Странно, но почему-то в школах не дают важную и полезную Теорему Стюарта . Чаще всего в литературе её преподносят так, как рисунок слева и формула (1).
При помощи этой теоремы можно легко находить длину медианы или биссектрисы.
Интересно рассмотреть максимально внимательно эту ласточку стюартовскую. Я принял треугольник со сторонами 3, 4, 5 (мог бы и любой другой, необязательно прямоугольный) и построил серию графиков, меняя стороны. Очевидно, что число всех комбинаций будет 3!=6. Несколько по-иному составил формулу (2) и получил следующие интересные кривые изменения длины x в зависимости от длины отрезка k (правый рисунок).
Все кривые, естественно, более сложные, чем параболические. Троицы чисел, - это стороны a, b, c, причём сторона c во всех случаях горизонтальная, то есть является основанием. Короче, схема треугольника, что на втором рисунке, является неизменной, только меняются числовые значения сторон. В ряде случаев наблюдается минимум отрезка х.
В системе Maple построение графиков производил по такой программе:
with(plots); a := 3; b := 4; c := 5;q1 := plot(sqrt(e*(-a^2-b^2+c^2)/b+a^2+e^2), e = 0 .. b, color = black, thickness = 3);a := 4; b := 3; c := 5; q2 := plot(sqrt(e*(-a^2-b^2+c^2)/b+a^2+e^2), e = 0 .. b, color = "SteelBlue", thickness = 3); a := 3; b := 5; c := 4; q3 := plot(sqrt(e*(-a^2-b^2+c^2)/b+a^2+e^2), e = 0 .. b, color = "Niagara DarkOrchid", thickness = 3); a := 4; b := 5; c := 3; q4 := plot(sqrt(e*(-a^2-b^2+c^2)/b+a^2+e^2), e = 0 .. b, color = red, thickness = 3); a := 5; b := 3; c := 4; q5 := plot(sqrt(e*(-a^2-b^2+c^2)/b+a^2+e^2), e = 0 .. b, color = green, thickness = 3); a := 5; b := 4; c := 3; q6 := plot(sqrt(e*(-a^2-b^2+c^2)/b+a^2+e^2), e = 0 .. b, color = "Nautical GrayViolet", thickness = 3); display(q1, q2, q3, q4, q5, q6);
Вот так, между прочим, можно развивать теоремы геометрии. Когда-нибудь и где-нибудь новые знания пригодятся.
31 января 2021 г.