Аксиомы человечества

Чтобы знать - надо уметь слушать или видеть, или читать и понимать.
Чтобы уметь слушать или читать, надо уметь понимать, как это делать,
чтобы всё услышанное познать!

С.П. ЕМЕЛЬЧЕНКОВ.  ЦИФРЫ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА.   

 ИДЕИ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 18.

ГИПОТЕЗЫ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 17.

ЗАКОНЫ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 16.

ЛОГИКИ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 15.

ОТКРЫТИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 14
ЭФФЕКТЫ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 13               

Будущее Человечества. Том 12

КРИТЕРИИ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 11

ЧИСЛА ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 10

ПРОБЛЕМЫ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 9

ТЕОРИИ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА. Том 8

Тезаурус  незнаний.   Том 7

Се-нейрокомпьютеры  (сепьютеры).
СЕНСЕРОНЕЙРОКОМПЬТЕРНЫЕ  СТАНЦИИ.Том 6

ОБЪЕКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Том 5

ПРИНЦИПЫ  ЧЕЛОВЕЧЕСТВА.  Том 4

АКСИОМЫ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА.   Том 3

РИТМЫ    ЧЕЛОВЕЧЕСТВА.           Том 2

ЦИФРЫ  ЧЕЛОВЕЧЕСТВА.   Том 1

Москва.   2004-2020

______

Том 3. АКСИОМЫ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА (Экспресс-информация. Отрывок.)

АКСИОМА -  исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений (специальн.).
2.Положение, принимаемое без доказательств (книжн.).
     /Толковый словарь. С.И. Ожёгов. /

Что же и составляет величие Человека,
как не мысль!
/Александр Сергеевич Пушкин/


Лишь восхищение, наслаждение и радость
есть три стремительно увлекающих коня,
которые быстрее всего мчат нашу мысль
к познанию и развитию!
/С.П. Емельченков/


   3 аксиомы аксиоматической теории поля (квантовой теории поля): релятивистская инвариантность - независимость физических законов от выбора системы координат и ее прямолинейного равномерного движения; причинность (или локальность) взаимодействия - отсутствие влияния событий друг на друга, если сигналы между ними не успевают дойти со скоростью света; спектральность, которая требует, чтобы энергия любого допустимого состояния системы была положительна (энергия вакуума принимается за нулевую).
   3 аксиомы отражают принцип непрерывности числовой прямой: аксиома (принцип) Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю грань; аксиома (принцип) Дедекинда: всякое сечение (дедекиндово сечение) в области действительных чисел имеет рубеж; аксиома (принцип) Кантора: всякая стягивающая система отрезков числовой прямой имеет единственное число, принадлежащее всем отрезкам. На теории действительных чисел стоится теория пределов.
   V постулат Евклида – аксиома о параллельных, доказана Лобачевским путём построения геометрии (1826 г.), отличной от Евклидовой и свободной от противоречий, но при этом в модели пространства Лобачевского, приведенной В. Клейном в 1871 г., расстояние между точками определяется как логарифм произведения двух отношений отрезков с точками А, В, а угол – ещё сложнее.
    5-ый постулат – аксиома параллельности евклидовой геометрии: через точку А вне прямой ВВ в плоскости, проходящей через них, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую ВВ. У Евклида 5-ый постулат приведён в другой формулировке.
    5 начальных аксиом (постулатов) ввёл Евклид при создании дедуктивной системы гармоники тонов: 1) от всякой ноты к другой ноте можно перейти, выдержав паузу (аксиома Арпеджио); 2) конечную паузу можно продолжить неограниченно (аксиома Ферма(та)); 3) развитие мелодии может быть описано посредством задания тональности и звена секвенции (аксиома секвенции); 4) все тритоны равны между собой; 5) если мелодичекая линия сопровождает две другие мелодические линии , отстающие на квинту, таким образом, что с одной стороны они образуют два внутренних односторонних интервала, в сумме меньшие двух тритонов, то эти две мелодические линии, если продолжить их неограниченно, разделяются с той стороны, где односторонние интервалы составляют меньше двух тритонов (квинтовый, или пятый, постулат). Из этих аксиом Евклид вывел некоторые теоремы, в частности: сумма интервалов триады равны двум тритонам. Пифагор в своё время выяснил, что две одинаковые струны в одновременном звучании приятнее для слуха, если их длины относятся друг к другу как небольшие целые числа: 1 к 2 (соответствует октаве); 2 к 3 (интервал между нотами до и соль – квинта), 3 к 4 (кварта), 4 к 5 (большая терция), 5 к 6 (малая терция). В 17 веке итальянский теоретик музыки Джироламо Саккери сочинил сюиту из пьес, противоречивших пятому постулату Евклида; впоследствии Саккери объявил свои сочинения «несовместимыми с природой мелодической линии».
   5 аксиом Евклида опубликованы в его книге «Начала» в 3 веке до н.э.: 1) Равные одному и тому же равны между собой. 2) И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны. 3) И если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны. 4) И совмещающиеся друг с другом равны между собой. 5. И целое больше части.
   6 аксиом отделимости определены в математике: в 1909 г. Ф. Рисс (в 1928 г. М. Фреше) ввёл аксиому (Т1): для любых двух точек существует окрестность каждой из них, не содержащее другой точки, т.е. каждая точка замкнута. Пространства, удовлетворяющие аксиоме Т1, называются достижимыми пространствами. В 1914 г. Ф. Хаусдорф ввёл аксиому (Т2): для любых двух точек существует непересекающиеся окрестности. Пространства, удовлетворяющие аксиоме Т1, называются отделимыми пространствами или хаусдорфовыми пространствами. В 1921 г. Л. Вьеторис ввёл аксиому (Т3): для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности.
T0 — аксиома Колмогорова. Для любых двух различных точек {x} и {y} по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.
T1 — аксиома Тихонова. Для любых двух различных точек { x} и { y} должна существовать окрестность точки { x}, не содержащая точку { y} и окрестность точки {y}, не содержащая точку { x}. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.
T2 — аксиома Хаусдорфа. Для любых двух различных точек { x} и { y} должны найтись непересекающиеся окрестности {U(x)} и {V(y)}.
T3. Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3, называются регулярными пространствами.
Иногда в определение аксиомы отделимости T3 включают требования аксиомы отделимости T1. Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T1.
T3;. Для любого замкнутого множества {F} и не содержащейся в нём точки {a} существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция { f(x)}, заданная на этом пространстве, принимающая значения от {0} до {1} на всем пространстве, причем {f(a)=0} и {f(x)=1} для всех {x}, принадлежащих {F}. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3; называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами.
Иногда в определение аксиомы отделимости T3; включают требования аксиомы отделимости T1. Также иногда в определении вполне регулярного пространства не включается требование аксиомы T1, но в определение тихоновского пространства она включается.
T4. Для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T4, называются нормальными пространствами.
Иногда в определение аксиомы отделимости T4 включают требования аксиомы отделимости T1. Также иногда в определении нормального пространства не включается требование аксиомы T1.
Свойства:
Аксиомы {T0}, {T1} и {T2} не следуют из остальных аксиом  (если в их определение не включается аксиома {T1}).
Из аксиомы {T1} следует аксиома {T0}.
Хаусдорфовы пространства удовлетворяют аксиоме {T1}, а значит и {T0}.
Регулярные пространства являются хаусдорфовыми.
Вполне регулярные пространства являются регулярными.
Нормальные пространства являются также и вполне регулярными.
Компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.
   12 аксиом принято математиками в интуиционистской логике – совокупности логических законов, приемлемых с точки зрения интуиционизма (совокупности философских и математических идей и методов, рассматривающих математику как науку об умственных построенях) /БЭСМ/
  13 книг включают «Начала»  Евклида (с греческого – Азбука), созданное им в 3 веке до н.э. и посвящённые геометрии: 1…4 и 6 книги – планиметрии, 11, 12, 13 – стереометрии, 5 и 7…10 – арифметике, каждая книга начингается с определений, в 1-ой книге приведены постулаты и аксиомы.
   Из 20 аксиом состоит система аксиом евклидовой геометрии Гильберта (предложена в 1899 г.), которые разбиты на 5 групп: принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности, параллельных.
   23 проблемы математики сформулированы Д. Гильбертом в 1900 году, которые сохраняют своё значение и в настоящее время:
проблема теории множеств – (1) проблема Кантора о мощности континиуума;
проблема обоснования математики– (2) непротиворечивость арифметических аксиом;
проблемы оснований геометрии – (3) равенство объёмов двух тетраэдров с равновеликими основаниями и равными основаниями и (4) проблема о прямой как о кратчайшем соединении двух точек;
проблема теории непрерывных групп – (5) проблема освобождения понятия непрерывной группы от требования дифференцируемости;
проблема об аксиоматике вероятностей и механики – (6) математическое изложение аксиом физики – эта проблема занимает особое место;
проблемы теории чисел – (7) иррациональность и трансцендентность некоторых чисел; (8) доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле; (10) задача о разрешимости диафантова уравнения;
проблемы из алгебры – (11) квадратичные формы с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами, (12) распространения теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности, (13) невозможность решения общего уравнения 7-ой степени с помощью функций, зависящих только от двух аргументов, (14) доказательство конечности некоторой полной системы функций;
проблемы алгебраической геометрии – (15) строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта (проблема обоснования всей теории алгебраических многообразий), (16) проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей, (17) представление определённых форм в виде суммы квадратов;
проблемы геометрии – (18) построение пространства из конгруэнтных многогранников;
проблемы из анализа – (19) являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими, (20) общая задача о граничных условиях, (21) доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии;
(22) униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций, (23) развитие методов вариационного исчисления (проблема дальнейшего развития вариационного исчисления).
   В 3 веке нашей эры Папп изложил аксиому о двух прямых, на которых расположены произвольно по 3 точки А, В, С и А/, В/, С/ (но не точка пересечения прямых), из каждой из которых идут по 2 отрезка к 2 точкам другой прямой, при этом точки пересечения прямых АВ/ и  А/В, ВС/ и В/С, АС/ и А/С лежат на одной прямой.
   В 1871 г. Ф. Клейн предложил интерпретацию, реализующую систему аксиом геометрии Лобачевского.
   В 1872 г. Р. Дедекиндом сформулирована аксиома (Дедекинда) непрерывности множества действительных чисел.
   В 1872 г. Г. Кантор сформулировал аксиому (Кантора)– принцип вложенных отрезков – одна из аксиом непрерывности: любая последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к нулю, имеют одну общую точку.
   В 1889 г. Дж. Пеано ввёл систему аксиом для натурального ряда чисел.
   В 1899 г. Д. Гильберт предложил систему аксиом евклидовой геометрии из 20 аксиом, которые разбиты на 5 групп: принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности, параллельных.
   В 1930 г. А.Н. Тихонов ввёл аксиому (Т3 1/2): для любого замкнутого множества и точки вне его существует непрерывная числовая функция, равная нулю на множестве и единице в точке. Пространство, удовлетворяющее аксиомам Т31/2+Т1, называется вполне регулярным пространством или тихоновским пространством. В 1935 г. А.Н. Колмогоров ввёл аксиому (То): одна из двух точек имеет окружность, не содержащую другую точку, т.е. никакие 2 различные точки не имеют одного и того же замыкания. Пространства, удовлетворяющие аксиоме То, называется пространствами Колмогорова. Аксиома (Т4): для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности. Пространства, удовлетворяющее аксиомам Т4+Т1, называются нормальными пространствами.
   В 1930 г. получила признание система из 12 аксиом интуиционистской логики А. Гейтинга,  развивалась также А.Н. Колмогоровым, В.И. Гливенко.
   В 1933 г. была создана алгебра П. Йордана, которая опубликована в его работе по аксиоматизации основ квантовой механики, а затем нашла применение и в геометрии, алгебре, математическом анализе.
   В 1933 г. А.Н. Колмогоров построил систему аксиоматического обоснования теории вероятностей, впоследствии он внёс большой вклад в теорию информации, в исследования по теории стрельбы, применение математических методов в биологии, математической лингвистике, принимал деятельное участие в разработке вопросов математического образования в средней школе и университетах.
   В 1935 г. А.Н. Колмогоровым установлена аксиома отделимости.
   С 1939 г. во Франции группа математиков Бурбаки занималась вопросами формальной аксиоматической системы, пытаясь охватить все главнейшие разделы математики как частные аспекты общей концепции.
    В математике термин « аксиома» используется в двух связанных, но различных смыслах: «логические аксиомы» и «нелогические аксиомы» . Логические аксиомы обычно представляют собой утверждения, которые считаются истинными в рамках системы логики, которую они определяют, и часто отображаются в символической форме (например, ( A и B ) подразумевают A ), в то время как нелогические аксиомы (например, a + b = b + а ) фактически являются существенными утверждениями об элементах области конкретной математической теории (например, арифметики ).
   В последнем смысле слова «аксиома», «постулат» и «допущение» могут использоваться как синонимы. В большинстве случаев нелогическая аксиома - это просто формальное логическое выражение, используемое в дедукции для построения математической теории, и может быть, а может и не быть самоочевидным по своей природе (например, параллельный постулат в евклидовой геометрии).
    Аксиоматизировать систему знаний - значит показать, что ее утверждения могут быть выведены из небольшого, хорошо понятного набора предложений (аксиом), и может быть несколько способов аксиоматизировать данную математическую область.
   Любая аксиома - это утверждение, которое служит отправной точкой, из которой логически выводятся другие утверждения. Имеет ли смысл (и если да, то что это значит), что аксиома «истинна», - является предметом споров в философии математики .
________
Аксиомы стереометрии.
А к с и о м а 1.Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А к с и о м а 2.Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.
Из аксиомы 2 следует, что прямая, не лежащая в плоскости, не может иметь с плоскостью более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость.
А к с и о м а 3.Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
А к с и о м а 4.В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.
_______
  Аксиомы булевой алгебры. Булевой алгеброй  называется непустое множество A с двумя бинарными операциями {and} (аналог конъюнкции), {or} (аналог дизъюнкции), одной унарной операцией {not} (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любых a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:
ассоциативность, коммутативность,  законы поглощения, дистрибутивность, дополнительность.
_____
Аксиомы арифметики. Аксиомы Пеано — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.
Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три - аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.
Формулировка аксиом:
1 (единица) является натуральным числом.
Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным.
1 (единица) не следует ни за каким натуральным числом.
Если натуральное число {a} непосредственно следует как за числом {b}, так и за числом {c}, то {b} и {c} тождественны.
(Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа {n}, вытекает, что оно верно для следующего за {n}натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
_______
    Эйнштейн полагал, что вся его теория относительности базируется на двух аксиомах:
   1. Принцип относительности может быть распространен на все явления нашего мира, включая ЭМП (ЭлектроМагнитные Поля).
   2. Скорость света в вакууме – величина абсолютная, предельная для нашего мира.
_____
Аксиомы теории информации.
1.  Мера неопределенности есть непрерывная функция вероятности исходов некоторого опыта.
2. Если исходы опыта равновероятны, то мера неопределенности – монотонно возрастающая функция от числа исходов.
3. Если неопределенность раскрывается по этапам, то полная неопределенность равна взвешенной сумме неопределенностей, полученных на каждом этапе.
   А.Я. Хинчин показал, что энтропия конечной вероятностной схемы может быть однозначно определена с точностью до постоянного множителя при задании системы из 5 аксиом. Этот набор аксиом однозначно приводит к энтропии Шеннона.
    Аксиомы Фаддеева.
Эквивалентная системе Хинчина аксиоматика.
Отличия от аксиом Хинчина в том, что аксиома 5 заменяется на требование положительности H хотя бы в одной точке, а аксиомы Хинчина 3, 4 заменяются одной аксиомой Фаддеева 3.
Аксиома Фаддеева 3 оказывается более естественной, если интерпретировать энтропию как меру неопределённости. Тогда неопределённость, возникающая от деления события с вероятностью ;; на два события с условными вероятностями , должна возникать только если собственно происходит событие с определённой вероятностью.
______
Аксиома философии.
Для Аристотеля основной  аксиомой является закон непротиворечия:
«Невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении» (Мет. IV, 3).
Далее Аристотель продолжает: «…конечно, не может кто бы то ни было считать одно и то же существующим и несуществующим, как это, по мнению некоторых, утверждал Гераклит» (Там же).
Аристотель показывает, что это положение может быть только аксиомой, все доказательства основываются на ней, доказать её невозможно, любое доказательство уже предполагает эту аксиому, и человек, не принимающий эту аксиому, противоречит сам себе.
В другом месте этот тезис он использует против Протагора, т.е. философии софистов (Мет.IV, 4).
______
Аксиома мышления.
  Аксиома мышления состоит в том, что оно не допускает одновременного принятия двух противоречащих положений: человек не может быть одновременно живым и мертвым в одно и то же время и в одном и том же отношении. /Аристотель./
В силу тождества бытия и мышления противоречия невозможны и в бытии, поэтому можно сделать вывод о том, что небытия не существует, ибо сказать, что существует небытие, значит высказать противоречие, ибо не может существовать то, что не существует по своему определению.
Однако Аристотель не согласен с Парменидом в том, что небытие нельзя помыслить. Небытие не существует, но его можно помыслить, так как существует различие между связкой «есть» (что небытие естьв мышлении), и онтологическим положением «есть», т.е. «существовать». Небытие не существует, но небытие как предикат нашего мышления вполне может существовать.
Невозможно не согласиться с тем, что Аристотель действительно открыл основной закон мышления. Невозможно от него отказаться. Даже если кто-то от него отказывается, он тем самым признаете его истинность, ибо утверждает, что невозможно быть истинными одновременно и аристотелевскому, и неаристотелевскому положениям.
…

_____
   У математиков возникло понимание, что фундамент их науки следует перенести в более глубинные её области, оперирующие с объектами, более простыми, чем числа и геометрические фигуры (но такими, чтобы все остальные математические объекты можно было с их помощью построить), привело в последней четверти 19 века Георга Кантора к созданию теории множеств, быстро завоевавшей популярность в качестве нового языка математики. Однако обнаруженные в начале 20 века противоречия в теории Кантора спровоцировали кризис в математике, выявив необходимость пересмотра её оснований.
Предпринятые вслед за этим исследования в этой области привели к уточнению (формализации) понятий «аксиоматическая система» и «доказательство», перестройке на этой основе математической логики, и к построению формальных аксиоматических теорий множеств, признаваемых ныне фундаментом всей математики.
  Вместе современные аксиоматические теории множеств образуют некую систему с общими языком и методами (и различиями только в списках аксиом), целью которой является обеспечение математиков инструментами для построения всех остальных математических объектов, существующих, и тех, которые могут понадобиться в будущем, и эту систему теорий, вместе с той областью математики, внутри которой они строятся, математической логикой, принято называть основаниями математики.
…