15.04.2011
Я - физик-теоретик. Родительница Анна пишет мне в Фейсбуке: “Натолкнулась в домашнем задании сына:
определить правило и достроить ряд 6 54 6; 7 63 15; 9 81 33; ... Хотелось выяснить, могут ли дети данного возраста решить задачу самостоятельно, без помощи взрослых (задание рядовое, вместе с ним ещё пара сотен примеров попроще :))”
Мой ответ Анне.
Могут и должны. Но большинство детей, конечно, не сможет, потому что школьные учителя бестолковые и в университетах не учились. Они не умеют правильно и понятно поставить перед школьником задачу на поиск алгоритма (механизма) решения задачи, на поиск метода решения. Они рассчитывают на метод “пристального взгляда”. Мол, догадайся сам. А объяснить школьнику подход к поиску алгоритма решения – не могут. Так как обычные школьные учителя – это бывшие школьные троечники, не обучены эвристике и абстрактному мышлению.
Предлагаемая задача - это задача на комбинаторику простых действий с цифрами.
Задача под силу второкласнику. Потому что применяемые арифметические действия он хорошо знает. Но, как правило, не знает где и как их применить, чтобы решить новую задачу. Школьник должен понять алгоритм поиска решения. На другом примере ему нужно объяснить этот алгоритм.
В предлагаемой задаче алгоритм такой: из всех известных цифр нужно скомбинировать (применяя арифметические действия) следующую неизвестную цифру. А именно – каждую очередную цифру очередной тройки. При этом нужно использовать ВСЮ информацию, которая имеется. Это не только цифры, но и кое-что иное!!! А именно – номер тройки в ряду!!!
Школьник до этого сам не додумается! Он будет тупо смотреть на цифры и, как говорится, под страхом расстрела ни шагу в сторону! А нужно шагнуть в сторону и применить свойство ряда троек. Оно в том, что каждая тройка имеет порядковый номер в ряду. Первая, вторая и т.д. Но школьник не знает, что ряд цифр имеет ещё одно свойство (кроме цифр) – это позиция, номер цифры в ряду.
Применяя найденный алгоритм, угадав раз, два, три – потом остальное, как говорят, получается по индукции (теория рядов).
В основе задачи два простых арифметических действия: умножение и сложение. Нужно, путем сравнения цифр и устной комбинаторики, подобрать формулу для получения очередной цифры. В данном примере – найти постоянный множитель и коэффициент с ним. Здесь это – 9 и N-1, где N – номер тройки.
РЕШЕНИЕ
В каждой тройке цифр содержится по три цифры.
Каждая первая цифра тройки, начиная с первой, увеличивается от 6 всякий раз на N-1, где N - номер тройки цифр. Получаем ряд первых цифр - это 6,7,9, 12, 16 и т.д..
Вторая цифра - это первая цифра каждой очередной тройки, умноженная на 9. То есть в первой тройке это 6*9=54; Во второй тройке это 7*9=63; В третьей тройке это 9*9=81; В четвертой тройке это 12*9=108 и т.д.
Третья цифра тройки - это третья цифра предыдущей тройки плюс 9*(N-1) (где N - номер тройки). В первой тройке это 6 = 6+(1-1)=6; Во второй тройке это 6+9*(2-1)=15;
В третьей тройке это 15 + 9*(3-1) = 15+18 = 33. В четвертой тройке это 33+9*(4-1) = 33+27 = 60. В пятой 60+9*(5-1) = 96… И так далее.
Получаем ряд:
6;54;6 7;63;15 9;81;33 12;108;60 16;144;96 и т.д.