На пороге весна 2021 года. День уже явно длиннее, солнце ярче и теплее. Кошка по утрам стала требовать игры в мяч. Или в пробку от бутылки вина. День на день не приходится. В общем, хандра отступила, организмы ожили. По итогу - здоров, Весна, и привет тебе, весеннее обострение! Ну, пошли вперед.
Пока из торчащего в голове - идея про математику. Точнее - про матанализ. Поговаривают, что его прародителем была геометрия.
Вспомним формулу расчета пройденного пути при прямолинейном равноускоренном движении: S=Sо+Vо+at^2/2, где t - время в пути; S - пройденный за время t путь; Sо - путь, пройденный до начала отсчета времени; Vо - начальная скорость в момент (начала отсчета) времени t=0; at^2/2 - произведение ускорения "a" на время в квадрате (t^2, здесь невозможно присобачить показатель степени как положено), о - знак ноля, показывающий, что величина отсчитывается от (с или до или вправо-влево) времени t=0. Можно указать, что к S можно справа приклепать (t), тогда получится S(t), а исходя из языка математики, это означает, что S является функцией (зависящей) от времени.
Так вот, если взять производную по времени от (формулы) пройденного пути, то получится следующее:
DS(t)=D[Sо+Vо+at^2/2]=Vо+at, где D - знак производной, здесь не поставить штрих как положено. Известно, что a=(V-Vо)/t. Отсюда Vо+at=V. Также можно записать, что V(t)=Vо+at. Итак, производная от пути по времени равна скорости, набранной (объектом) в конце отсчета времени.
Теперь возьмем производную по времени от V(t)=Vо+at. DV(t)=D[Vо+at]=a. Итак, первая производная по времени от V(t), она же вторая производная от S(t), равна ускорению, с которым движется объект. Или которое придается объекту. Следующая производная (третья от пути) по времени дает рывок. Правда, тут идет речь о вектора рывка как производной от вектора ускорения. Т.е. это уже векторные величины. А вот следующая производная (четвертая производная от пути), естественно, дает ноль. Кстати, ноль или нуль? Как по математике, так надо писать нуль. Но руки сами фигачат ноль. Если уж действовать строго по математике, то дальше будет нуль. Все эти формулы давным-давно известны. Но вот я в очередной раз поражаюсь/удивляюсь стройности математики, а то и нашей природы, или вообще Вселенной. Блин, ну почему все так строго и точно? И ведь не подвинешь. Вросло навечно.
Захотелось поковырять другое, из области геометрии. Вот шар с радиусом Rш, то же - диаметром Dш=2Rш. Его объем Vш=(4ПRш^3)/3. Здесь П - это число Пи=3,14... Можно записать, что объем шара есть функция от его радиуса - Vш(Rш). Нечего стесняться, оно так и есть. Первая производная от Vш по радиусу дает нам DVш(Rш)=D[(4ПRш^3)/3]=4ПRш^2. А это уже площадь поверхности шара. Такие же результаты, в смысле перехода от объема к площади поверхности через дифференцирование, получаются у цилиндра с диаметром основания, равным диаметру D шара и высотой D (цилиндр описан вокруг шара), а также у куба с длиной ребра D (куб описан вокруг шара и цилиндра). Итак, промежуточный итог: площадь шара 4ПR^2, площадь поверхности цилиндра 6ПR^2 (как производная от Vц=(ПDц^3)/3=2ПRц^3), а площадь куба равна 24R^2 (производная от Vк=Dк^3=8Rк^3). Дальше не буду морочиться и стану употреблять просто D или R, все равно Dш=Dц=Dк=2Rш=2Rц=2Rк=D=2R. Теперь в формулах площади этих фигур заменим двойной радиус 2R на D. После чего распишем первые производные так: DVш=Sш=2ПD^2, DVц=Sц=3ПD^2/2, DVк=Sк=6D^2. И от каждой площади получим производную. Получается: DSш=2ПD=4ПR, DSц=3ПD=6ПR, DSк=12D=24R. Для куба очень разумно - получили длину всех его граней (границ). Не очень гладко интерпретируются результаты дифференцирования площадей круга и цилиндра. Допустим, у круга это длины двух окружностей (границ) в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. А вот для цилиндра - это граница по кругу снизу и сверху и еще где-то. Может в середине? Тут два наблюдения. Первое: объем и площадь цилиндра больше объема и площади круга на 3/2 или 1,5. Второе: Если рассмотреть отдельно боковую поверхность цилиндра, то оказывается, что ее площадь равна площади поверхности шара, вписанного в этот цилиндр. Смотрим: Sц=6ПR^2=ПR^2+ПR^2+4ПR^2, где первый и второй ПR^2 - площади двух оснований цилиндра, а вот 4ПR^2 - все остальное, а это именно боковая поверхность, и она равна точно площади поверхности вписанного в цилиндр шара. Прям красота! Раньше я, например, на это не обращал внимания, а, может, вообще не знал. Третьи производные от всех формул (вторых производных) дадут константы, четвертые однозначно выведут на нуль. Вот, получается, что в нашем трехмерном мире объемные объекты с каким-либо кубом ниже четвертой производной не идут.
Шар, цилиндр и куб гомеоморфны/топологически эквивалентны. Хотя куб выглядит как-то угловато, но его, как и очевидно, шар, как и цилиндр, можно стянуть в точку не прибегая к разрывам их поверхностей (и окружающего пространства тоже). Вот и видно, что эквивалентность в топологии говорит о схожести других свойств.
Тут еще одна заковыка, торчащая в голове. Почему мы смело приравниваем П (3,1415926535...) к константе, производная которой дает 0? Почему мы так не делаем с числом е (2,7182818284...)? Все намертво знают, что производная е в степени х дает ту же самую е в степени х. Чем Пи хуже е? Они оба трансцендентны и иррациональны. Текущее состояние вычислений обоих чисел показывает, что для Пи определено 31,4 триллиона знаков после запятой (Гугл), для е - два миллиона (НАСА). Кажется, что маловато, всего-то 2 млн. Кто-то в сети указал, что для е вычислено "31 415 926 535 897 цифр". Но мне кажется, что это ошибка, и это количество знаков для Пи.
Шар есть вещь чрезмерно круглая, гладкая, идеальная. Бесконечное количество раз повторяющаяся. Это при условии, что повторение шаровых форм в бесконечной Вселенной должно происходить бесконечно. А м.б. Вселенная конечна? Тогда повторения шаровых форм в природе конечны, но они всегда будут бесконечны в теориях ученых, да и вообще в представлении. И вообще шар - это максимум массы (а м.б. и энергии? Вспоминается шаровая молния) при минимуме поверхности. Так, сила поверхностного натяжения воды превращает свободно падающую каплю в шарик. Конечно, её будет сплющивать наваливающийся (набегающий) снизу поток воздуха. Но если убрать сопротивление воздуха, например созданием вакуума, то все приходит в священную норму и капля становится идеальным шаром. Еще пример. Если взять литр/1 кг воды и залить полностью в куб, то площадь поверхности куба будет 600 квадратных сантиметров, а если залить тот же литр в шар, то его площадь составит чуть менее 482 квадратных сантиметра. Калькулятор дает 481,836 см. кв., естественно с округлениями и приближениями. Причем из-за Пи невозможно точно вычислить ни объем, ни площадь шара. С каждой вновь определенной цифрой после запятой в Пи площадь (и объем) будут увеличиваться. В случае с объемом это безобразие будет продолжаться вечно-бесконечно, даже когда вдруг случиться получить в Пи два нуля подряд. Скажутся 4/3. Ну, вот, почему не 3/4? А если залить литр в параллелепипед с размерами 5х10х20 см, то площадь его поверхности станет уже 700 кв. см. Еще заметил то, что раньше проходило мимо головы, возможно потому, что не нужно было. Если захотеть накрыть полусферу каким-то материалом, то материала понадобится ровно как две площади круга, на которую опирается эта полусфера. А, соответственно, для шара - четыре таких площади.
Ради любопытства посмотрел в вики формулу для "Объёма n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве". Их несколько. Из-за простоты (кажущейся?) понравилось представление в виде рекурсивной функции. Объём n-мерного шара через объём шара размерности (n-2) выражается как: Vn(R)=((2ПR^2)/n)*V(n-2)(R), здесь знак *- знак умножения. В этом "блокнотском" формате не написать формулу по привычному стандарту. Для упрощения написания уберу показатель функциональности объема от радиуса (R). Получится: Vn=(2ПR^2)*V(n-2)/2. Т.е. объем n-мерного шара равен произведению площади круга на объем шара с размерностью на два меньше и на дробь 2/n. Вики пишет, что объем двухмерного шара ПR^2 (площадь круга), а одномерного шара 2R (диаметр). Вот, в одномерном мире шар есть отрезок. Да, по ходу встретил обозначение площади n-мерной фигуры как объем границы (гиперсферы), объем обозначался как гиперобъем с обозначением W. Но я не стал переходить на эти названия и обозначения. Пусть подразумевается под площадью гиперплощадь, а под объемом гиперобъем.
В вики в статье "Шар" была формула (в виде рекурсивной функции) для объема n-мерного шара (Vn(R)=((2ПR^2)*V(n-2)(R))/n или попроще Vn=((2ПR^2)*V(n-2))/n, но не было формулы для площади n-мерного шара. Я повозился и нашел ее. Хотя, наверное, в сети она где-то есть. Захотелось найти самому. Воспользовался ходом, прописанным чуть выше по тексту. Взял производную от объема шара (соответствующей размерности) по радиусу. Для n=4 объем шара Vш4=(П^2*R^4)/2, производная, или Sш4=2П^2*R^3. Для n=5 объем шара Vш5=(8П^2*R^5)/15, площадь (производная) Sш5=(8*П^2*R^4)/3. И так далее. Тут вполне заметно, что "цена перехода" на одну размерность выше составляет 2ПR и еще что-то. Еще что-том оказался объем шара размерностью n-2. Итого формула площади шара размерностью n выглядит так: Sn=2ПR*V(n-2), а, если строго по науке, то Sn(R)=2ПR*V(n-2)(R). Проверочное интегрирование (конечно, по радиусу) дает ожидаемый переход от площади поверхности к объему шара одинаковой размерности. Итак, когда речь идет об объеме многомерного шара, нам природа предлагает воспользоваться неизменным множителем - площадью круга/проекции шара на плоскость ПR^2, когда о площади поверхности такого же шара - длиной окружности 2ПR. И ничего никогда не меняется.
Сначала я нашел площадь с помощью рекурсивной функции. Потом подумал, а чего бы это нам не замахнуться на "Уильяма нашего, Шекспира"? В вики есть еще несколько формул для вычисления объема шара. Одна - для рекурсивного вычисления объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n;1)-мерного шара того же радиуса. Со снятым мной для простоты записи указания на функциональность: Vn=[RП^0,5*{Г(n+1/2)}*V(n-1)]/{Г(n/2+1} Аналитическая формула для объема n-мерного шара уже выведена и выглядит так: Vn(R)=[П^(n/2)*R^n]/{Г(n/2+1)} (№1), где Г - гамма-функция Эйлера. Гамма-функции я отдельно закавычил {}, чтобы не путаться лишний раз. Повозившись, нашел формулу (рекурсивную/ рекуррентное соотношение) для площади поверхности n-мерного шара через шар размерностью n-1: Sn=[RП^0,5*{Г(n/2-1/2)}*S(n-1)]/{Г(n/2)}. Потом, опять подумав про Шекспира, нашего Уильяма, нашел другую аналитическую формулу: Sn=[nП^(n/2)*R^(n-1)]/{Г(n/2+1)} (№2). Потом, как оказалось, в вики уже есть подобные формулы на странице "гиперсфера". Но там обнаружился косяк в пункте "Площадь и объем". Там для определения площади поверхности Sn-1 приведена формула, в точности, как крайняя упомянутая (№2). Пришлось так ее обозначить. Я свою перепроверил несколько раз. Работает безошибочно. Выходит, авторы в вики ошибаются даже в точных науках. Я раньше думал, что только в общественных. Допустим.
Помните упоминание про разницу объемов цилиндра и шара в 3/2 (1,5)? Возникает вопрос: а будет ли работать такое соотношение в других размерностях? Есть недоказанное подозрение, что будет. Жаль, что нет формулы для расчета объема/площади гиперцилиндра с размерностью выше 4-ой. Для 4-мерного цилиндра (кубиндера) в вики есть формулы и они невнятно расписаны на английском/ каком-то языке программирования. И такое представление тянется в сети по страницам, где упоминается кубиндер. Если ты не программист, то можно запутаться. Там термин volume приравнен к термину объем. Это неправильно с точки зрения русского языка. Это площадь кубиндера, если верить приведенной записи. А вот термин bulk реально должен значить объем. Применительно к предыдущим R и D объем кубиндера по вики равен 4ПR^4, а площадь 16ПR^3. Как всегда - площадь равна производной от объема. Еще пишут, что кубиндер - это декартово произведение круга и квадрата. Но тут (в декартовом произведении) я не силен. А рыть учебники не захотел.
В вики для n-мерного куба (гиперкуба) формул больше. Есть, в том числе, формула для площади поверхности. Поэтому я туда не полез. Все и так понятно.
И вот, снова чешется мозг. А что будет, если взять шар размерностью 2 и определить объем шара размерностью нуль (Vо)? Итак, объем двухмерного шара Vn2=(2ПR^2)*Vnо)/2=ПR^2*Vnо. Но Vn2 и так равен ПR^2. Тогда Vnо=1. А его производная, то есть площадь, равна нулю? Допустим, ведь это нулевое измерение. А там черт ногу сломит. Хотя, если в одномерном мире (по вики) объем шара это отрезок D=2R с площадью, соответственно D[2R]=2, радиусом V(n=1)/2, то в "нулевом" мире он вполне может быть чем-то совсем запредельным, естественно, в нашем трехмерном представлении. Но математика вещь упорная, и, вдобавок, доказательная.
В топологии существует пространство отрицательной размерности. Ну и что? А вот что. Попробуем посмотреть, что можно наскрести из размерности пространства n=-1. У нас для этого есть классная возможность - наличие объема шара в одномерном пространстве (это я считал еще до вывода/обнаружения аналитических формул. Зачеркивать не буду, жаль наработанного). И он равен 2R. Тогда Vn1=2ПR^2*Vn-1, или 2R=2ПR^2*Vn-1, отсюда Vn-1=2R/2ПR^2=1/ПR. При единичном радиусе, например 1 см, это всего лишь 0,318 см (одномерных?) в степени -1. Площадь/производная Sn-1=D[Vn-1]=D[2R/2ПR^2]=D[1/ПR]=-1/ПR^2. При единичном радиусе это тоже 0,318 см (квадратных на отрицательной поверхности?), но уже в степени -2.
Тупиково идут вычисления для n=-2. Vnо=(2ПR^2*Vn-2)/0. Vnо уже считали, это 1. Но возникло непреодолимое препятствие - запретное деление на нуль. Формальная запись деления на нуль в математике все же допустима. А реальное деление допустимо в алгебре типа "колесо", где операция деления определена всегда. Возникает вопрос - а мы уже в зоне этой алгебры? Возможно, что да. Тогда деление чего-то на нуль дает нам бесконечность. Тут два пути. Первый - не делить и заявить, что дальше задача не решается. Второй - все-таки разделить и получить бесконечность. Тогда Vn-2=Vnо/бесконечность. Или Vn-2=0. Тогда все последующие вычисления для пространств с отрицательной четной размерностью будут давать нулевые объемы. А пространства с нечетной отрицательной размерностью будут давать уменьшающиеся значения объема для значений радиуса больше 1, что вполне логично и все увеличивающийся объем для значений радиуса меньше 1, что тоже кажется логичным. Есть одно условие: в ряду -1,-5,-9 и т.д. через 4 размера получаем положительный объем, в ряду -3,-7,-11 и т.д. через те же 4 размера получаем объем со знаком минус. Ну и ладно. Что тут такого? Да, в общем-то, ничего. Так, поковырял.
И тут снова прискакала мысль. Правильно, что не прокинул вычисление по рекуррентному соотношению. Возьму, посчитаю по аналитическому. Аналитическая формула для объема (шара-цилиндра) (№1) и площади (№2), которая сначала оставалась без внимания, показала, что с четными отрицательными размерностями типа -2, -4, -6 и т.д. все немного проще. У них при расчете в знаменателе дроби непременно оказывается гамма-функция целого отрицательного числа, которая всегда дает плюс бесконечность. Поэтому предпринятая ранее идея делить на нуль сдохла. Теперь все делится на бесконечность, опять же, приводя результат к нулю. Но, прошу отметить, это честный нуль, полученный расчетным путем, а не рассуждениями. Т.е. все объемы и площади четных отрицательных размерностей имеют значения нулей. Это побочный эффект гамма-функции на отрицательных значениях. И вот нарастает вопрос: значит, все-таки деление на нуль было возможным? Выходит, аналитическая формула лишь дала подтверждение рекуррентной. Делить на нуль было можно. Пусть будет так.
В целом, в пространствах отрицательной размерности также работает правило: возьми производную от объема - получишь площадь. Математическая логика неумолима в любом мире. Как всегда. Следует ли теперь то, что площадь поверхности любой фигуры это исключительно производная от функции, описывающей ее объем, если такая функция может быть представлена? Говорят, что невозможно точно определить площадь эллипса и объем эллипсоида. Все равно появляется ошибочка. А если все-таки можно? Но не ковырялся. Показалось слишком сложным.
Пришла еще одна идея. А если объекты будут не гомеоморфны? Возьмем тор. Вики: "Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её... Обобщенно, тор - топологическое пространство... Понятие тора определяется и в многомерном случае... Тор является поверхностью рода 1 (сфера с одной ручкой). Тор является компактным топологическим пространством." Шар, к примеру, поверхность рода нуль. Подгоним тор под стандартные размеры: расстояние от центра тора до центра оси D, диаметр окружности D=2R. Получаем объем тора Vт=2П^2*D*R^2=4П^2*R^3. Площадь поверхности Sт=4П^2*DR=8П^2*R^2. А тут уже площадь не равна производной от объема. Производная объема равна 12П^2*R^2. Лишние 4П. В этом месте я застопорился. Фишка дальше не пошла. Но по ходу посчитал, что в нашем привычном трехмерном торе умещаются 3П объемов 3-шара, 2П объемов 3-цилиндра, а если вспомнить, что площадь 3-шара равна площади боковой поверхности 3-цилиндра, то в площади поверхности 3-тора умещаются 2П поверхности 3-шара. Если взять всю поверхность 3-цилиндра, то таких в поверхности тора 4П/3. Кубов в торе П^2*1/2, а площадей куба в площади тора П^2*1/3. Объемов шара в кубе 6/П, объемов цилиндра в кубе 4/П. Всегда можно переворотом дроби посчитать обратное отношение. Также оказалось, что отношение объема к площади любой фигуры с поверхностью рода нуль составляет R/3, а вот у фигуры с поверхностью рода 1 это R/2. Это на всякий случай, вдруг пригодится.
Тут еще одна мысль прискакала. Допустим, что при выходе из n-мерного пространства и приближение к переходу через нулевое/нуль мы натыкаемся на небезызвестную "кроличью нору". Тут обязательно вспоминается Кэрролл (на самом деле Чарльз Додсон, математик, логик, философ и диакон) и его зазеркалье. И, чтобы попасть в "обратный мир", надо сначала перестать быть трехмерным став сначала двумерным, потом одномерным, потом прошмыгнуть через нуль (та самая нора), а после проделать все в обратном порядке, чтобы попасть в другие размерности/измерения? Действовать, так сказать, рекуррентно. При этом в целях безопасности постараться избегать четных отрицательных размерностей. Хотя, как при таком подходе проскочить мимо минус двух? Порог непреодоления? Или рубеж неопределенности? Интересно, как будет выглядеть мир там, где, учитывая наши представления, все должно быть шиворот-навыворот? В "симметричном" нашему минус трехмерном мире какие правила? Ведь там действует такой математический расклад: V=-1/(2П^2*R^3). Там увеличение радиуса даст уменьшение объема, да еще и с отрицательным значением. Как там люди живут? С такими-то проблемами? Вот, к примеру, если у нас действует правило "бери больше+кидай дальше=больше результат", то у них "бери меньше+кидай ближе=больше результат"? Парадокс. А вдруг, они через этот нуль-проход все-таки пробираются к нам? Случайно или целенаправленно? Если специально, то зачем? А появляющиеся у нас шаровые молнии (опять припомнились!), природу которых мы не в силах объяснить, может, это они? Эти штучки, презирающие гравитацию и с запасом энергии. А всяческие объекты типа НЛО? А легенды и поверья о призраках и зеркалах - это не оттуда ли к нам пришло? А, может, это наш мир для них шиворот-навыворот? Не сойти мне с места, если тут не найдется сразу несколько сюжетов для любителей фантастики.
Допустим, если у нас что-то увеличивается, то у них - уменьшается, а нуль-нора является точкой перетекания этого чего-то. Попробую вписать в эту модель Вселенную. Предположим, что сейчас Вселенная течет от них к нам, особенно, если учесть, что пока самой приемлемой считают модель расширяющейся Вселенной. Закину тему: Вселенная представляет собой надутый шарик, перетянутый обручем-норой где-то в середине. Получается - слева шар и справа шар. Давим на один из шаров - воздух перетекает в другой. И наоборот. Течет она, Вселенная, значит, течет в одну сторону, а потом на другой стороне заканчивается. И зависает в неопределенном состоянии в нуле (около нуля). Чего она там зависает? Фиг ее знает. Допустим, что-то не пускает перетечь полностью. Какая-то заковыка. Остается одна точка соприкосновения. И там абсолютный порядок/абсолютно упорядоченная система. В точке ничего не может быть. И в этой точке должен быть абсолютный нуль температуры, хотя согласно вики "в рамках применимости термодинамики абсолютный нуль на практике недостижим". О том, что (в состоянии равновесия) энтропия (всех тел/тела) стремится к нулю при стремлении температуры к нулю гласит третий закон (третье начало) термодинамики. Как пишется, это формулировка Планком теоремы Нернста. Прошу заметить, что этот закон был получен эмпирическим путем, то есть это недоказанный постулат теории. Тут еще небольшая затравка к вопросу о реликтовом излучении... А в раздутой части Вселенной максимальные хаос с энтропией? В этой части не особо понятно - там должна быть максимальная температура? Специалисты пишут, что по мере расширения Вселенной ее температура понижается. Это не вписывается в мои рассуждения. Надо учесть еще один нюанс. В народе говорят, что согласно Второму закону термодинамики общая энтропия в системе (во Вселенной?) должна увеличиваться со временем. Пока ничего умопомрачительного, все идет по уму. А после захода на точку начинается перетекание в другую сторону. По щелчку пальцев? - спросите вы. Нет, из-за увеличения до предела энтропии в максимально возможном пространстве. Начинается схлопывание раздутой части и рост из точки в другую сторону. Переход через нуль-дыру (точку) индуцирует выход на момент сингулярности, а дальше пошел-поехал Большой взрыв. А на другой стороне - Большое сжатие. В общем, король умер - да здравствует король! И так Вселенная перетекает из пространства в пространство бесконечное количество раз. А что происходит со временем на обеих сторонах от норы? Пока думать никто не запрещал. Так я и думаю, что там, где происходит рост, время идет вперед, а там, где уменьшение - в обратную сторону. Интересно, а, может, черные дыры это локальные норы? Или маленькие ответвления одной большой норы? Возможно ли, что на той стороне кто-то задумал нехорошее и откачивает у нас материю? Для каких таких нужд?
Если вы думаете, что я слегка пополз мозгами по древу и отвлекся от реальности, посмотрите вот эти материалы: статья "О, великий отталкиватель!" (https://nplus1.ru/material/2017/05/02/repeller) и видео "Космография локальной Вселенной" (https://www.youtube.com/watch?v=A5U9CgKAre8), вложенное в статью. Собранные и обработанные данные показывают, что во Вселенной есть места, где наблюдается великое движение ее содержимого откуда-то и куда-то. Правда, заметно некоторое разногласие - на меньшем объеме главный нарушитель спокойствия Великий аттрактор, на большем - сверхскопление Шепли. Но это не так важно. Во всяком случае, это совсем не противоречит наличию точки/точек сбора материи. Растет вопрос - что будет с ней (материей) потом? Потом и узнаем?
По итогу - поздравляю всех с наступающим Днем космонавтики. Вот как-то вспомнилось, а потом нашлось в сети в первозданном виде: "8 апреля (1961 года) ... Королёву принесли "психологическую характеристику" на лейтенанта Гагарина: " …Уверен в себе и своих силах. Трудно, по существу невозможно, вывести из состояния равновесия. Наделён беспредельным самообладанием. Интеллектуальное развитие - высокое. Прекрасная память. Уверенно манипулирует формулами небесной механики и высшей математики. Похоже, что знает жизнь больше, нежели другие…" Сергей Павлович Королёв принимал решение - кто полетит в космос первым. А потом: "...Юрию Гагарину было всего 27 лет, когда 12 апреля 1961 года космический корабль «Восток» стартовал с космодрома Байконур. Полёт длился 108 минут. В космос Гагарин полетел в звании старшего лейтенанта, а приземлился… майором и Героем Советского Союза..."
А еще - удачи всем ищущим.
Мурзин Сергей Валентинович, 8 апреля 2021 года, г. Королёв