19 октября 2011 я слушал на семинаре Иосифа Красильщика в Независимом Университете великолепный доклад Павла Бибикова
о дифференциальных инвариантах гиперповерхностей в проективном пространстве.
Оказывается, классическую задачу об инвариантах алгебраических гиперповерхностей в проективном пространстве очень хорошо решать таким образом:
получать эти инварианты как инварианты джетов гиперповерхностей.
Преимущество такого подхода состоит в том, что инварианты джетов образуют не просто кольцо, а дифференциальное кольцо.
Ответ такой: поле инвариантов джетов гиперповерхностей порождено
инвариантами 2-джетов,
инвариантами 3-джетов
и инвариантными производными (всех порядков) инвариантов 3-джетов.
Кратко (если я правильно понял и восстановил детали) задача решается так.
Сперва рассмотрим джеты функций (перейти от них к джетам гиперповерхностей можно понятным образом).
Аффинная структура позволяет инвариантным образом по функции построить симметричные тензоры - ее кратные дифференциалы;
обратим 2-ой дифференциал (гессиан) и,
сворачивая его с произведениями остальных кратных дифференциалов, получим скалярные инварианты;
из 1-го дифференциала получим инвариантный вектор;
из 3-го и 1-го получим квадратичную форму, т.е. эндоморфизм,
применяя его к вектору, получим базис из инвариантных векторов.
(Чтобы всё это проделать, надо выбросить нигде не плотное подмножество джетов.)
На проективном пространстве аффинной структуры нет, но есть проективная, т.е. класс проективно эквивалентных аффинных.
Все вышеописанные тензоры меняются при замене аффинной структуры на проективно эквивалентную,
но их сужение на касательную (к нулю функции) гиперплоскость - не зависят!
Видимо, этих сужений окажется достаточно, когда мы перейдем от джетов функций к джетам гиперповерхностей.
(Опубликовано в ЖЖ 20.11.2011)