Совсем недавно я написал в Прозе-ру статью "Идеальный магический квадрат. Метод для школьников" и на нее откликнулся мой давний знакомый по институту Николай. В субботу раздался звонок, включаю мобильник и слышу голос Коли:
-Привет, Георгий. Прочитал твои квадраты для школьников, все бы ничего, но мои внуки жалуются.
-Николай, привет! Да как они посмели на меня бочки катить? (смеюсь).
-А вот послушай. Они хотели воспользоваться твоим подходом, но ведь ты знаешь, что серьезно увлечены шахматами, участвуют в соревнованиях, а ты тут удлиненного коня им подсунул.
-Ну и что такого страшного? На одну клетку дальше двигай и будет всем счастье.
-Нет, ты послушай. Если уж пишешь, что ходы конем, то изволь не путать его с жирафом. Мои сорванцы требуют четкости и справедливости. Давай ищи для твоих якобы идеальных ходы нормальные. То бишь нормальной буквой "Г".
-Слушай, дружище. Я столько сил отдал, столько бутербродов проглотил, пока сочинял оперу...
-Отставить! Внуки мои приказали, выполняй требование будущих гроссмейстеров.
-Ну, Коля! Скажи спасибо, что пандемия коронная заставляет дома сидеть. Иначе ни за что бы не согласился.
-Вот это другое дело! Ждем твоей удачи! Пока!
А ведь действительно. Времени много, бассейн я временно приостановил отделывать из-за холодов, можно и основательно подумать над дельным предложением друга. Осенила такая мысль: надо еще и еще раз внимательно приглядеться к ковру из матрицы, заполненной натуральным рядом чисел от 1 до 5. Один раз она классно помогла мне выйти на жирафа. Может и на коня выйдет? Хитрость заключается в том, чтобы удачно выбрать нужные числа. И о чудо! После двадцати или тридцати попыток (а возможно и больше) решение было найдено. Казалось бы случайно. Но в математике случайно только теорему Ферма доказывают. А так приходится потеть и сокрушаться. Эта моя кажущаяся случайность закономерно явилась продолжением былых многомесячных поисков истины. Без этого случайно только в лужу падают.
Глядим на рисунок. Ковер из натурально пронумерованных матриц пятого порядка. Их достаточно в количестве девяти штук. Центр будущего ИМК(5) закрашиваю желтым цветом и он обязательно есть - число тринадцать. То есть половинка от пять в квадрате плюс единица. Конкретно: пять в квадрате - это двадцать пять. Плюс единица - будет двадцать шесть. Делим пополам и получим наши тринадцать. Начало положено. Теперь надо на "ковре" найти вершины будущего нашего магического. Я долго мыкался, а рассуждать надо было проще. Раз ищем идеальный квадрат, то центрально противоположные вершины должны быть в сумме равны числу 26. То есть в два раза больше, чем в центре. Таких пар точек - огромное количество, но есть и существенные ограничения. Мои предыдущие изыскания привели к тому, что непременно должно соблюдаться правило: важно получить параллелограмм из окаймленных чисел. Причем, если параллельно одной из сторон кружки идут с единичным шагом, то кружки, параллельные другой стороне, должны идти с удвоенным шагом. И меня только после звонка друга осенило, что таких вариантов - всего два. Один из них я нашел в той первой статье. Тогда и оказался наш жираф. А вот второй вариант, что на рисунке - уже строится на ходах настоящего шахматного коня! Итак, методом проб и ошибок находят вершины 2, 6, 24, 20. Относительно центра 13 попарно симметричные вершины ассоциативны. То есть суммы 2+24=26 и 6+20=26. Причем желтая 13 расположена в центре диагоналей 2-10-13-16-24 и 6-22-13-4-20. Хорошо видно что вся получившаяся матрица ассоциативна. Расчеты показали: квадрат оказался еще и пандиагональным. То есть магическую сумму 65 дают все ломанные диагонали. Нужно особо отметить, что единичку ставим строго над центральной ячейкой! Однажды я это забыл и долго мучился с построением ИМК-7.
Но главное!!! Если рассматривать уже магический квадрат в нашем привычном виде (рисунок ниже "ковра"), то видим, что натуральные ходы идут так: один шаг вверх и два шага влево. То есть как надо в шахматах! А после ячейки, кратной порядку 5 идет перескок через клетку вверх. В моей первой статье было по-иному: основные ходы:три шага вниз, шаг вправо, а перескок - шаг вниз. При этом в вершинах параллелограмма принимались числа: 10, 4, 16, 22.
Итак, создан еще более простой метод построения ИМК, годный для всех матриц порядка р. Здесь, как помним, р - простое число, не меньшее пяти. Для нечетных порядков, например, 9, 15, 21 данный метод, к сожалению, не работает. Применять уже придется числовые цепи Александрова.
Вот и новой сказки пришло начало! Желаю многим школьникам свои презентации украсить моей славной находкой! Метод настолько прекрасен, что переживет века, потому что только магическая математика бессмертна. Она будет всегда пока дышит цивилизация.
9 декабря 2020 г.