Вообще говоря, в математике считается, что «тензор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого». Или «тензор – это математический объект, который как объект не зависит от смены системы координат, но его компоненты при смене системы координат преобразуются по определенному математическому закону»
Очевидно, и в том, и в другом определениях считается, что частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т.п. Вряд ли составляющие тензора, которыми являются скаляр, комплекс и вектор, можно назвать частными случаями, поскольку они являются его частью.
Здесь, очевидно, следует уточнить природу математических объектов. С одной стороны, меньшие образовывают большие, а большие распадаются на меньшие. Видимо, это не одно и то же. Два скаляра образуют комплекс, три комплекса – вектор, четыре вектора – тензор. А распадаются они в обратной последовательности. Поэтому, говорить о том, что меньшие являются частным случаем больших, вряд ли обоснованно.
В этом случае следует четко различать природу полей. Если монады, диады, триады и тетрады единичные элементы однородных множеств, то это скалярные поля, а если поля неоднородны и сами имеют форму таких образований, то они называются либо комплексными, либо векторными, либо тензорными полями и могут содержать от двух до десяти скалярных полей по числу их элементов.
Так, что же является отличительной особенностью тензора? Неизменяемость объекта при смене координат? Да. Инвариант? Да. Что же еще? Попробуем начать с самого простого.
У человека существует оптимальное соотношение энергетических параметров. Отклонение любого из них от оптимума вызывает, мягко говоря, дискомфорт. Такие отклонения вызваны тем, что окружающая энергетическая среда не всегда соответствует оптимуму человека. Поэтому человек вынужден вырабатывать недостающее количество соответствующих видов энергии. Для ее выработки расходуется определенное количество ресурсов, а их запасы ограничены. Это инвариант? В какой-то мере, да, но это лучше назвать константой.
Измеряются несколько параметров какого-то ресурса. Что нужно сделать, чтобы значения параметров были сопоставимы? Надо выбрать одинаковую шкалу измерения каждого параметра по его предельному значению и приравнять их единице. Тогда измеряемые значения параметров будут сопоставимы в относительных единицах. Предельные значения параметров не изменяются независимо от того, какой параметр измеряется. Это инвариант? В принципе, да, но это все-таки пределы. Они обеспечивают сопоставимость параметров.
Общеизвестный инвариант – это вектор, который не изменяется при перемене системы координат. Однако существует еще одна постоянная величина, на которую мало кто обращает внимание. Это – подобие объектов, когда изменяются размеры, но происходящие процессы остаются неизменными. Одна из схем подобия показана на рисунке.
Речь идет прежде всего о видах энергии, где при преобразованиях энергоносители изменяются в размерах, но процессы подобны. Такое же подобие имеет место среди галактик, атомов и биоорганизмов, а также в процессе сознательной деятельности.
Следовательно, в тензорах существуют в качестве постоянных величин константы, пределы, инварианты и параметры подобия.
#тензор, #вектор, #комплекс, #скаляр, #константа, #предел, #инвариант, #подобие.