И понял вдруг: нет времени.
На крыльях поднят как орел, я видел
сразу, что было и что будет,
Пружины троек видел я и двоек
В железном чучеле миров,
Упругий говор чисел.
И стало ясно мне
Что будет позже
***
Доски судьбы! как письмена черных ночей вырублю вас, доски судьбы!...Доски судьбы! читайте, читайте прохожие! Как на тенеписи, числа борцы пройдут перед вами, снятые в разных сечениях времени, в разных плоскостях времени, и все их тела, разных возрастов сложенные вместе, дают глыбу времени между падениями царств, наводивших ужас
Чистые законы времени строятся на степенях двойки и тройки, первых четном и нечетном числах: Мой основной закон времени: во времени происходит отрицательный сдвиг через 3n дней и положительный через 2n дней; события, дух времени становится обратным через 3n дней и усиливает свои числа через 2n дней
Прошлое вдруг стало прозрачным <...> Я понял, что время построено на степенях двух и трех <...> У пространства каменный показатель степени, он не может быть больше трех, а основание живет без предела; наоборот, у времени основание делается твердыми двойкой и тройкой, а показатель степени живет сложной жизнью, свободной игрой величин <...> событие, достигшее возраста 3n дней, меняет знак на оборотный <...> Как-то радостно думалось, что по существу нет ни времени, ни пространства, а есть два разных счета, два ската одной крыши, два пути по одному зданию чисел
Велимир Хлебников. И понял вдруг: нет времени
***
VIII. 2.3. Законы подобия
Внимательное изучение чисел, представленных в табл. VIII. 1, показывает, что их сходимость к точке накопления подчиняется простому и строгому закону: разность значений м, соответствующих двум последовательным бифуркациям, уменьшается каждый раз соответственно почти постоянному коэффициенту
...Этот фундаментальный результат, важность которого трудно переоценить, означает, что коэффициент уменьшения масштаба Б является универсальной константой, не зависящей от деталей рассматриваемой функции:
Б = 4,6692016091029909 ... .
Вторая универсальная константа ')
А = 2,50290787509589284 ...
задает коэффициент уменьшения масштабов расстояний на оси х. Более точно можно утверждать, что, итерируя любое отображение, обладающее квадратичным экстремумом, мы всегда обнаружим один и тот же каскад удвоений периодов с одними и теми же законами подобия, которые приведены выше. Мы располагаем весьма общей теорией, которая апостериори обосновывает наш выбор конкретной функции f. Замечательно, что эта теория позволяет делать количественные предсказания, если выполнено простое качественное условие (Хорошо известна аналогия между упомянутой теорией и теорией фазовых переходов, в частности процедурой и терминологией теории ренормгруппы. Константы Б и А можно рассматривать как «критические покаэатели» в точке накопления).
...
VIII. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАОСА
VIII. 3.1. За субгармоническим каскадом при возрастании параметра М и его стремлении к М_безкон появляются аттракторы со все большим периодом 2^l. Следовательно, для того чтобы установить соответствующую периодичность, за явлением требуется наблюдать в течение все более продолжительного (бесконечно большого в точке М_безкон) времени. Но что происходит за точкой накопления?
Численное моделирование показывает, что за критическим значением М = 0,892486418 ... начинается очень сложная область. На графике, представленном на рис. VIII. 7, появляются различные зоны, одни более светлые, другие более темные. Подробный анализ обнаруживает, что в закритической области периодические аттракторы чередуются с режимом, который теперь принято называть хаосом.
В последнем случае итерации функции f порождают последовательность таких значений х, которые а) не повторяются, б) зависят от начального условия х0. В частности, две первоначально близкие точки порождают две последовательности итераций (или траекторий), которые расходятся друг от друга.
...
VIII. 3.3. Обратный каскад
Рис. VIII.10. Прямой и обратный каскады. Этот схематический рисунок приведен для того, чтобы привлечь внимание читателя к одной детали, которая не видна на рис VIII.7: обратный каскад — своего рода нечеткое отражение прямого каскада относительно вертикали, соответствующей значению параметра М_безкон.
Сказанное выше позволяет полагать, что хаотический режим при М > М_безкон не полностью лишен определенного порядка, хотя этот порядок на первый взгляд, возможно, и не виден. Другим элементом порядка, свидетельствующим о том же, являются «окна периодичности» (разд. VIII.3.4) — периодические аттракторы в интервале (М_безкон, 1). Некоторые из них можно наблюдать в виде более светлых зон) на рис. VIII. 7. Периодические и апериодические аттракторы тесно взаимосвязаны. Действительно, как показывает тщательный анализ апериодических аттракторов, они являются своего рода «шумовыми предельными циклами» с периодом 2^l, где l — целое число, неограниченно возрастающее, когда М стремится к М_безкон сверху. Более точно, образ
точки последовательно посещает множество, состоящее из 2^l непересекающихся отрезков из интервала (0, 1). После 2^l итераций мы возвращаемся на исходный отрезок: это позволяет говорить о цикле. Вместе с тем поведение внутри каждого отрезка полностью хаотическое: отсюда прилагательное «шумовой». Короче говоря, все итерации порядка 2^l содержатся внутри малого отрезка, но там они полностью неупорядочены. Аналогичное утверждение справедливо относительно каждого из 2^l отрезков.
При возрастании М мы видим, что при некоторых значениях этого параметра отрезки расщепляются на два. Вместо шумового цикла с периодом 2^l возникает другой шумовой цикл с вдвое меньшим периодом, т.е. с периодом 2^(l-1). При дальнейшем возрастании процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнут «период» 2^0 = 1. На рис. VIII. 10 схематично показана серия изменений периода. Мы видим, что наряду с субгармоническим каскадом существует другой каскад с близкой структурой, но ведущий в противоположном направлении по оси М. Обычно первый каскад принято называть прямым, а второй обратным. Результат, который но самым скромным оценкам может быть назван замечательным, состоит в том, что значения параметра М, при которых происходят бифуркации обратного каскада, также сходятся к М_безкон с тем же масштабным множителем Б = 4.669 ..., что и прямой каскад. В этом еще одно подтверждение того, что в хаосе существует некоторый порядок (если это утверждение нуждается в подтверждении)!
...
VIII.3.5. Универсальная последовательность
Другое весьма необычное свойство относится к иерархии относительного расположения окон периодичности вдоль оси М. Действительно, если абсолютное расположение и длина окон зависят от рассматриваемого нами конкретного отображения f, то порядок, в котором эти окна включаются при увеличении параметра М. остается неизменным. Иначе говоря, при любой функции f (лишь бы она имела один экстремум, квадратичный или неквадратичный) периодические аттракторы образуют последовательность всегда в одном и том же порядке, которая поэтому называется универсальной последовательностью.
Характеризуя периодический аттрактор, следует иметь ввиду, что два аттрактора с одним и тем же периодом могут различаться порядком обхода принадлежащих им точек...
Берже П., Помо И,, Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. Пер. с франц. Юлия Данилова. М.: Мир, 1991. 366с.
О Природе Дружбы