Марк Иванович Сканави, известный преподаватель математики, целую лекцию посвятил трем концентрическим окружностям и попросил всех студентов самостоятельно найти треугольник, площадь которого самая-самая большая. На рисунке такой треугольник как раз изображен. Я тогда, в 1968 году с задачей не справился. Более того - даже не понял решения, которое Марк Иванович на следующей лекции показал. Ну, не понял и не понял. Каждый многое чего в жизни не понимает. И не умирает же от этого.
Но вот недавно мне стукнуло 70. И я вдруг вспомнил об этой задаче. Просто масса времени оказалось и захотелось пошевелить хотя бы мозгами. Прошелся по ссылкам в инете. Нашел только одну статейку, где говорилось, что центр окружностей непременно совпадает с ортоцентром искомого наибольшего треугольника. Сходу эту глубокую мысль, конечно же, не уловил. Принялся чертить круги, пытался нащупать чисто эмпирически форму и положение максимальной по площади фигуры. Бумаги испортил много, но толку оказалось мало.
Запустил эту задачу на математический форум. Но ответы ждал не глядя в потолок, а взявшись за квадратичные формулы окружностей и линейные формулы отрезков. Когда печь растапливается, потом ее остановить трудно. Так и с интересной задачей. Понял, что пришла пора применять мой излюбленный метод Монте Карло. То есть случайно менять параметры вершин треугольника, скользящих по трем окружностям. Делал не чисто геометрически, а аналитически в декартовой системе координат. На рисунке она тоже видна. Начало осей совместил с центром окружностей и догадался уложить самую удаленную вершину треугольника на горизонтальную ось ОХ. В точку пересечения этой оси с наибольшей окружностью. Начало положено. Начало - всегда самое важное. Ведь сначала было Слово. А потом как попрыгали пташки, зверьки и папуасы... .
У меня тоже попрыгали идеи. Запустив программу, с удивлением обнаружил, что крайняя левая сторона самого большого треугольника всегда вертикальна! Это просто ошеломило! Никогда о таком не слышал, не знал и не ведал. А в молодости, повторюсь, - не понял. Подумал, что где-то накосячил. Со всех сторон проверил, просчитал, обмерил. Все оказалось верно. Треугольник действительно имел самую большую площадь. Вертикаль на порядок облегчила нахождение недостающих параметров. Было делом техники, которой я владел уже в совершенстве! Все свелось к решению хотя и простенького, но полинома четвертой степени. Интернетный Альфа-Вольфрам справляется с решением в общем виде, но конечная формула настолько длинная, что даже говорить о ней стыдно. Правильным было мое решение искать ответ численными методами. Один из них - уже упомянутый Монте Карло, но намного короче использовать метод итерации Ньютона. Буквально несколько циклов прокрутки дают точность свыше десяти цифр после запятой. Такая точность даже для геодезистов избыточна.
Сейчас второе мая. Всю ночь бился над формулой для координаты x1. И абсолютно точная формула вывелась! Она настолько прекрасна, что есть смысл ее отлить в граните. В самом низу рисунка. Смотрите и удивляйтесь!
В этой удивительно красивой задаче обнаружены и целочисленные решения! Вот дюжина вариантов - золотая дюжина:
.....S........a........b........c....r1...r2...r3.....x1
----------------------------------------------------
12480.. 156 164 200 45 123 133 -27
31878.. 253 260 315 80 195 204 -48
271830 697 788 975 140 591 696 -84
120750 460 555 595 204 296 429 -96
351540 744 975 1071 272 520 817 -128
481140 891 1125 1224 357 600 912 -168
377454 817 1001 1020 425 468 744 -180
416640 868 1040 1068 445 507 765 -195
396060 943. 952. 975 520 561 576 -264
754110 1197 1365 1428 595 728 980 -280
667590 1156 1275 1309 612 680 867 -288
735000 1225 1335 1360 663 712 888 -312
На форуме коллеги почти одновременно со мной дали геометрические решения. С использованием тригонометрических функций. Они и показали, что ортоцентр треугольника действительно совпадает с центром окружностей. Спустя полвека, я наконец-то и это понял, и мысленно вспомнил все встречи с Марком Ивановичем Сканави. Великий был человек!
1 мая 2020 г.