Однажды, когда Алла была на гастролях в Японии (1987), в ее квартире раздался телефонный звонок. Звонила танцовщица трио "Экспрессия" Людмила. К телефону подошла домохозяйка Пугачевой Люся. Люда сказала, что должна привезти ей щенка, потому что Алла просила пуделя. Удивленная Люся ответила, что та может это сделать, но только когда вернется сама Алла. Через несколько дней снова раздался звонок и Люда сообщила, что уезжает в Прибалтику и собачку все-таки завезет. Растерявшаяся домохозяйка решила не открывать дверь столь навязчивой распространительнице собак. Люся наблюдала в окно, как Людмила приехала и уехала ни с чем. Через три часа зашел сосед Миша и сообщил, что ему оставили и просили передать щенка. У соседа был годовалый ребенок, который успел за это время изрядно помучить двухмесячного щеночка. Люсе ничего другого не оставалось, как взять пуделя в дом.
Когда приехала Алла, собака вслед за Люсей побежала встречать свою будущую хозяйку. Алла Борисовна была очень удивлена, увидев у дверей маленький забавный комочек в ногах у Люси. Но когда звезда вошла в квартиру, пудель увязался и бегал по комнатам вслед за ней как хвостик. Ничего не оставалось, как оставить его в семье.
Вскоре из Мюнхена приехала лучшая подружка Аллы Алина. И они вместе занялись установлением пола подкидыша. Алла предположила, что это девочка. Но Алина с полной уверенностью сказала, что щенок - мальчик. Так и решили. Подруги назвали пуделя Кузей в честь небезызвестного Владимира Кузьмина. И хотя Алла Борисовна хотела завести девочку, Кузя настолько полюбил ее, что прима смирилась с его полом. Когда же Алла позвонила танцовщице Людмиле, чтобы высказать свои претензии по этому поводу, та ей ответила, что это девочка и есть. Но все настолько привыкли к кличке Кузя, что никто уже не хотел ее менять. Сошлись на том, что полное имя Кузьки будет Кузина.
Но был в доме один-единственный человек, которому это имя не нравилось, и он всячески уговаривал домочадцев сменить его. Это был тогдашний муж Аллы Борисовны Евгений Болдин, который просто терпеть не мог Владимира Кузьмина. Но если уж кличка не была изменена при перемене пола, то, естественно, она сохранилась и в данной ситуации.
Алла и Кузя очень привязалисъ друг к другу. Мало кто из людей может похвастаться, что видел столько стран, сколько их видела Кузя. Ведь Алла брала ее практически на все свои гастроли, даже когда летала в Америку. При перелете в США дли удобства Кузю посадили в клетку. Американские любители животных, увидев, в какой клеточке российская суперзвезда привезла свою любимицу, тут же подарили ей другую, во много раз большую. На обратном пути ее даже пришлось сдавать в багажное отделение.
Когда Алла переехала в новую квартиру и пошла на второй этаж разбирать вещи, собака, как всегда, поплелась за ней. Но там очень скользкие полы, и Кузя поскользнулась и упала с лестницы. Алла увидела лежащую на полу с открытыми глазами окровавленную любимицу и уже было решила, что потеряла ее. Но приехала "скорая помощь", и собачку спасли. Прожила ее любимая собака Кузина более пятнадцати лет.