени n справедливо равенство X^n + Y^n = Z^n, где X,Y, Z - целые положительные числа, каждое возведённое в степень n. Поскольку в алфавите «Проза.ру» нет шрифта для написания показателя степени, то написание через ^ будет обозначать X в степени n или X^n , X^(n-1) - в степени (n-1) и т.д.
Если читатель хочет почувствовать динамику исходного выражения, то можно взять какое – то целое X (начиная с наименьших), далее Y > X (больше >X), возвести их в какую – то степень n >2 по выбору читателя. Далее, попытаться найти методом подбора число Z и возвести его в степень n , Z^n , чтобы получить исходное выражение. Можно быть уверенным, что такие числа не найдутся. Кроме как для степени n =2. В этом и заключается интрига теоремы Ферма. Перейдём к доказательству.
Каждое отдельное равенство будем нумеровать, чтобы без повторов сделать ссылку.
1) Исходное равенство X^n + Y^n = Z^n. Разделим каждое слагаемое на Z
2) X^n/ Z + Y^n/ Z. = Z^(n-1). Символ / является знаком деления. Сумма в левой части должна давать целое число Z^(n-1). Продолжаем делить на Z до Z^(n-1).
…..»………»……..»… Это процедура деления на целое чмсло
3) X^n/ Z^(n-1) + Y^n/ Z^(n-1). = Z. Разделим ещё раз, последний, на .Z
4) X^n/ Z^n + Y^n/ Z^n. = 1. В левой части дробные числа, каждое меньше единицы. Разложим единицу на сумму 1 = a + b. Запишем последнее равенство с этим выводом.
5) X^n/ Z^n + Y^n/ Z^n. = 1 = a + b. Точное значение a и b неясно, но a < b..
Можно записать X^n/ Z^n = a <1, Y^n/ Z^n.= b<1. .
Составляющие в данных равенствах являются показательными функциями от аргумента n. Заметим, что показательная функция геометрически отображается параболой. При возрастании n функция быстро возрастает.
6) Напишем из последнего равенства: X^n = a Z^n , Y^n .= b Z^n . Извлечём корень степени n из этих уравнений. X = ( корень степени n из a ) Z; Y.= (корень степени n из b) Z. Любой корень из чисел меньше единицы, a и b, даёт числа, больше исходных. Например, корень квадратный из числа 0,5 равен ~ 0,7, из числа 0,7 равно ~ 0,8. и т.д. При извлечении корня большей степени увеличение результата будет ещё большим. При извлечении корня получим дробное число меньше единицы, при умножении дробного числа на целое Z получим не целые X и Y. Это противоречит постановке задачи. Кроме того, наблюдаем изменение исходных X, Y при «возврате» от равенства 5) к исходному 1). Это означает, что не для никаких исходных X, Y, Z не существует показателя n, чтобы исходное равенство 1) корректно согласовывалось с результатом 5) при возведения в степень n исходных чисел.
Давно известно, что для n = 2 можно подобрать исходные числа X, Y и Z. Покажем это.
Принимаем прямоугольный треугольник с катетами X и Y, гипотенузой Z. Графически треугольник в данной статье строить не будем, в силу его простоты. Будем считать, значение X, Y, Z позволяет построить прямоугольный треугольник. Тупоугольный треугольник рассмотрим ниже.
7) Прямоугольный треугольник имеет два острых угла q (ку) и t (тэ). Вычислим для угла q тригонометрические функции sin q и cos q. Примем sin q = X/Z и cos q.= Y/Z. Вспомним, что для этих функций есть соотношение в прямоугольном треугольнике.
sin^2 (q) + cos^2 (q) =1. Подставим значения sin q и cos q в это соотношение.
X^2/ Z^2 + Y^2/ Z^2. = 1 или X^2 + Y^2. = Z^2. Это же можно сделать для угла t (тэ).
Получили то, что следует доказать, n =2 для X, Y, Z, которые могут быть в прямо-угольном треугольнике. Критерием верности выбранных X, Y, Z является возможность построения из этих отрезков прямых прямоугольного треугольника.
Читатель, которого заинтересовало доказательство, может предложить доказать это для треугольника с тупым углом. Можно это сделать прямо сейчас для каких – то X, Y, Z.
Построим тупоугольный треугольник ABC. Тупой угол в точке.B. Длинную сторону AC, равную Z, расположим горизонтально. Из т.B опустим перпендикуляр (высоту) в точку D на сторону AC. Таким образом, треугольник разбили на два прямоугольных ABD и BCD. Высоту BD обозначим h
В прямоугольном треугольнике ABD угол между катетом AD = d, как части AC = Z, и гипотенузой AB =X, обозначим q . В треугольнике BCD угол между катетом DC = (Z - d) и гипотенузой BC = Y обозначим t .Найдём sin и cos для углов q и t аналогично 7)..
8) sin q = h/X, cos q= d/ X; sin t = h/ Y, cos t = (Z-d)/Y, Найдём соотношения аналогичные 7). Для треугольника ABD: sin^2q + cos^2q = 1. Подставим значения функций: ( h/X)^2 + (d/ X)^2 =1 или h^2 + d^2 = X^2.
Для треугольника BCD sin^2t + cos^2t = 1. Подставим значения функций: (h/ Y)^2 + (Z-d)/Y)^2 = 1 или h^2 + (Z-d)^2 = Y^2
Запишем сумму X^2 + Y^2 , поскольку углы q и t расположены в одном треугольнике ABC. X^2 + Y^2 = h^2 + d^2 + h^2 + (Z-d)^2 = Z^2 + 2h^2 - 2Zd + 2d^2 = Z^2 + W
X^2 + Y^2 = Z^2 + W. Буквой W = 2h^2 - 2Zd + 2d^2 обозначено, то чего нет в 7). Наличие W определяет отличие тупоугольного треугольника от прямоугольного. Это доказывает, что значение параметров X, Y, Z тупоугольного треугольника не отвечает исходным условиям 1) теоремы Ферма.
Таким образом, доказательство показало, что поставленным условиям отвечает только n =2 для X, Y, Z, составляющих стороны прямоугольного треугольника.
Будем считать, что наше доказательство теоремы Ферма закончено. Под впечатлением величия теоремы у нас родилось предложение использовать внешнюю форму теоремы для отражения некоторой человеческой сущности. Если через X обозначим человека одного пола, Y - другого пола, то суммирование даст нам семью или Z. Если человека представить как совокупность биологического начала и его социальной роли в обществе, тогда более логично промоделировать человека значением X^2 и Y^2. Семья включает маленьких и взрослых, с их биологической и социальной составляющими. Тогда полная модель семьи может быть отражена формулой X^2 + Y^2 = > Z^2 . Строгий читатель может усмехнуться. Но, если есть модель, то где – то она может найти применение.
Шулепов В.Г., май, 2021г.
г.Калининград