Начало. До науки логики не было никаких наук и никаких порождённых ими знаний. Был человек и был огромный непонятный мир. Мир одновременно прекрасный и пугающий. В те немногие моменты, когда человеку не грозила смертельная опасность, он пытался рассуждать. Рассуждать словами. Слова, размытые по смыслу, плохо для этого подходили. Возникали ожесточённые споры. Искусство ведения споров приобретало жизненно важное значение. Не сразу, нелегко пробивалась истина. Но, находились люди, способные правильно ставить вопросы, находились люди, способные находить правильные ответы, находить решения. Были это мудрецы — властители дум, несущие надежду человечеству. Попробуем воссоздать ход их рассуждений, приведший к созданию логики.
Мудрецы пришли к выводу, что в рассуждениях и последующих неизбежных спорах надо использовать слова, одинаково воспринимаемыми всеми. Для этого нужны тщательно определённые слова.
Первым из них стало «понятие». Понятие позволяло бы мудрецу начать рассуждения, например, такой мудрой фразой:
А теперь, мой друг, поговорим о таком понятии как …
Вторым определённым словом, сразу выделявшим мудреца из толпы на базарной площади, стало «суждение» - суждение о понятиях.
Определения понятия и суждения прошли непростой путь. Ведь у мудрецов не было ни одного точного определения, которое они могли бы использовать. Любые попытки дать определение понятию сводились к использованию других неточных определений: понятие есть мысль, форма мышления, общее имя с относительно ясным содержанием и сравнительно четко очерченным объемом и т. д.
Что может быть включено в определение понятия? Понятие вводит границы, в пределах которых находится понятие, ограничивает возможные его интерпретации.
Мудрецы решили строить определения по частям, не вызывающим сомнения. Пока было ясно одно - для каждого понятия необходимо уникальное имя, которое будет отождествляться с самим понятием.
Текущее определение понятия:
• имеет уникальное имя, отождествляемое с самим понятием.
О суждении была известна не менее скудная информация - оно связывает понятия.
Текущее определение суждения:
• устанавливает связь между понятиями.
Последующие споры позволили выбрать из возможных суждений только те, которым можно сопоставить истину или ложь. Соответственно истинность требовала доказательств.
Суждения оказались удобными для рассуждений, так как образовывали цепочки, связывающие понятия и ранее высказанные суждения. Цепочки позволяли в определённых случаях выводить, доказывать новые суждения. Разные варианты цепочек суждений могли приводить и к противоречию. Противоречия указывали на ошибки. Ошибки для мудрецов были недопустимы. Мудрецы строили цепочки суждений искусно избегая противоречий.
Можно уточнить определение суждения.
Текущее определение суждения:
• суждение устанавливает связь между понятиями;
• наборы суждений могут образовывать связанные цепочки (цепочки суждений);
• суждение могут быть истинными или ложными, третьего не дано;
• истинность суждения надо доказывать;
• два суждения, противоречащих друг другу, не могут быть одновременно истинными:
Рассуждения мудрецов о понятиях, привели к мысли, что понятия должны образовывать иерархическую структуру: для каждого понятия должно существовать более общее родительское понятие. Иерархия представлялась символом порядка – молчаливым спутником истины. Иерархическая структура имеет вид пирамиды. Идея оказалась плодотворной.
Были созданы методы построения иерархии: индукция, дедукция, абстракция и аналогия. Индукция создаёт родительское понятие из ряда подобных видовых. Дедукция создаёт из родового понятия не открытые ранее видовые понятия. Абстракция позволяет выделить из пирамиды небольшую локальную пирамидку, позволяет отбросить несущественные для данного рассмотрения свойства. Абстракция позволяет исследовать выбранное свойство, не отвлекаясь на ненужные детали, пресекая в зародыше назойливые вопросы людей несведущих. Аналогия указывает на общность двух локальных пирамидок и позволяет встраивать их в общую пирамиду понятий.
Для каждого родительского понятия должны существовать видовые понятия, имеющие различия – видовые различия. Видовое различие — это некоторое дополнительное свойство, которого нет в родительском понятии (почему собственно родительское понятие и является общим для видовых понятий). Значит, понятие имеет свойства. Свойства – это другие, ранее определённые понятия. Самые верхние понятия иерархической пирамиды имеют минимальный набор свойств. При спуске на каждый следующий уровень добавляется новое свойство. Если свойству задаётся конкретное значение – получается экземпляр понятия. Реально существующее понятие должно иметь реально существующее свойство, которое можно измерить. Эти рассуждения позволили наконец наполнить определение понятия и уточнить определение суждения.
Текущее определение понятия:
• имеет уникальное имя, отождествляемое с самим понятием.
• начальные понятия предельно общие и абстрактные.
• понятия конкретизируются набором свойств, которые являются ранее определёнными понятиями. Понятия с определённым значением свойства – экземпляр понятия. Реально существующие экземпляры понятий должны иметь свойства, которые можно измерить.
• понятия по отношению друг к другу находятся в иерархической связи. При наличии родового понятия новое понятие вводится от него как видовое с указанием видового отличия (свойства).
Текущее определение суждения:
• суждение устанавливает связь между понятиями;
• наборы суждений могут образовывать связанные цепочки (цепочки суждений);
• суждение могут быть истинными или ложными, третьего не дано;
• истинность суждения надо доказывать, на основе ранее доказанных суждений;
• два суждения, противоречащих друг другу, не могут быть одновременно истинными;
• если суждения связывают реально существующие экземпляры понятий, то и связывающие суждения могут быть реальными связями.
Поясним важность правильного определения на примерах. Получив определение понятия можно наконец произнести мудрую фразу: «А теперь, мой друг, поговорим о таком понятии как отверстие».
Задача об отверстии в папирусе.
Дано: В листе папируса круглое отверстие, вырезанное по периметру монеты в 2 номинала.
Надо: Продеть через него монету в 3 номинала (немного большего диаметра).
Требование: Не разорвав папирус.
Понятно, что монета большего диаметра не пройдёт, как её не поворачивай. Но, пока не использовано условие материала листа, в котором проделано отверстие.
Возможны два определения отверстия:
Пустое пространство, ограниченное предметом.
Образуемая краями предмета замкнутая поверхность.
Разница определений существенная. В первом определении родовым понятием является пустота, не зависящая от свойств материала. Во втором родовым понятием является поверхность материала. И, следовательно, свойства отверстия зависят от свойств материала, в котором оно проделано.
Если мы выберем первое определение, то задача не будет иметь решения. Ведь повлиять на отверстие мы не можем, как если бы оно было проделано в сверхпрочном материале.
Выбрав второе определение, мы получим доступ к свойствам материала, окружающего отверстие. Свойства листа папируса известны: можно сгибать, можно изгибать. Эти две свойства папируса дают метод решения:
Согнём лист так, чтобы диаметра отверстия оказался на линии сгиба, и линия отверстия образовала полукруг. Выпрямим полукруг в линию, изгибая лист. Длина этой линии равна половине периметра меньшей монеты Пи*R. Таким образом, вместо отверстия диаметром 2*R мы получаем щель длиной 3,14*R. Этого достаточно для продевания монеты в три номинала.
Поскольку задача имеет решение, мы можем сделать важный вывод: правильным является следующее определение отверстия: образуемая краями предмета замкнутая поверхность.
Задача о гарантированном выходе из леса за конечное время.
Дано: Путник находится в равнинном лесу. Известно, что лес сплошной и его площадь S.
Надо: Установить по какой траектории идти.
Требование: Гарантированно выйти за конечное время.
Мы имеем бесконечное разнообразие плоских замкнутых линий, ограничивающих площадь S. Нет ли среди них особых замкнутых линий? Например, окружность. Она обладает максимальной степенью симметрии на плоскости. Равноудалённость точек окружности от центра – определяющее свойство окружности. Для данной задачи этого определения недостаточно.
У окружности есть ещё одно важное свойство. Это свойство проявляется при сравнении с любыми другими кривыми, имеющими ту же длину. По сути это видовое различие: из всех плоских кривых равной длины окружность ограничивает наибольшую площадь. Любая другая кривая, выходящая за пределы круга неизменно приведёт к тому, что внутри круга образуется равная по площади пустота. А поскольку лес сплошной – пустота образуется на границе.
Решение задачи. Для площади S минимальный радиус R = ;(S/Пи). Надо считать, что путник находится на любой, выбранной им окружности данного радиуса и должен двигаться по ней. Придётся пройти расстояние не больше длины этой окружности.
Вывод. Из двух определений окружности для решения необходимы оба:
1. замкнутая линия на плоскости, ограничивающая максимальную поверхность,
2. замкнутая линия на плоскости, каждая точка которой равноудалена от точки плоскости, являющейся центром окружности.
Первое необходимо для выбора именно этого типа линии. Второе, для её построения. Для корректного определения окружности необходим указать оба свойства.
Суждение оказалось также очень полезным инструментом. При умелом использовании оно становилось отмычкой для сложных задач. Вот примеры на формулировку суждений.
В какой комнате сокровище?
Дано: Две комнаты, у каждой по одному стражнику. Из них один правдивый, другой лжец.
Каждый стражник знает в какой комнате сокровища, и кто из них лжец.
Надо: Определить где сокровища.
Требования: Один вопрос любому из стражников с ответом да или нет (одно суждение).
Вопрос один, а неизвестных два: в какой комнате сокровища и кто правдивый. Если сокровища действительно за дверью стражника, то на вопрос «Сокровища за Вашей дверью?» ответы правдивого стражника и лжеца полностью совпадут. Хотя, говорить они будут каждый о своей двери.
Но, не использована подсказка, что каждый знает кто лжец.
Нельзя ли сформулировать суждение так, чтобы использовать знание стражника о лжеце? Тем самым оставить одно неизвестное на внутреннем уровне, где оно известно?
Можно, если добавить к вопросу фразу: «по мнению другого стражника».
Решение:
Суждение-вопрос таково: «По мнению другого стражника сокровища за Вашей дверью». «Да или нет?» Лжец и правдивый стражник, если клад за их дверью, дадут разные, но одинаково лживые ответы. Ведь их ответ фактически будет равен сумме правдивого и лживого ответов. Применив отрицание, мы получим правильный ответ, так и не узнав, кто же был лжец.
В каком городе ты находишься?
Дано: Два города. В одном живут мудрецы, всегда говорящие истину. В другом лжецы.
Они могут ходить в гости друг к другу.
Надо: Узнать у случайного прохожего в каком городе ты находишься.
Требования: Можно задать один вопрос (одно суждение).
Прямой вопрос: «Это город Мудрецов?» не даст результата.
Вопрос один, а неизвестных два: какой город и правдив ли случайный прохожий.
Задача та же, сформулировать суждение так, чтобы неизвестное о лжеце осталось на внутреннем уровне. Но прохожий один.
В вопросе должно содержаться отношение прохожего к городу. Для мудреца и лжеца оно разное. Плюс к этому лжец ещё и соврёт. Тогда, по отношению к ответу мудреца, лжец сделает два отрицания. В итоге ответит также.
Решение:
Суждение-вопрос таково: «Вы сейчас в своём городе». «Да или нет?»
В городе мудрецов:
Мудрец скажет: «Да».
Лжец знает, что он не в своём городе. Это первое отрицание.
Но от ещё и должен соврать. Это второе отрицание. В результате он скажет тоже «Да».
В городе лжецов:
Мудрец скажет: «Нет».
Лжец знает, что он в своём городе, но он должен соврать. Это единственное отрицание. В результате он тоже скажет: «Нет».Не зная, кто перед Вами, по ответу «Да» Вы поймёте, что Вы в городе мудрецов.
Последовательность верных суждений может приводить к противоречию с исходными положениями, если в них изначально и было противоречие. В следующей задаче надо построить суждение, приводящее к противоречию (выявляющее противоречие).
Любой мудрец обязан виртуально владеть суждением. Это может быть вопрос жизни или смерти.
Зачем ты идёшь в этот город?
Дано: Каждому входящему путнику стражи города задают вопрос: «Зачем ты идёшь в этот
город?».Если лжёшь - тебя повесят, если говоришь правду – утопят.
Надо: Дать ответ (высказать суждение).
Требование: Остаться живым.
Задача кажется безнадёжной в свете строгих требований к суждению. Суждение обязано быть истинным или ложным. Однако, суждение может оказаться в противоречии с последующим результатом. Суждение должно быть таким, чтобы правдивый ответ приводил к результату как для лжи. Результат лжи – повесить.
Решение:
Суждение таково:«Иду чтобы быть повешенным».
Конечно, стражники посчитают это безмерной ложью и должны будут повесить путника. Однако, если его повесят, значит он сказал истину. За истину надо утопить. Но если его утопят, значит он соврал. И стражники должны были его повесить. Ни истина, ни ложь не установимы. Путник останется жив.
Две очередные проблемы для мудрецов стали особенно тяжёлыми.
1. Определение понятия содержало неразрешимое противоречие. Как быть, если для первопонятия нет родового? У первопонятия нет никаких свойств, ведь это тоже ранее определённые понятия. У первопонятия нет ничего кроме имени.
2. Определение суждения содержало подобное противоречие. Как доказать правдивость первого суждения, когда нет никаких доказанных суждений?
Тогда мудрецы обратили внимание на объект, который можно построить из понятий и суждений – систему. Система представлялась целым, построенным из частей.
Текущее определение системы:
• система представляет собой набор понятий, связанных суждениями;
• понятия могут входить в систему как экземпляр понятия, в том числе реально существующий. Экземпляров может быт разное количество.
Было выделено основное свойство систем - целостность. Каким же образом системы приобретают свойство целостности? Это результат целенаправленного действия. Результат следования основополагающему утверждению - системообразующему принципу. Под него выбирается начальное для системы понятие или суждение. Под них подбираются остальные понятия и суждения, выстраиваясь в систему.
Были даны определения принципу и реализующему его методу.
Определение принципа:
• Принцип является суждением.
• Принцип является первичным по отношению к создаваемой системе.
• Принцип имеет метод реализации.
• Принцип должен оставаться верным и в любой части создаваемой системы.
Определение метода:
• Метод показывает, как реализовать принцип.
• Метод является последовательностью суждений, приводящих к формулировке принципа.
• Метод осуществляет обратный процесс: выведение принципа из подобранных свойств понятий и суждений системы.
Можно уточнить определение системы.
Текущее определение системы:
• система представляет собой набор понятий, связанных суждениями;
• понятия могут входить в систему как экземпляр понятия, в том числе реально существующий. Экземпляров может быт разное количество;
• одно из понятий или суждений системы является системообразующим – системообразующим принципом. Под него подбираются остальные понятия в нужном количестве. Под него подстраиваются связывающие суждения.
• системообразующий принцип должен иметь методы реализации.
Определение системы оказалось исключительно полезным. Рассуждая о вопросах и порождаемых ими задачах, мудрецы пришли к выводу, что важно правильно ставить вопрос.Задача имеет решение только, если её исходные данные образуют систему. Так, решённая задача представляет собой набор понятий и связывающих их суждений такой, что существует цепочка суждений, связывающая любую пару понятий. Если в системе недостаёт одного понятия или суждения, его можно установить по оставшимся понятиям и связям.
Текущее определение системы:
• система представляет собой набор понятий, связанных суждениями.
• понятия могут входить в систему как экземпляр понятия, в том числе реально существующий. Экземпляров может быт разное количество.
• одно из понятий или суждений системы является основным – системообразующим принципом. Под него подбираются остальные понятия в нужном количестве. Под него подстраиваются связывающие суждения. Таким образом обеспечивается целостность системы.
• системообразующий принцип должен иметь методы реализации.
• все понятия системы связаны суждениями в замкнутые цепочки понятий так, что:
; существует цепочка суждений, связывающая любую пару понятий,
; любое недостающее понятие можно установить, пользуясь суждениями и оставшимися понятиями,
; любое недостающее суждение можно установить, пользуясь понятиями и оставшимися суждениями.
Рассуждая о системе как о целом, мудрецы пришли к следующим выводам: Элементы системы могут иметь свойства, связанные между собой в определении системы, и иметь свойства, которые могут принимать определённые значения, не зависящие от значения свойств других элементов. Набор таких независимых свойств – параметры системы. Они определяют состояние системы как целого. Если система имеет только одно состояние – то у неё нет параметров состояния. Если параметры есть, то изменяя их можно переводить систему в заданное состояние. Можно управлять достаточно сложной системой, выполняя ограниченные действия над её параметрами. Можно решать задачи на перевод системы в заданное состояние и можно создавать реально полезные системы. Теперь никто не мог обвинить мудрецов в пустом времяпрепровождении, бессмысленной трате слов.
Текущее определение системы:
• система представляет собой набор понятий, связанных суждениями;
• понятия могут входить в систему как экземпляр понятия, в том числе реально существующий. Экземпляров может быт разное количество. Это элементы системы.
• экземпляры понятий могут иметь определённое значение свойств – параметры системы. Параметры системы определяют состояние системы как целого, позволяют управлять системой, переводя её в заданное состояние.
• одно из понятий или суждений системы является основным – системообразующий принцип. Под него подбираются остальные понятия в нужном количестве. Под него подстраиваются связывающие суждения. Таким образом обеспечивается целостность системы.
• системообразующий принцип должен иметь методы реализации.
• все понятия системы связаны суждениями в замкнутые цепочки понятий так, что:
; существует цепочка суждений, связывающая любую пару понятий,
; любое недостающее понятие можно установить, пользуясь суждениями и оставшимися понятиями,
; любое недостающее суждение можно установить, пользуясь понятиями и оставшимися суждениями.
Поясним полезность определения системы на примере.
Используем известную задачу, но искать решение будем, используя понятие системы.
Задача о переправе через реку волка, козы и капусты.
Дано: На правой стороне реки волк, коза и капуста (всего три объекта перевозки).
Крестьянин может перевозить их в лодке только по одному. Без крестьянина коза может съесть капусту, волк – козу.
Надо: Перевезти всех на другую сторону.
Требования: Все должны остаться целыми.
Начальное состояние системы все три объекта на правом березу. Конечное – на левом. Каждый перевоз лодкой меняет состояние системы. Без крестьянина безопасными состояниями системы являются:
одиночное нахождение на берегу любого объекта (волка, козы или капусты) и
парное, если среди них нет козы.
Всё понятия взаимосвязаны и удовлетворяют требованиям к системе. Определим набор независимых параметров. Состояние системы можно задать следующими параметрами: число объектов справа, в лодке и слева. С учётом того, что общая сумма не меняется, один параметр можно сделать вычисляемым (например, число объектов слева = 3 – (число в лодке + число справа)).
Для учёта ограничений придётся добавить ещё один параметр: кто в лодке помимо крестьянина (волк, коза, капуста). Если на любом берегу два объекта, то в лодке может быть только коза.
Достаточно ли этих параметров? Считая, что система задаётся четырьмя параметрами, укажем известные и очевидные состояния.
См. рис. 1
Результат выглядит несколько странно. С учётом требований совместимости начать можно только с хода козой (с перевозки козы). Но, по тем же требованиям завершить переход системы в конечное состояние можно только перевозкой всё той же козы в том же направлении.
Это важная подсказка. Можно сформулировать суждение, определяющую особенность данной системы: Лодка, используемая для переправы, может быть использована также для изоляции объекта перевозки.
Именно с целью изоляции коза возвращается снова на правый берег. После этой подсказки завершить решение не составляет труда.
Описание системы четырьмя параметрами оказалось неполным. Необходимо добавить параметр «Направление движения лодки». Тогда система полностью описывается пятью параметрами, один из которых является вычисляемым: сколько справа, сколько в лодке, сколько справа, кто в лодке (кроме крестьянина), направление лодки.
Решение сводится к заполнению таблицы состояний последовательностью их изменений.
См. рис. 2
Последовательность переходов соответствует всем требованиям задачи. В частности, когда на берегу оставалось пара объектов перевозки (1 и 7 переходы) в лодке была коза. Крестьянин с задачей справился, для этого пришлось совершить семь поездок вместо пяти.
Если описать последовательность решения, то можно выделить непрерывную цепочку верных суждений, приведших от исходных данных к результату.
Вернёмся к проблеме определения первопонятий. Для самых первых суждений было придумано специальное имя – аксиома. Она считалась не доказанным, но верным суждением. Как определение системы может помочь определить самое первое понятие, когда нет ни родительского понятия и нет никаких свойств понятия. Как доказать аксиому?
С подобной проблемой мудрецы столкнулись, размышляя над точками, прямыми и плоскостями. Королева наук – геометрия опирается на систему из трёх понятий и
20-ти аксиом (в системе аксиом евклидовой геометрии Гильберта). Все остальные понятия и теоремы выводятся из них методом дедукции. Казалось бы, полное торжество науки. Но понятия точки, прямой и плоскости задаются только именами и считаются неопределёнными.
Считаются неопределёнными, но фактически таковыми не являются. Ведь неопределённое понятие можно произвольно менять без всяких последствий для рассуждений. А в системе аксиом на понятия накладываются жёсткие ограничения. Вот они:
• Через любые две точки можно провести прямую. Причём, только одну.
• Если две прямые пересекаются, то они пересекаются в точке.
• Для любых двух точек, лежащих на прямой, найдётся точка прямой, лежащая между ними.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость. Причём, только одну.
• Если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой.
• Если на плоскости лежит прямая и точка, не лежащая на этой прямой, то через эту точку можно провести только одну прямую, не пересекающую существующую.
Мудрецы пришли к выводу, что если несколько первопонятий образуют минимально возможную систему (первосистему) и задаются в рамках этой системы однозначно, то такая система определяет все входящие в неё понятия. Аналогично, все аксиомы, в рамках такой первосистемы, считаются доказавшими свою истинность.
Так, добавив определение системы, мудрецы решили сразу две считавшиеся неразрешимыми проблемы.
Определение первопонятий и доказательство аксиом в рамках первосистемы накладывает определённое ограничение на использование этих понятий и аксиом.
Если понятие, определённые по классической схеме (через родительское понятие и свойства), можно использовать как независимое, отдельно существующее понятие, то понятия, определённые в рамках первосистемы (аксиоматическим методом) можно использовать только, признав их все. Любая другая система, использующая одно из этих первопонятий или аксиом, должна включать в себя как составную часть всю первосистему. Так же и отдельную аксиому можно использовать только, приняв все аксиомы и понятия первосистемы.
Вот в качестве примера, структура евклидовой геометрии. Она может быть представлена в виде иерархии трёх систем:
Система (понятий и) аксиом Гильберта
Планиметрия (система понятий и теорем)
Стереометрия (система понятий и теорем)
Планиметрия включает в себя всю систему понятий и аксиом евклидовой геометрии. Стереометрия включает в себя всю планиметрию.
Таким образом, евклидова геометрия представляет собой иерархическую связь систем.
Мы можем этим утверждением дополнить определение системы. Системы позволяют сгруппировать понятия и суждения так, что система может быть представлена новым общим понятием. Сами понятия образуют иерархию в пределах систем, но без систем, они не создают единую иерархию.
Определение системы:
• система представляет собой набор понятий, связанных суждениями;
• понятия могут входить в систему как экземпляр понятия, в том числе реально существующий. Экземпляров может быт разное количество. Это элементы системы.
• экземпляры понятий могут иметь определённое значение свойств не зависящие от значения свойств других экземпляров – параметры системы. Параметры системы определяют состояние системы как целого, позволяют управлять системой, переводя её в заданное состояние.
• одно из понятий или суждений системы является основным – системообразующий принцип. Под него подбираются остальные понятия в нужном количестве. Под него подстраиваются связывающие суждения. Таким образом обеспечивается целостность системы.
• системообразующий принцип должен иметь методы реализации.
• система как целое может быть представлена в виде понятия, обладающего свойствами системы как целого;
• все понятия системы связаны суждениями в замкнутые цепочки понятий так, что:
; существует цепочка суждений, связывающая любую пару понятий,
; любое недостающее понятие можно установить, пользуясь суждениями и оставшимися понятиями,
; любое недостающее суждение можно установить, пользуясь понятиями и оставшимися суждениями.
• системы по отношению друг к другу находятся в иерархической связи – иерархия систем: наследуются все понятия, аксиомы и теоремы родительских систем.
Казалось бы, можно завершить определения понятия так:
«Понятия, не имеющие родительских, определяются в составе конечной системы первопонятий и аксиом. Такая система должна объединять минимально возможное количество первопонятий, которые в ней должны понимаются однозначно».
А определение суждения так:
«Истинность аксиом считается подтверждённой, если они составляют конечную систему аксиом и первопонятий, однозначно определяющую первопонятия».
Однако, отметим следующее, в определении понятия ни упоминались ни суждение, ни система. Определение суждения опиралось на определение понятия и не упоминало систему. Определение системы опиралось на определения понятия и суждения. Никаких противоречий типа тавтологии или порочного круга с определениями не было. Но, упомянув систему в определении понятия и суждения, мы немедленно вызовем эти противоречия.
Вполне законно можно использовать уже проверенный в евклидовой геометрии аксиоматический метод. Введём определения двух аксиом.
Аксиома определения первопонятий:
«Понятия, не имеющие родительских, определяются в составе конечной системы первопонятий и аксиом. Такая система должна объединять минимально возможное количество первопонятий, которые в ней должны понимаются однозначно».
Аксиома доказательства самых первых суждений:
«Истинность самых первых суждений считается подтверждённой, если они составляют конечную систему суждений и первопонятий, однозначно определяющую первопонятия».
Что в итоге?
• Есть определение понятия
• Есть определение суждения
• Есть определение системы, принципа и метода
• Есть аксиома определения первопонятий
• Есть аксиома доказательства самых первых суждений
В результате получена«система первопонятий и аксиом». Системообразующий принцип - принцип иерархии систем. В этой системе первопонятия определены однозначно. Причём, выполнено и условие иерархической связи систем (определение системы, являющееся наиболее общей системой, включено в «систему первопонятий и аксиом»).
«Система первопонятий и аксиом», хотя и выведена позже системы аксиом евклидовой геометрии, является более общей, является первичной. Система аксиом евклидовой геометрии, хотя и сформулирована позже, является начальным состоянием евклидовой геометрии.
Евклидова геометрия – это наука. Система аксиом евклидовой геометрии – начальное состояние науки геометрии.
Евклидова геометрия – это одна из наук.
Осталось сделать один шаг к общему определению науки. Система аксиом евклидовой геометрии – частный случай «системы первопонятий и аксиом».
• Возьмём «систему первопонятий и аксиом» как наиболее общую систему.
• Укажем системообразующий принцип (задаёт и направление развития) – построение иерархии систем.
• Укажем методы реализации принципа - методы построения иерархии: индукция, дедукция, абстракция и аналогия.
В результате получим начальное состояние любой науки. Сделав этот шаг, мудрецы получили начальное определение науки. Для него понадобилось всего 5 определений: понятие, суждение, система, принцип и метод.
Развитие науки будет заключаться в выделении систем и определении их основополагающих принципов. В результате развития науки мы получает иерархию систем и иерархию системообразующих принципов. Эти принципы являются наиболее общими знаниями об этих системах. Найденные принципы и реализующие их мтоды составляют базу знаний в рамках исследуемых систем, позволяют предсказывать их поведение, позволяют управлять этими системами.
Конечно, если говорить о локальных знаниях, сырых фактах, не нашедших более общего объяснения, то в каждой науке методы свои. Но, если строить модель науки, то методы общие – методы логики. А учитывая, что до логики не было никаких наук, уместно также название: первонаука логика. Логика задаёт основания любой науки, и сама строится по своему подобию.
Построивший систему аксиом Евклидовой геометрии Давид Гильберт рассчитывал обобщить аксиоматический метод на все науки. Это обеспечило бы невероятную красоту науки – её логическое совершенство. В этом случае все науки имели бы общий исток – общую систему аксиом. «Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести все здание теории».
Об этом в статье Давида Гильберта «Естествознание и логика» (Познание природы и логика).
Приложение:
Проверим как работает первонаука, её принципы и методы.
Следующая задача была использована в одной очень популярной игре на логику - «Братья пилоты», и была камнем преткновения для многих игроков. Поиски «полосатого слона» всегда упирались в странный шифр холодильника. Странной была логика поворота ручек. Поиск решения не был детерминирован по времени. Но были знаки - особые знаки симметрии – верные указатели правильного пути. Матрица 4х4 обладала особой магией. Открытие холодильника всегда было случайным, неповторимым, необъяснимым. Люди, владеющие магией открывания холодильника, пользовались заслуженным авторитетом. Видимо это прямые потомки мудрецов.
У нас есть классическая система, имеющая чёткие границы, есть состояние системы и есть метод изменения состояния.
Надо определить принцип, по которому система переводится в нужное состояние за конечное число ходов. В этом случае система будет считаться решённой, и найденный принцип может быть добавлен в базу знаний. Задача имеет три решения.
Первое самое простое, но и самое длинное (даже скучное). Позволяет обнулять матрицу и создавать задачу методами матрицы. Но метод не объясняет как.
Второе решение открывает магию матрицы. Оно короче, но не позволяет создавать задачу. Это решение лишь приоткрывает тайну матрицы.
Третье решение и самое короткое и самое универсальное. Самое главное – оно раскрывает магию матрицы и позволяет увидеть уводящую в бесконечность дорогу мудрецов.
Задача о матрице (квадратной с чётным порядком или прямоугольной с чётными числами столбцов и строк, на примере квадрата 4х4).
Дано: Матрица - квадрат размером 4х4 ячейки.
Каждая ячейка может принимать значение 0 или 1. Но, при нажатии на любую ячейку меняются значения всех ячеек её строки и её столбца. Матрица заполнена произвольным числом единиц.
Надо: Превратить все единицы в нули.
Требования: Число ходов должно быть конечным.
Свойство матрицы необычно, при нажатии на одну ячейку, меняются значения семи.
См. рис. 3
На рисунке для наглядности нули не показываем. Несмотря на простоту объекта исследования, он достаточно коварен непривычным поведением. Попробуем привести нашу загадочную матрицу к матрице с обычным поведением. Зададим простейшее начальное состояние – только одна единица.
У нас нет ни одного подходящего принципа для решения. Но есть принцип самой матрицы, предсказывающей её поведение: «Одно нажатие – семь переворотов».
Нам надо найти обратный принцип, переворачивающий одну ячейку. Если одно нажатие переворачивает 7 элементов, то, что будет при нажатии этих семи элементов? Просто перевернём принцип:
Семь нажатий – один переворот.
Для определённости нажмём последовательно 4 ячейки ряда и три (пропуская пересечение) столбца. Единица стёрта. Ура!
См. рис. 4
Есть принцип, есть метод, определяющий последовательность решения.
Проверка принципа на универсальность.
Что плохо в результате? Мы произвольно выбрали последовательность нажатий. А если бы не угадали?
Выполним произвольно несколько других последовательностей нажатия выбранных ячеек. Результат сохраняется - единица стирается. Вывод: важна только схема нажатий, последовательность неважна. Решение безразлично к последовательности нажатий. Метод реализации формулируем так: Для переворота любой ячейки надо выполнить 7 нажатий по схеме строка, столбец в произвольном порядке. Ячейка на пересечении нажимается один раз.
Итак, принцип есть, уточнён метод его реализующий.
В чём коварство этой задачи? Решение найдено, и можно закрыть дело. Но, что плохо в этом решении? Оно длинное. Не выяснена причина произвольности нажатий, ведущих к решению. Удивительно, что матрица не запутывается от произвола последовательности нажатий. Такое ощущение, что матрица каким-то загадочным способом наделена интеллектом и запоминает, что из необходимого было нажато и что остаётся нажать. Похоже дело закрывать рано.
Попробуем найти другой вариант решения для переворота одной единицы. Вместо произвольной последовательности нажатий нажмём сначала на единственную единицу. Мы получим 6 новых единиц и у нас осталось 6 нажатий. Причём эти нажатия точно соответствуют полученным единицам.
См. рис. 5
Не зная ничего о предыдущих состояниях матрицы, мы просто запоминаем схему расположения единиц (например, пометив их начальное положение серым цветом). Далее последовательно, не обращая ни малейшего внимания на происходящее с матрицей, нажимаем все ячейки по этой схеме? В результате пустое поле. Наметился новый подход к решению, но это ещё не решение. Первый метод применялся независимо к каждой ячейке и гарантировал результат. Здесь для общего случая гарантии пока нет. Теперь, вместо параметра состояния (каждой) ячейки, мы получили в качестве параметра системы «цикл единиц», определяющих дальнейшее поведение матрицы.
Что же заставляет матрицу опустеть? Как она запоминает оставшиеся хода? Изменим точку зрения. Предположим, что интеллект матрицы находится в каждой ячейке. Как рассуждает ячейка? Вспомним, что у каждой ячейки всего два состояния и ничего длиннее она запомнить не может. Тогда каждой ячейке важна только чётность переворота ячейки по завершении цикла нажатия на единицы.
Дадим определение чётности ячейки в матрице заполненной произвольным числом единиц. Ячейка чётная по отношению к циклу единиц, если четна сумма единиц в её строке и её столбце (пересечение считается один раз). Иначе ячейка нечётная по отношению к циклу нажатия на единицы.
Все отмеченные серым поля (совпадающие с единицами) нечётные по циклу единиц. Поэтому и пустеют. Белые поля чётные и не меняются.
Эти суждения можно обобщить до уровня принципа:
Изменение значения каждого элемента матрицы после полного завершения цикла нажатий определяется только чётностью числа нажатий в столбце и строке этого элемента.
Этот принцип позволит нам очень быстро проверять уничтожимость каждой отдельной единицы. Применение этого принципа избавляет нас от необходимости прочерчивать последовательно все изменения матрицы после каждого нажатия.
Это полезный принцип, но он не является завершающим. В общем случае единицы могут оказаться в чётных ячейках по отношению к циклу нажатий и их поведение неизвестно. Для решения в общем виде нам придётся вспомнить важное свойство матриц. Одинаковые по размерам матрицы можно суммировать по отдельным ячейкам независимо. Следовательно, матрицу можно представить в виде набора слоёв матриц, в каждой из которых только одна единица. В сумме они дадут исходную матрицу.
Тогда, вместо преобразования исходной матрицы циклом нажатий на единицы в каждой отдельной матрице выполним по одному нажатию и произведём суммирование. Это принцип суперпозиции для одинаковых по размеру матриц:
Любая матрица может быть представлена в виде суммы более простых, одинаковых с ней по размерам матриц. Общий результат изменения матрицы равен сумме изменений в каждой отдельной матрице.
После преобразования отдельной матрицы с произвольным расположением единственной единицы (после нажатия на единственную единицу) все вновь образованные единицы (ячейки с единицами) оказываются нечётными (Н) а нули (ячейки без единиц) чётными (Ч). Осталось посмотреть, что происходит при сложении двух преобразованных матриц.
См. рис. 6
Суммирование в каждой ячейки независимо и подчиняются известному правилу чётности:
Ч + Ч = Ч (остаётся нуль чётный)
Н + Ч = Н (остаётся единица нечётная)
Н + Н = Ч (вместо образования единицы, образуется чётный нуль)
Вывод такой, после первого же преобразования (нажатия цикла единиц) матрица неизбежно переходит в состояние, в котором остаются только нечётные единицы и чётные нули. Если начальная матрица уже была в этом состоянии, то первым же циклом единиц она приводится к чистому полю (полю нулей).
Новый принцип формулируется так;
Независимо от начального расположения единиц метод единиц позволяет обнулить матрицу не боле чем за два цикла.
Метод реализации формулируем так:
После нажатия всех единиц матрица, или обнуляется, или переходит в состояние, в котором остаются только нечётные единицы и чётные нули.
Следующий цикл единиц с неизбежностью приведёт к пустому полю нулей.
Итак, есть второе решение. Есть новый принцип, есть метод его реализации.
Проверка принципа на универсальность.
Новое решение не так очевидно. Оно красиво, даже в чём-то мистично. В сравнении с первым решением сократилось число ходов. Что плохо? Как мы задавали начальную схему? Мы отключали принцип «Одно нажатие – семь переворотов» и просто переворачивали выбранные ячейки. Мы не знаем, как можно привести матрицу методом единиц к произвольному заданию начальной схемы.
Надежды тают. Ведь найдено уже два решения. Для одной простой задачи и этого много. Существует ли третье решение. Мудрец никогда не остановится, не прояснив вопрос до самого дна, до самой истины.
Вновь вернёмся к схеме семи нажатий. Используем выведенный нами принцип:
Изменение значения каждого элемента матрицы после полного завершения цикла нажатий определяется только нечётностью числа нажатий в столбце и строке этого элемента.
Вернёмся к матрице с одной единицей. Отметим теперь (серым фоном) не единицы, а все нечётные по отношению к нажатию единицы ячейки. Это шесть ячеек с нулями (пустые поля) и одна ячейка с единицей.
См. рис. 7
Мы видим, что если сложить нечётные единицы, и нечётные нули, то результат совпадает со схемой метода семи нажатий. А, следовательно, приведёт к пустому полю. Но это другой путь.
Доказательство можно провести аналогично предыдущему решению на основании принципа суперпозиции одинаковых по размеру матриц и правила чётности при сложении.
Проверим на примере с чётными и нечётными единицами. На рис. 8 начальное состояние матрицы. Серым обозначены пять нечётных (по циклу нажатия единиц) ячеек, на которые надо нажать. Стрелки указывают на состояния после нажатия (нажатая ячейка отмечена серым).
См. рис. 8
Матрица действительно обнуляется одним циклом нажатий.
Сформулируем открытый принцип:
Независимо от начального расположения единиц метод нечётных ячеек позволяет обнулить матрицу за один цикл.
Соответственно, метод нечётных ячеек:
Нечётность каждой ячейки определяется числом единиц в строке и столбце ячейки, учитываемом однократно.
Отмечаются все нечётные единицы.
Отмечаются все нечётные нули.
Запоминаются отмеченные поля – это шифр к разгадке.
Проводится цикл нажатий в соответствии с шифром.
Результат: матрица будет обнулена. Если действовать точно по инструкции – никогда не будет сбоя. Матрица чётко отработает заложенный в ней принцип.
Теперь попробуем для пустой матрицы задать начальную схему единиц, не отменяя правило матрицы «Одно нажатие – семь переворотов». Предположим, что нам надо задать схему с двумя диагональными единицами в центре матрицы. На реальной пустой матрице отметим (серым цветом) соответствующие схеме все нечётные единицы и все начётные нули. Выполним цикл нажатий. Результат: на пустом поле наши две единицы в нужных местах.
См. рис. 9
Есть третье решение. Есть принцип и реализующий его метод. И это самый короткий путь. Метод универсальный. Он позволяет, и обнулять матрицу, и задавать нужную начальную схему. В систему знаний можно добавить принцип суперпозиции, если ранее его там не было.
Загадка матрицы раскрыта. Дело «полосатого слона» закрыто. Можно приветливо помахать удаляющимся в туманную даль мудрецам.