Разработал: Геннадий Баталов
Птолемеева астрономия: Земля в центре солнечно-планетной системы, планеты и Солнце движутся по круговым орбитам. Для обеспечения необходимого соответствия движения планет наблюдаемому (возвратное движение по орбите, например) введено дополнительно движение планет по эпициклам – маленьким окружностям, центр которых движется по основной окружности орбиты планеты. Потом выяснилось, что и этого недостаточно, ввели эпициклы второго порядка, центры окружностей которых вращаются по эпициклам первого порядка. Ввели т.н. «экванты» - это сдвиг центра окружности орбит небесных тел относительно центра Земли. Этим обеспечивалась высокая точность предсказания движения планет. При обеспечении точности нынешнего уровня астрономических наблюдений в Птолемеевскую систему пришлось бы вводить эпициклы и экванты чёрт-те знает какого порядка. Тем не менее, математика наверняка позволяет это делать.
Геоцентрическая, гелиоцентрическая и даже гео-гелиоцентрическая система Тихо Браге имеют математические описания, вполне соответствующие наблюдаемой картине солнечно-планетной системы. С точностью, соответствующей техническим возможностям тех времен.
Закон всемирного тяготения, законы Кеплера на его основе, аналитические описания движения космических объектов позволили отбросить заумь Птолемеевой системы, глубже понять причины движения, точнее, проще и нагляднее его описать.
Религиозное упрямство выставило одну из систем движения планет и Солнца не как этап познания мира, а божье предопределение без возможностей альтернативных представлений. Исторический итог этого религиозного упрямства в науке – доведение практической науки до нелепых построений, а в человеческих отношениях – до морей крови и страданий.
Не аналогичное ли положение современной фундаментальной физики. Квантово-волновое поведение частиц в основе теории поведения частиц требует всё более изощренной математики, введения кварков с дробными зарядами, которые невозможно удалить из частиц, введения процедур калибровки, появления нелепых бесконечностей в математическом описании закономерностей микромира. То же самое с единой теорией поля со свёрнутыми в «струны» измерениями пространства.
Математика же выступает, как инструмент, который может согласовать и описать закономерности всего. Она способна введением современных «эпициклов и эквантов» дать вычислительное описание, приемлемое с точки зрения соответствия спекулятивным построениям, наблюдениям и опытным данным. Мало того, похоже что любые несоответствия вычислительных закономерностей математика может согласовать соответствующими процедурами «калибровки», или даже созданием новой аксиоматической модели. Так соответствующим подбором калибровочных полей можно объединить все выявленные фундаментальные взаимодействия – электромагнитное, слабое, сильное и, с некоторой осторожностью, и гравитационное. Применяя достаточно изощрённые манипуляции современная математика позволяет, похоже, делать это.
Похоже, что математика может оправдать всё! Не позволяет это делать математика с существующей аксиоматикой? – можно придумать математику с другой аксиоматикой. Как придуманы неевклидова геометрия, неархимедова арифметика, небулева алгебра. И эти математики тоже описывают реальные процессы в Мире. Видимо, это свойство аксиоматического подхода в математике, когда соответствующим образом усовершенствованная математическая система позволяет связать ранее несовместимое, то, что в старых системах было недостижимым и выглядело неистинным. Всегда ли это возможно, или есть какие-то ограничения? Всегда ли непротиворечивость всех связей математических объектов возможно обеспечить подбором соответствующей аксиоматики? И с помощью такой удачно подобранной математической концепции связать некоторую совокупность предположений о мире физическом? Мало того, аксиоматику можно даже не трогать и, в рамках уже существующих математических систем, можно отыскать «калибровку», связывающую любые факты и любые физические гипотезы. Способна ли математика создать непротиворечивую аксиоматическую систему для описания (и для исследования) любой совокупности обстоятельств, реальных и/или гипотетических? И безграничны ли такие возможности математики?.
Математика кажется всесильной, она способна описать любые явления, связать любые факты. При этом даже сохраняется предсказательная способность математики. Но насколько математическое описание и лежащие в его основе физические предположения соответствуют истине? Не случится ли со всеми теориями суперсимметрии и суперструн то же самое, что и с геоцентрической системой Птолемея? Т.е. нельзя ли описать имеющиеся данные на основе других физических представлений (как в случае с Птолемеем – переходом к гелиоцентрической системе) и, соответственно, с помощью другой математической модели, более простой, более полной и, может быть, более наглядной?
И на сколько современные математические спекуляции при описании Мира соответствуют истине? На это сама математика ответить не способна.
Тем не менее, к математике не может быть претензий. Она привязана к жизни, к Миру, её первоосновы - аксиоматические системы, - прозрачны и очевидны. Дальнейшие логические выводы из них безупречны. Но на выборе системы аксиом заканчивается связь математики с реальным миром. В этом сила и слабость математики. Математика одновременно логически безупречна и беспомощна в своей не конкретности.
Как показывает практика точных наук, возможности для связывания всяких пред-положений в одну систему у математики огромны. Пример – птолемеева и коперниканская планетные системы. Или, многочисленные калибровочные процедуры при современном описании связей в микромире.
Мир диалектичен, наши знания о нём всегда относительны, хотя, по мере развития науки, эти знания всё более стремятся стать абсолютными. Любая математическая спекуляция - это лишь очередное приближение ко всё более точному знанию Мира. Поэтому насилие стороной, не являющейся наукой в части утверждения настоящей истины – недопустимо. Ни церковные гонения, как в случае с геоцентрической системой, или еврейское чванство, клановое засилье и тоже гонения - как в случае с современным описанием основ строения Мира. Наука должна вырабатывать альтернативные системы, их правдивость не должна «доказываться» насилием сторонних к науке сил. Борьба же с лженаукой и её адептами-проходимцами не должна поручаться вненаучным группировкам типа церкви или кланов.
Оказывается, в «примитивной» древности и в «тёмное и мрачное» средневековье наука могла серьёзно прорабатывать альтернативные построения, а в наше время это затруднено в большей степени, чем тогда. Затруднено до степени невозможности.
Представить себе уровень математического выпендрёжа можно из следующих кратких описаний Птолемеевой системы и современной фундаментальной физики в приложениях:
ПРИЛОЖЕНИЯ
АСТРОНОМИЯ ПТОЛЕМЕЯ. Птолемей, а полностью - Клавдий Птолемей (Claudius Ptolemaeus) родился между 127-145 гг. нашей эры в Александрии (Египет), древний ас-троном, географ и математик. К сожалению, о его жизни в настоящее время известно очень мало.
Результаты его работ по астрономии были сохранены в его большой книге "Mathematike syntaxis" ("Математический Сбор"), которая, в конечном счете, становится известной как "Ho megas astronomos" ("Большой астроном"). Однако для ссылок на эту книгу в 9-м столетии арабские астрономы использовали греческий термин "Megiste" ("превосходный"). Когда определенный арабский артикль "al" (другое значение - "как", по-английски - "like") был записан слитно, название становится известным как "Almagest" ("Альмагест"), которое используется и сегодня.
Альмагест подразделяется на 13 отдельных томов, каждый из которых рассматривает определенное астрономическое понятие, относящееся к звездам и объектам солнечной системы (Земля и все другие небесные тела, относящиеся к Солнечной системе). Без всяких сомнений, Альмагест является энциклопедией природы, что и сделало его таким полезным для многих поколений астрономов и оказало на них глубочайшее влияние. В сущности, это синтез полученных Древнегреческой астрономией результатов, а также основной источник сведений о работах Гиппарха, по-видимому, являвшимся величайшим астрономом древности. В книге часто трудно определить, какие сведения принадлежат Птолемею, а какие Гиппарху, потому что Птолемей значительно дополнил данные Гиппарха своими собственными наблюдениями, по всей видимости, пользовавшись аналогичными или похожими инструментами. Например, если Гиппарх скомпоновал свой звездный каталог (первый такого типа) на основе данных о 850-ти звездах, то Птолемей расширил число звезд в его собственном каталоге до 1022.
Птолемей снова и снова повторял наблюдения движений Солнца, Луны и планет Солнеч-ной системы и корректировал данные Гиппарха - на этот раз для того, чтобы сформулировать собственную геоцентрическую теорию, которая в настоящее время известна в качестве Птолемеевой модели строения солнечной системы. В первой книге Альмагеста Птолемей подробно описывает эту геоцентрическую систему и пытается с помощью различных аргументов доказать, что в центре вселенной должна находится неподвижная Земля. Необходимо отметить его весьма последовательное доказательство, что в случае движения Земли, как это предполагали до этого некоторые из греческих философов, с течением времени на звездном небе проявятся и должны быть обнаружены некоторые явления, в частности параллаксы звезд. С другой стороны, Птолемей доказывал, что, поскольку все тела падают в центр вселенной, именно Земля и должна быть там расположена в соответствии с направлениями свободно падающих капель воды. Более того, если Земля не центр, тогда она должна вращаться с периодом в 24 часа, и, следовательно, тела, брошенные вертикально вверх, не должны падать на то же самое место, как это имеет место на практике. Птолемей смог доказать, что к тому времени не было получено ни одного противоречащего этим аргументам наблюдения. В результате геоцентрическая система стала абсолютной истиной для западного христианского мира вплоть до 15-го столетия, когда была вытеснена гелиоцентрической системой, разработанной великим польским астрономом Николаем Коперником.
Птолемей установил следующий порядок для объектов Солнечной системы: Земля (центр), Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и Сатурн. Для объяснения неравномерностей движения этих небесных тел ему, точно так же, как и Гиппарху, потребовалась система дифферентов и эпициклов или один из подвижных эксцентров (обе системы разработаны Аполлоном из Пергама, греческим геометром 3-го столетия до нашей эры), чтобы описывать их перемещения только и исключительно с помощью равномерного движения по окружностям.[10]
В Птолемеевой системе дифференты являются большими кругами с центром на Земле, а эпициклы - круги меньшего диаметра, центры которых равномерно перемещаются по окружностям дифферентов. При этом Солнце, Луна и планеты перемещаются по окружностям своих собственных эпициклов. Или, для подвижного эксцентра существует окружность с центром, смещенным относительно Земли в сторону планеты, перемещающейся вокруг этой окружности. Обе схемы являются математически эквивалентными. Но даже с введением этих понятий могли быть объяснены еще не все наблюдавшиеся элементы движения планет. Введя в астрономию еще одно понятие, Птолемей с блеском показал свою гениальность. Он предположил, что Земля должна быть расположена на некотором расстоянии от центра дифферента для каждой планеты и, что центр планетарного дифферента и эпицикла для принятого равномерного циклического движения является воображаемой точкой, лежащей между местоположением Земли и другой воображаемой точкой, которую он назвал эквантом. При этом Земля и эквант лежат на одном диаметре соответствующего планетарного дифферента. Кроме того, он считал, что расстояние от Земли до центра дифферента должно быть равно расстоянию от центра дифферента до экванта. При помощи этой гипотезы Птолемей смог гораздо точнее объяснить множество наблюдавшихся элементов планетных движений.
В Птолемеевой системе плоскость эклиптики является явным солнечным годовым путем на фоне звезд. Следует положить, что плоскости дифферентов планет наклонены на небольшие углы относительно плоскости эклиптики, но плоскости их эпициклов должны быть наклонены на те же самые углы относительно дифферентов, чтобы плоскости эпициклов всегда были параллельными плоскости эклиптики. Плоскости дифферентов Меркурия и Венеры выбирались такими, чтобы обеспечить колебания этих планет относительно плоскости эклиптики (выше - ниже), и, следовательно, плоскости их эпициклов были подобраны, чтобы обеспечить соответствующие колебания уже относительно их дифферентов.
Однако, еще необходимо было объяснить так называемое ретроградное (обратное) движение, которое периодически наблюдалось в виде явных обратных петель траекторий внешних планет на фоне звезд (для Марса, Юпитера и Сатурна).
Хотя Птолемей и понимал, что планеты располагаются значительно ближе к Земле, чем "фиксированные" или "неподвижные" звезды, он, по всей видимости, верил в физическое существование "кристаллических сфер", к которым - как тогда говорили - прикреплены все небесные тела. За пределами сферы неподвижных звезд, Птолемей предполагал существование других сфер, заканчивающихся связью с "primum mobile" ("первичным движителем"), который и обладал необходимой мощностью для обеспечения движения остальных сфер, составляющих всю наблюдаемую вселенную.
Как, в первую очередь, геометр, Птолемей выполнил несколько важнейших математических работ. Разработанные им новые геометрические теоремы и доказательства он изложил в книге, названной "Аналемма" ("Peri analemmatos" - греч., "De analemmate" - лат.), где подробно обсудил свойства проекций точек на небесную сферу (воображаемая сфера, расширяющаяся наружу с Земли для бесконечности, на поверхность которой проецируются расположенные в пространстве объекты), в частности, на три плоскости, расположенных между собой по правилу правого винта ("буравчика", если исходить из школьного учебника физики) под прямыми углами друг к другу - горизонт, меридиан, и первичная вертикаль. В другой книге - "Planisphaerium" - Птолемей имеет дело со стереографическим проекциями - вычерчиванием проекций твердого тела на плоскость - однако, и здесь он использовал южный полюс небесной сферы в качестве центра своих проекций. (Точка пересечения линий проекций используется для получения перспективных искажений, например, в аксонометрических проекциях.)
Кроме того, Птолемей разработал собственный календарь, который, кроме предсказаний погоды, указывал времена восходов и заходов звезд в утренние и вечерние сумерки. Другие математические публикации содержат работу (в двух томах), носящую название "Hypotheseis ton planomenon" ("Планетарная гипотеза"), и две отдельных геометрических публикации, одна из которых содержит обоснование существования не более чем трех измерений пространства; в другой он предпринимает попытку доказательства постулата о параллельных Эвклида. Согласно одному обзору Птолемей написал три книги по механике; другое руководство, тем не менее, упоминает только об одной - "Peri ropon" ("О балансировке").
КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ (компенсирующие поля), векторные поля, обеспечивающие инвариантность уравнений движения относительно калибровочных преобразований (см. КАЛИБРОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ). Примеры таких полей — электро-магнитное поле в электродинамике, а также глюонные поля в квантовой хромодинамике и поля промежуточных векторных бозонов в теории слабого взаимодействия. Последние принадлежат к классу т. н. Янга — Миллса полей. [Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Про-хоров. 1983.]
КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ; квантовые поля, обладающие калибровочной симметрией (калибровочной инвариантностью). Примерами Калибровочных полей служат скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля, а также Янга – Миллса поля, в частности поле глюонов в квантовой хромодинамике и поля W± - и Z- бозонов в стандартной модели. К классу Калибровочных полей относится и гравитационное поле.
Теория Калибровочных полей определяется лагранжианом, который для Калибровочных полей должен быть инвариантен (симметричен) относительно калибровочных преобразований этих полей. Калибровочные преобразования делятся на коммутативные (абелевы) и некоммутативные (неабелевы) в соответствии с тем, зависит ли результат двух последовательных калибровочных преобразований от их порядка. В квантовой электродинамике калибровочные преобразования абелевы, для остальных квантовых полей – неабелевы. В большинстве случаев лагранжиан выбирают так, чтобы соответствующая квантовая теория поля была перенормируемой (см. Перенормировки). При этом оказывается, что перенормировка константы взаимодействия в абелевой теории Калибровочных полей имеет характер, противоположный неабелевой теории: в первой эффективная константа взаимодействия растёт на малых пространственно-временных расстояниях, а во второй – убывает (см. Асимптотическая свобода). Поэтому в неабелевых теориях Калибровочных полей при описании явлений, в которых по той или иной причине определяющую роль играют малые расстояния, применяется теория возмущений по константе взаимодействия (т. н. слабая связь). Сравнение результатов таких вычислений с экспериментальными данными позволяет заключить, что теория Калибровочных полей описывает эксперимент с высокой точностью.
Калибровочные поля сами по себе в природе не наблюдаются, поскольку содержат лишние - калибровочные – степени свободы. Так, потенциалы электромагнитного поля и поля Янга – Миллса определены только с точностью до калибровочного преобразования, а метрический тензор в квантовой теории гравитации определён с точностью до общековариантных преобразований (см. Калибровочная симметрия). Поэтому в большинстве вычислений наблюдаемых величин в теории Калибровочных полей необходимо прежде всего «фиксировать калибровку» полей, т. е. избавиться от лишних степеней свободы, от которых физические величины не зависят. Фиксировать калибровку можно многими способами (в зависимости от конкретной задачи выбор калибровки может быть более или менее удачен), но полностью «безобидной» фиксации калибровки, вероятно, не существует. В неабелевой теории Калибровочных полей фиксация калибровки во многих случаях приводит к необходимости вводить в теорию новые вспомогательные степени свободы – т. н. дy;хи Фаддеева – Попова, вклад которых следует вычитать при вычислении наблюдаемых. Однако этот метод возможен, по-видимому, только в рамках теории возмущений по константе взаимодействия; вне рамок этой теории возникает трудность в виде калибровочных неоднозначностей и калибровочных копий (В. Н. Грибов, 1977), проявляющихся в том, что одному условию фиксации калибровки отвечает много различных калибровочных полей.
Развивая теорию Калибровочных полей вне рамок теории возмущений (в области сильной связи), К. Вильсон (1974) и независимо А. М. Поляков (1974), а также Дж. Когут и Л. Саскинд (США, 1975) предложили соответственно евклидову и гамильтонову формулировки теории Калибровочных полей «на решётке». Суть этой теории состоит в том, что непрерывное пространство заменяется дискретным (т. е. «решёткой»), а Калибровочное поле компактифицируется, так что теория непрерывных и неограниченных полей аппроксимируется конечным (хотя и очень большим) набором переменных, принимающих ограниченные значения (см. Решёточные теории поля). Аппроксимация становится точной в пределе малого шага решётки. В этом подходе нет необходимости фиксировать калибровочные степени свободы (хотя это и можно сделать) и появляется возможность изучать теорию методом компьютерного моделирования, в частности в областях, недоступных реальным экспериментам. Напр., можно произвольно менять группу Ли, на которой основана неабелева теория Калибровочных полей, изменять число полей материи и их массы, изучать поведение теории в необычных условиях, таких как высокие температуры и плотности вещества. Хотя «решёточные вычисления» на компьютере не являются строгим доказательством в традиционном понимании, они дали весомую информацию о теории Калибровочных полей в области сильной связи, где обычная теория возмущений неприменима.
В другой теории Калибровочных полей – квантовой теории тяготения (гравитации) также используется компьютерное моделирование разнообразных триангуляций искривлённого пространства.
Общее свойство теорий Калибровочных полей (кроме квантовой электродинамики) со-стоит в том, что они взаимодействуют сами с собой, даже при отсутствии материи. Это следует из того, что уравнения движения (уравнения Эйлера – Лагранжа) нелинейны по полям. Поэтому для неабелевых Калибровочных полей характерны нетривиальные солитоноподобные классические решения уравнений движения. В частности, в теории полей Янга – Миллса имеются решения нелинейных аналогов Максвелла уравнений в виде статических монополей Богомольного – Прасада – Саммерфильда (БПС, 1975–76), а также зависящих от мнимого времени инстантонов (А. А. Белавин, А. М. Поляков, Ю. С. Тюпкин и А. С. Шварц, 1975). Позднее (1998) были обнаружены решения, обобщающие инстантоны на ненулевые температуры, и оказалось, что эти инстантоны «состоят» из монополей. Физический смысл инстантонов в теории Янга – Миллса – это классические траектории полей в мнимом времени, описывающие подбарьерный переход (см. Туннельный эффект) из одного минимума с нулевой потенциальной энергией полей в другой, причём в этих минимумах поле Янга – Миллса является «чистой калибровкой» с помощью унитарных матриц с единичным детерминантом, характеризуемых нетривиальным гомотопическим классом, т. е. числом «намоток» при обходе всего трёхмерного пространства.
В квантовой теории Калибровочных полей, флуктуирующих в пространстве и времени, классические решения представляют собой седловые (перевальные) точки функционального интеграла по Калибровочным полям, поэтому они могут играть определяющую роль при описании различных явлений. Так, инстантоны в стандартной модели приводят к принципиальной возможности нарушения сохранения по отдельности числа лептонов и барионов (Г.’т Хофт, 1976), чем можно объяснить преобладание материи над антиматерией, возникшее спонтанно в процессе эволюции Вселенной (В. А. Кузьмин, В. А. Рубаков и М. Е. Шапошников, 1985).
В квантовой хромодинамике инстантоны играют существенную роль в важнейшем явлении сильных взаимодействий – спонтанном нарушении симметрии и спонтанном возникновении масс у лёгких кварков (Д. И. Дьяконов и В. Ю. Петров, 1984), а связанные с инстантонами монополи БПС объясняют, вероятно, другое свойство сильных взаимодействий – удержание цвета, или конфайнмент кварков, а также деконфайнмент кварков при температуре, выше некоторой критической. Эти соображения и соответствующие вычисления базируются на квазиклассичом подходе к теории Калибровочных полей, правильность которого проверяется сравнением с экспериментом или с компьютерным моделированием «на решётке», но не является строго доказанной для большой константы взаимодействия.
Строгие математические методы в области сильной связи теории Калибровочных полей пока неизвестны, и надо надеяться только на разработку методов, где искусственно создаётся «малый параметр», по которому можно развить теорию возмущений. Например, значительные упрощения возникают в теории Калибровочных полей, построенной на группе Ли большого ранга NN; на этом основан метод 1/NN-разложения (Г.’т Хофт, 1974; Э. Уиттен, США, 1979). К этому же разряду относится метод, основанный на суперсимметричной модификации теории Калибровочных полей (см. Суперсимметрия), в котором предполагается, что данная теория отличается от своей суперсимметричной версии на малый параметр нарушения суперсимметрии. Суперсимметричные теории Калибровочных полей обладают столь высокой симметрией, что в них можно получить много точных результатов. Напр., в простейшей суперсимметричной модификации квантовой хромодинамики вакуумный конденсат глюино (аналог экспериментально известного конденсата кварков) вычисляется точно. Другой, ещё более интересный пример: суперсимметричная теория Калибровочных полей с четырьмя суперзарядами оказывается эквивалентной некоторой струн теории, причём большая константа взаимодействия одной теории отвечает малой константе взаимодействия другой (Х. Малдасена, США, 1998). Работы многих авторов (В. А. Казаков и др., Л. Н. Липатов и др., К. Л. Зарембо и др.) свидетельствуют в пользу того, что и данная теория Калибровочных полей, и соответствующая теория струн точно решаются при любой величине константы взаимодействия. Эти идеи позволяют надеяться на то, что как суперсимметричные, так и несуперсимметричные теории Калибровочных полей можно будет изучать не только методом теории возмущений по константе взаимодействия, ставшим уже стандартным, но и в области сильной связи.
Поскольку стандартная модель и теория гравитации основаны на одном принципе (и та и другая представляют собой теорию Калибровочных полей), возникает естественная мысль, что обе теории можно объединить в виде единой теории всех фундаментальных взаимодействий. Такое объединение, действительно, происходит в теории струн. Однако квантовая теория струн ещё не построена; неясен пока и механизм компактификации неизбежных «лишних» измерений пространства до наблюдаемых четырёх, а также механизм нарушения высокой симметрии струны до той симметрии, которая существует в природе. Поэтому рассматриваются и др. подходы к объединению теории гравитации и стандартной модели. В частности, квантовую теорию полей Янга – Миллса (на которой основана станартная модель) можно тождественно переписать в терминах калибровочноинвариантных переменных, которыми оказываются компоненты метрического тензора пространства дуальных полей, а лагранжиан для этих полей включает лагранжиан Эйнштейна – Гильберта, как в теории гравитации (Р. Анишетти и др., Индия, 2000; Д. И. Дьяконов и В. Ю. Петров, 2002). В этом подходе квантовые теории гравитации и полей Янга – Миллса становятся не только концептуально, но и практически близкими. В любом случае следует ожидать, что Великое объединение всех фундаментальных взаимодействий произойдёт в духе теории Калибровочных полей.
[Большая Российская Энциклопедия]