Математическое решение проблемы бесконечности

ШУРАНОВ Б.М.

(кандидат философских наук по специальности 09.00.07 – логика)

filosof-shuranov@yandex.ru


МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ
(НА КОНЦЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ)



В своих работах автор не раз затрагивал проблему бесконечности; (его библиографию смотри в: [1 (источник в бумажном виде малодоступен); 2; 3]). Её трудно чётко сформулировать по той причине, что та логическая обстановка, в которой появляется понятие бесконечности в логике и математике (а сама идея бесконечности имеет тот же возраст, что и человеческий разум) представляет собой совокупность взятых из жизни практических представлений, которые можно разъяснить лишь на примерах. Сначала были понятия единицы и сложения. Из них образовался ряд натуральных чисел (N), который сейчас имеет вид:

N = 0, 1, 2, …, n, ... (где n – произвольное конечное число).

Работая с числами этого ряда, люди открыли, что он бесконечен. Так начался этап математического изучения проблемы бесконечности, к которому впоследствии присоединилась и логика. А N стал основной моделью бесконечности, каковой он и остаётся по сегодняшний день.
А в чём собственно состоит проблема бесконечности - что непонятно? Непонятно значение многоточия (" … "), которое всегда ставится с правого края N. Ответьте: что должно быть на правом краю ряда?
Какие ответы на вышеприведённый вопрос мы сейчас имеем:
1. Если N рассматривать как ряд потенциально-бесконечный, то на конце него будет всегда какое-то конечное число, но к этому числу можно добавить ещё единицу (1) и получить следующее конечное число… и так до бесконечности. – Но это не ответ, а тавтология. Ряд, построение которого не кончается никогда, содержит бесконечность в слове "никогда".
2. Если N рассматривать как ряд актуально-бесконечный и вполне упорядоченный по возрастанию, то последнего числа в этом ряду просто не будет, то есть, наибольшего конечного числа не существует; но зато весь этот ряд конечных чисел будет существовать как одно целое множество. – Но каким же будет наибольшее из существующих конечных чисел, на каком числе их существование обрывается? Для математической теории множеств догматическое утверждение об отсутствии наибольшего конечного члена N является необходимым, поскольку на этом строятся основные понятия этой теории. Такова её особенность: отсутствие знания о замыкающих правых членах N признаётся за отсутствие самих этих членов. Вместо указания на последние члены ряда N (непосредственных предшественников ;) предлагается перейти к началу следующего ряда, к новому "трансфинитному" числу w, которое не входит в N:

0, 1, 2, п, …
w, w + 1,  w + 2,   w + n  …
2w, 2w + 1, 2w + 2, 2w + n …

w, 2 в степени w, 3 в степени w, …,  - процесс "нагромождения бесконечностей" никогда не закончится.
Теория множеств не даёт решения проблемы бесконечности по существу, но она даёт другое очень важное понимание. После введения наименьшего трансфинитного числа w обозначилась "верхняя" граница поиска конца натурального ряда N. Стало ясно, что по уровню обобщения, по степени абстрактности искомые члены конца натурального ряда должны находиться где-то посередине между конечными числами и трансфинитным числом w. При этом, конечно же, они  должны являться непосредственными предшественниками w.
Вот, собственно, и всё, что смогла сделать математика для понимания проблемы бесконечности. Но надо отметить и ещё некоторые достижения:
1. Принцип равномощности бесконечного множества своему правильному подмножеству.
2. Выработка понятия "несобственных элементов": евклидова плоскость пополняется "несобственными (бесконечно удалёнными) точками" (в которых пересекаются параллельные прямые), ряд N пополняется "несобственными" трансфинитными" числами (0, 1, 2, … n, …, w, w + 1, w + 2, …), а ряд действительных чисел пополняется "несобственными" членами: - w и + w, и тому подобное. Вообще, закрепилось представление о том, что, как советовал Н.Н. Лузин, исходить надо из того, что есть предельное число, не включённое во множество тех чисел, пределом которых оно является. В результате "обрыв", выраженный многоточием справа: 0, 1, 2, …, n, ... , превратился в "пропасть": 0, 1, 2, …, n, ... w.
Проблема бесконечности остаётся нерешённой, и внешне это находит выражение в том, что в различных теориях переход от конечного к бесконечному, от одних типов или мощностей к другим осуществляется всегда "скачками", переходами через "пределы" и тому подобное. Анализа этих скачков и переходов нет.
Предлагая своё решение, мы отталкиваемся от уже достигнутых результатов. В общем виде они представляют собой следующее:
1. Разделение бесконечности на потенциальную и актуальную означает, что в понятие бесконечности входят модальности: потенциал – это возможность, а актуал – это действительность.
2. Чёткий разрыв ("пропасть") между финитными и трансфинитными числами означает, что большое значение в проблеме бесконечности имеет умение отмечать степени абстрактности (уровень обобщения) понятий. Мы принимаем, что конечное – это менее абстрактное, а бесконечное – это более абстрактное понятия.
3. За основу мы берём натуральный ряд чисел в виде: N = 0, 1, 2, …, n, ... Как модель бесконечности этот ряд несовершенен, но лучшей модели ещё не предложено. Наша критика N должна восприниматься не как критика самого ряда N, а как критика той модели бесконечности, в качестве которой он используется.
Решение проблемы мы видим на таком пути: исходный ряд N надо усилить модальностями и более тонко разделить все объекты ряда по уровням их обобщения. Тогда, как мы ожидаем, и должны в ряду N проявиться некоторые объекты, которые в нём существуют, но остаются необнаруженными из-за того, что N недостаточно модализирован и разделён по степеням обобщения.


1

Заранее покажем, как будет выглядеть усовершенствованный ряд N (IЪ):
IЪ = <0, 0, 1, 2, …, к, …, Ъ – 1, Ъ, Ь, Б>
а далее безо всяких скачков после Б непосредственно идёт трансфинитное число w. Комментарии ниже.
Алфавит:
Цифры: _0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Буквы: Ъ, Ь, Б.
Переменные: к.
Знаки вспомогательные: " , " (запятая), " > , < ", " ] , [ ", (скобки),  "      " (пробел).
Грамматика:
1. Из цифр алфавита получаются обозначения для чисел таким же самым образом, как в арифметике (об _0 - ниже).
2. Скобки < … > обозначают, что члены ряда вполне упорядочены по возрастанию. (Тогда, когда это возможно, мы их будем опускать.)
Классификация чисел:
1. ЦИФРОВЫЕ ЧИСЛА (выразимые в цифрах, конкретные).
1.1. Пустые: _0, 0.
1.2. Конечные: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, к.
2. БУКВЕННЫЕ (невыразимые в цифрах, абстрактные).
2.0. Бесконечные: Ъ, Ь, Б.
!Примечание: тогда, когда появляется необходимость использовать только символы, набираемые с клавиатуры, используйте вместо буквы ять «IЪ» - символ « IЪ », а вместо «w» букву «w».
Процесс прибавления единицы можно представить как выражение одного числа через другие:
<…> = 0; <0> = 1; <0, 1> = 2; <0, 1, 2> = 3; <0, 1, 2, 3> = 4 …
Почти все числа из ряда ; проходят при своём построении через такие позиции:
<позиция реальности, [позиция модальности]> = позиция ввода.
В позициях ввода и модальности может находиться только одно число, а в позиции реальности – сколько угодно.
Теперь мы выпишем по очереди все числа из ряда IЪ и познакомимся с каждым из них.

|…| = _0- преднуль. Это более сильный нуль по сравнению с последующим числом 0. Это число модальное. Его смысл состоит в том, что оно не только показывает отсутствие числа, но и означает отсутствие возможности для его существования. Вот несколько возможных смыслов пустой группы чисел: Нулю предшествует пустота в ;, а преднулю вообще ничего не предшествует, даже пустота, поскольку он ей самой и является. 0 может что-то содержать, но не содержит, как пустой спичечный коробок, а _0 не только ничего не содержит, но и не может содержать ничего, как пустой спичечный коробок, но только раздавленный. Важнейшие свойства преднуля:
- К _0 нельзя прибавить 1, но к _0 можно прибавить возможность прибавления единицы (1).
- _0 + 0 = 0.
- _0 не может рассматриваться как некоторое подмножество чего бы то ни было. – Это обстоятельство мы обозначаем: |…| = _0.
В ряд ; преднуль вводится как аксиома. С него начинается ряд. У |…| = _0 есть позиция ввода, в которой находится 0, но нет позиций реальности и модальности (смысл: не может ничего).

<[…]> = 0 – нуль. Получается из _0 в результате прибавления к _0 возможности прирастать на 1. Поэтому к 0 уже можно прибавлять 1. Имеет такие же арифметические свойства, как 0 из обычной арифметики. Обладает свойством быть подмножеством. В теории множеств нулю соответствует пустое множество - ;. В ; нуль вводится следующим образом:

|…| =    _0    (преднуль)
<[…]> = 0

В <[…]> = 0 есть позиция ввода, в которой находится 0, и есть позиция модальности (которая означает возможность прибавления единицы), но позиция модальности пустая, в ней ничего нет; позиция реальности в фигуре <[…]> = 0 отсутствует.
_0 и 0 образуют пустую группу цифровых чисел.

Все конечные числа вводятся по следующему общему правилу:

<0, …, к – 2, [к – 1]> = к
__________________________________
<0, …, к – 2, к – 1, [к]> = к + 1,

где к – переменная для обозначения произвольного конечного числа. В посылке правила к занимает позицию ввода,  к – 1 – позицию модальности, а числа от 0 до к – 2 занимают позицию реальности. В заключении правила к смещается в позицию модальности, в позиции ввода появляется к + 1, а к – 1 сдвигается в позицию реальности.

<[0]> = 1 – один. У единицы есть позиция ввода, в которой стоит 1, есть позиция модальности, в которой стоит 0, но нет ещё позиции реальности.

<0, [1]> = 2 – два. У двойки есть позиции ввода, модальности, реальности.
Конечных чисел по такому принципу можно построить сколько угодно.

Начнём изучать буквенные числа.
Напомним, что мы рассматриваем IЪ как такой ряд, который стремится к весьма абстрактному числу w. ; упорядочен по возрастанию. Из этого следует, что каждое последующее число в IЪ является более абстрактным, чем предшествующее, но только в очень незначительной степени (если в качестве модели бесконечности берётся ряд N, то тогда эти различия в уровнях абстрактности вообще не учитываются). Относительная конкретность конечных чисел проявляется в возможности выражения их цифрами. Но в логике есть и правило обобщения. И, не нарушая никаких законов логики, мы можем утверждать, что должно где-то в IЪ появиться такое число, которое можно будет понимать и как конечное, и как бесконечное, но в цифрах выразить его уже будет нельзя.

<0, …, [к]> = Ъ – ер, потенциально-бесконечное число. Вводится по правилу:

<0, …, [к]> = к + Общ:1
__________________________
0, …, [к]> = Ъ

Где «Общ:» - операция обобщения. Ъ – это численное выражение крайнего правого места в ряду конечных чисел. Ъ = к + Общ:1.
Из определения Ъ следует, что это обобщение можно сделать в любом месте (где находится число к) конечной группы чисел ряда IЪ, но вот только основания для совершения такого обобщения будут тем больше, чем больше будет конечное число Ъ – 1 (выразимое в цифрах).
Принципиально важным в определении Ъ является то, что оно обобщает не числа, а то место, которое ими занимается. А такое место всегда при построении конечных чисел существует, без этого места конечные числа вообще невозможны. Следовательно, введение Ъ в IЪ необходимо – Ъ как бы обозначает это место.
Смысл Ъ = к + Общ:1: В Ъ = 10 + Общ:1 обобщается не число 11, а крайне правая позиция, которая следует за числом 10. Это же позиция обобщается и для Ъ = 11 + Общ:1, и для Ъ = 12 + Общ:1.
Выражение « + 1» обозначает крайне правую позицию в IЪ.
У Ъ есть признаки как конечного, так и бесконечного. Из того, что Ъ должно быть крайне правым в ряду конечных чисел (единиц), ещё не следует, что Ъ должно быть самым правым вообще. Ъ это переходное число от конечности к бесконечности. Прибавить единицу к Ъ уже нельзя, а вот поставить после него некоторое другое бесконечное число, выразимое буквой (а не цифрой), можно вполне. Ъ одновременно закрывает собой последовательность конечных чисел и открывает группу бесконечных.
Вместе с Ъ в IЪ вводится потенциал, создаётся бесконечная возможность.
Очень важно добавить, что правило Общ: обобщает не только конечные числа, но ещё и возможность прибавления 1, которая сидит в каждом конечном числе. Поэтому в потенциале Ъ будет находиться актуально-бесконечное количество конечных чисел, и вдобавок к нему отдельно ещё будет находиться возможность прибавления 1.
Появление буквенных чисел обнаруживает и другое: между финитными и трансфинитными числами нет "пропасти" – переход от одних к другим происходит без скачков, все смысловые промежутки заполняются.
В доказательство существования первого бесконечного числа Ъ можно высказать ещё несколько соображений: Ъ – 1 < Ъ; Ъ – 1 это конечное число, выразимое цифрой. То, что Ъ – 1 это конечное число, выразимое цифрой, надо обосновать. – Ъ это к + Общ:1. Оператор Общ: снимаем: к + 1. Видно, что к это непосредственный предшественник для к + 1. (к + 1) – 1 = к. Ъ = к + Общ:1 получается из к + 1. Значит, к это непосредственный предшественник для Ъ и существует Ъ – 1.
Чему равно Ъ – 1? Для ответа на этот вопрос надо знать, чему равно Ъ. А Ъ невыразимо в цифрах (Ъ это буква). Буква более абстрактна, чем цифра, поэтому выразить результат операции Ъ – 1 в цифрах невозможно.
Но можно ли, вычитая из Ъ единицу, прийти к нулю? Нет, ибо для этого надо выразить Ъ в цифрах, а в цифрах Ъ невыразимо, поскольку Ъ – это обобщённое выражение того числа, которое находится на крайнем месте справа, а не само это число. Следовательно, Ъ бесконечно: мы можем сколько угодно вычитать из Ъ единицу (Ъ – 1 – 1 – 1 …), но это вычитание никогда не кончится – к нулю мы не придём (а вычитая из любого конечного числа к единицу, мы обязательно должны прийти к нулю).
Мы доказали важную вещь: бесконечный потенциал сосредоточен в числе Ъ.
С конечными числами Ъ сближает то, что Ъ образуется путём прибавления единицы (получается из к + 1), а с бесконечными то, что путём вычитания из Ъ единиц мы не получим в конце нуль. Почему же так происходит?
В чём разница между Ъ – 1 и Ъ? В том, что к Ъ – 1 можно прибавить 1, а к Ъ уже нельзя! Пока мы не обобщаем какое-то крайнее справа число к, к этому конкретному к можно прибавить 1 (поскольку 1 – это конкретное число), ибо мы точно знаем, чему это к равно. Например: к = 458 546, к = 145 879 123 584, к = 10. Но после обобщения крайней правой позиции конечных чисел, мы уже не можем точно знать, чему равно Ъ, поэтому мы и не знаем, чему равно Ъ - 1, и не можем досчитаться от Ъ до 0, вычитая из Ъ единицу.
Переход от конечного к бесконечному – это обобщение конечного, а не отрицание конечного.
Прибавлять единицу можно только к конечным числам к, поскольку единица это конкретное число и к – это тоже конкретное число. 200 + 1 = 201, если к = 200.
Конечность и бесконечность это не рядоположенные понятия по степени общности, бесконечность более абстрактна, чем конечность. Значит, нельзя говорить, что бесконечное отрицает конечное. Противопоставление конечности и бесконечности является логической ошибкой, оно создаёт неразрешимую проблему бесконечности.

|0 … [Ъ]| = Ь – ерик, предбесконечное число. Вводится по правилу:

<0, …, [Ъ – 1]> = Ъ
______________________
|0, …, Ъ – 1, [Ъ]| = Ь

Ь – это численное выражение промежуточного места в ряду IЪ.
Объяснение: именно все числа, существующие в Ь, имеют позади себя предшествующие места и сами занимают предшествующее место каждое; и само Ь занимает предшествующее место и имеет слева от себя место. «Именно все» означает, что Ь это абстракт, буквенное число, образованное в результате обобщения промежуточного места в IЪ, совершенно подобно тому, как Ъ это есть численное выражение крайнего правого места в ряду конечных чисел.
_0 не входит в Ь, так как только занимает предшествующее место по отношению к 0, но не имеет слева от себя другого места. Б имеет место слева от себя, но является последним и не занимает предшествующего места.
В модализированном раду IЪ потенциал не может непосредственно перейти в актуал; чтобы превратиться в актуал, потенциал сперва должен получить возможность реализации, а только потом уже реализовать эту полученную возможность. Возможность реализации занимает промежуточное положение между потенциалом и актуалом – значит число, которое является численным выражением промежуточного места, будет создавать такую возможность.
Число Ь имеет немало общего с _0. Преднуль создаёт возможность прибавления единицы и наделяет этой возможностью следующее за ним число 0. Бесконечный потенциал создаётся числом Ъ; а число Ь создаёт возможность для реализации этого бесконечного потенциала и передаёт эту возможность непосредственно следующему за ним числу Б.
В группе бесконечных чисел – где не существует единиц – роль единицы играет бесконечный потенциал.
Ъ – создаёт бесконечный потенциал.
Ь – создаёт возможность реализации бесконечного потенциала и передаёт её направо (подобно операции прибавления единицы). Можно ещё сказать, что Ь усиливает этот потенциал.
Б – реализует бесконечный потенциал.
Ь уже не имеет сходства с конечными числами. Ь это строго бесконечное число.
По определению, Ь можно мыслить как нечто промежуточное; такое, что не имеет никаких пределов, границ; не имеет ничего внешнего, а имеет только внутреннее – значит, уже по определению, Ь это не множество и не совокупность. Можно представить себе Ь как что-то такое бесконечное, что уже наполнилось само собой и более уже не прирастает. (Рост происходит по краям, а краёв у Ь нет.) Но это нечто представлено одними только элементами; оно не может оформиться в некоторую совокупность или множество, так как для множества или совокупности требуется наличие каких-то внешних отношений или границ (а будучи промежуточным по природе, Ь не может их иметь). Значит, Ь не может включаться в более обширное множество в качестве его подмножества. Поэтому вместо скобок "> , <" мы употребляем скобки "| , |", как у |…| = _0. А про элементы, образующие Ь, нельзя сказать, что они включаются в Ь, как элементы включаются во множество. Будем говорить, что эти элементы просто существуют в Ь, но не включаются в него.
Ь это что-то среднее между потенциальной и актуальной бесконечностью: с одной стороны, Ь сохраняет в себе потенциал бесконечного роста (ибо |0, …, [Ъ]| = Ь, где Ъ – потенциально-бесконечное число), а, с другой стороны, Ь по определению, не имеет краёв, и, значит, рост Ъ невозможен уже, поскольку рост идёт от края.
Наличие Ь говорит об ошибочности жёсткого противопоставления актуальной и потенциальной разновидностей бесконечности. Противоположность между ними весьма условна.

<0, …, Ъ, […]> = Б – бэ, актуально-бесконечное число.
Принципиальное значение имеет то правило, по которому вводится Б:

|0, …, Ъ – 1, [Ъ]| = Ь
_________________________
<0, …, Ъ – 1, Ъ, […]> = Б

В посылке этого правила Ь занимает позицию ввода; позицию модальности занимает Ъ, а позицию реальности занимают числа от 0 до Ъ – 1 включительно. Ъ – это число модализированное – в нем содержится бесконечный потенциал – и поэтому, находясь в позиции модальности, оно должно оставаться самим собой или усиливаться. Позиция модальности адекватна природе Ъ. Реализация потенциала в позиции модальности невозможна.
В заключении этого правила мы видим, что Б стоит на позиции ввода, позиция модальности существует, но она пустая. Вернёмся в самое начало IЪ, и мы увидим то же самое при вводе _0. Появление пустоты в позиции модальности, как при вводе _0, так и при вводе Б является следствием того, что числа _0 и Ь, соответственно, не имеют свойства образовывать собой какие-либо подмножества. _0 это вообще ничего и отсутствие всякой возможности чем-то быть, а Ь это существующие элементы, которые никакой совокупности не образуют (ибо совокупность предполагает наличие нечто внешнего, крайнего, а Ь по своему определению представляет собой только лишь промежуточное, внутреннее). Поэтому в выражении <0, …, Ъ – 1, Ъ, […]> = Б все эти элементы из Ь перешли в позицию реальности, а само Ь (наподобие _0) не смогло занять позицию модальности - и в позиции модальности образовалась пустота.
Б – это численное выражение того места в IЪ, на котором числа занимают позицию реальности и реализуют свои возможности.
0 реализует свою возможность прибавлять к себе 1, а Б реализует бесконечный потенциал, который заключён в числе Ъ.
Не случайны такие параллели:
_0 создаёт возможность прибавления 1.
Ь создаёт возможность реализации бесконечного потенциала.
0 реализует возможность прибавления 1.
Б реализует возможность реализации бесконечного потенциала.
Уже из самого определения Б следует, что Б может быть только актуально-бесконечным числом. После реализации бесконечного потенциала все модальности будут реализованы, а сам этот потенциал превратится в актуал – в актуально-бесконечное множество.
Как именно происходит реализация бесконечного потенциала и почему? – Потенциал это понятие модальное. Актуал это понятие реальное. Бесконечный потенциал заключён в потенциально-бесконечном числе Ъ. В предбесконечном числе |0, …, Ъ – 1, [Ъ]| = Ь Ъ находится в позиции модальности, которая адекватна природе самого потенциала. Поэтому предбесконечное число Ь только усиливает бесконечный потенциал и только создаёт возможность его реализации, но не может его реализовать. А вот в актуально-бесконечном числе <0, …, Ъ – 1, Ъ, […]> = Б мы видим, что число Ъ, в котором заключён бесконечный потенциал, передвинулось на позицию реальности. В числе Б бесконечный потенциал уже занимает позицию, которая не только не адекватна самой природе потенциала, а несовместима с его природой.
Если модальное понятие попадает в позицию реальности, то оно должно реализоваться, то есть, утратить модальность и стать реальностью. В нашем случае это означает, что в позиции реальности потенциал превращается в актуал – потенциальная бесконечность превращается в актуальную бесконечность.
В потенциале заключены все конечные числа и ещё в потенциале заключена возможность добавления 1, значит, после того, как исчезнет число Ъ, на его месте должны возникнуть числа <0, 1, 2, …, к, …, […]> – так будет выглядеть Б после реализации Ъ. То, что оказалось в позиции реальности, точно соответствует натуральному ряду N. <N, […]> = Б.
Но полностью Ъ не сможет реализоваться в позиции реальности, ибо в <0, 1, 2, …, к, … > присутствует многоточие, означающее возможность добавления 1, на правом крае, которое содержит в себе признаки потенциала. А это значит, что многоточие надо перенести с позиции реальности в позицию модальности, так как с позицией реальности понятие потенциала несовместимо! Вместо Б =  <0, 1, 2, …, к, …, […]> надо: Б = <0, 1, 2, …, к, […]>.
Автору был задан вопрос: если <0, 1, 2, …, к, …, […]> = Б – так будет в неправильной записи выглядеть Б после реализации Ъ, то возможно ли продолжение бесконечности типа: <0, 1, 2, …, к, к + 1, к + 2, … […]> = Б. Ответ: это совершенно невозможно. Причина вот в чём. Продолжение бесконечности невозможно без наличия потенциала. В позиции реальности происходит реализация всех чисел, которые содержались в потенциале (а этих чисел бесконечное количество), + сама возможность добавления 1. Но возможность + 1 неадекватна позиции реальности. Поэтому после реализации потенциала в позиции реальности остаётся только бесконечное количество чисел, которое уже не может возрастать (то есть, актуально-бесконечное количество чисел); а возможность добавления 1 переходит на позицию модальности. Потенциал (за исключением возможности + 1, которая перешла в позицию модальности) превратился в актуал. Актуально бесконечное множество чисел, которое находится в позиции реальности после реализации Ъ, не может уже возрастать по причине отсутствия возможности + 1. Возрастает только потенциал, а актуал не может возрастать. Число конечных чисел в правильной записи позиции реальности <0, 1, 2, …, к, […]> = Б является актуально-бесконечным. Актуально бесконечное множество не возрастает. По этой же самой причине невозможно и прибавление 1 к числу Б – к актуальной бесконечности ничего прибавлять нельзя. Единицы могут добавляться только до введения Ъ, после введения потенциала добавление единиц становится невозможным и потенциальная бесконечность останавливается.
Вновь посмотрим на пустоту (обозначенную многоточием справа) на конце N. Опять возникла "пропасть" или "неизвестно что"? Да, это пустота, но только совсем не такая пустота, какая в N. Обратите внимание: в каком положении находится многоточие справа в <0, 1, 2, …, к, […]> = Б. Многоточие находится в позиции модальности! А пустота в позиции модальности означает возможность прибавления единицы к 0. Сравни с 0: <[…]> = 0, эта запись означает, что преднуль передал нулю способность прибавлять единицу и 0 теперь должен реализовать полученную возможность и прибавить к себе 1. Такой же точно смысл имеет и пустота в позиции модальности в записи <0, 1, 2, …, к, […]> = Б.
В принципе это означает, что после реализации потенциала число Б должно превратиться в некое подобие нуля: <0, 1, 2, …, к, […]> = 0. Но такого быть не может, поскольку ряд IЪ упорядочен по возрастанию.
Значит, должно появиться некое новое число, подобное 0, большее Б и имеющее возможность прибавлять к 0 от себя справа 1. Мы знаем такое число; оно уже существует в математике: это наименьшее трансфинитное число w = (w + 0). В записи «w + 0» «+ 0» означает возможность прибавления 1, поскольку непосредственно к w прибавлять ничего нельзя, так как число w бесконечно-актуально; 1 прибавляется к 0, а не к w. Мы имеем в результате:

<0, …, Ъ, […]> = Б
<0, …, к, […]> = w + 0

И далее, как всегда: w + 1, w + 2, w + 3, …

Б + _0 = w +0

Задаётся вопрос: что находится между Б и w? Почему именно на преднуль (_0) число Б должно быть < , чем число w?
Ответ содержится в фигуре <0, 1, 2,…, к, […]> = w + 0, которая образовалась из фигуры <0, 1, 2, …, к, […]> = Б. Как было показано выше, пустота в позиции модальности соответствует числу _0. Этот 0 сообщает Б возможность добавления 1, но Б не может реализовать эту возможность, поскольку число Б актуально бесконечно и не может возрастать. Поэтому вместо того, чтобы Б + 1 имеет место превращение Б в w + 0. Актуальная бесконечность чисел из Б переходит в w, а возможность прибавления 1 выражается в появлении «+ 0». Разница между Б и w + 0 состоит в том, что к w + 0 можно прибавить 1, а к Б 1 прибавить нельзя. Другими словами, различие между w + 0 и Б состоит в наличии/отсутствии возможности прибавления 1 - а такой возможности соответствует только число _0. Поэтому, именно _0 должен выражать различие между Б и w = (w + 0), а, значит, Б отличается от w = (w + 0) на _0. Отсюда вытекает Б + _0 = w + 0 и между Б и w + 0 находится число _0.
Сравним ещё раз IЪ и N:
N = <0, 1, 2, …, n, ...> w.
IЪ = <_0, 0, 1, 2, …, к, …, Ъ – 1, Ъ, Ь, Б> w + 0.
Пустота на правом крае N (если её рассматривать в чистом виде) представляет собой 0. Метафора: 0 это пустая коробка, в которую можно ложить что угодно. Отсюда следует, что эта пустота должна всё время заполняться – бесконечность никогда не кончится. У числа w нет непосредственного предшественника. Переход от n к w осуществляется логически не обоснованным скачком. Проблема бесконечности создаётся.
В IЪ между Б и w стоит _0. Метафора: _0 - это не только пустая коробка, но ещё и раздавленная. Не получится в такую коробку что-нибудь вложить. Наличие _0 между Б и w означает, что Б есть непосредственный предшественник w. Вставить в _0 ничего невозможно. Никаких скачков при переходе от Б к несобственному элементу w нет. Всё происходит max гладко. Но главное: заканчивается бесконечность натурального ряда N:  _0 исключает возможность промежутка между Б и w, в который можно что-нибудь добавить. Бесконечность закончена, но количество чисел осталось бесконечным – проблема бесконечности почти решена.

Заключение: математическое решение проблемы бесконечности (в основном) – это равенство:

Б + _0 = w + 0

Наше исследование ещё не закончено, но нам удалось показать, что можно построить такую модель бесконечности (эта модель – ряд чисел IЪ), которая плавно, безо всяких скачков и разрывов упорядочивает по возрастанию все числа – пустые, конечные, бесконечные и трансфинитные. Вместе с тем, мы ещё раз убедились, что к анализу такого сложного понятия как бесконечность нужно подходить, только используя сильные абстракции и модальности.
На наш взгляд, трансфинитные числа мало что говорят собственно о бесконечности, для её понимания надо изучать бесконечные.
Глава 1 это переработанная статья 2008 года «Заполнение промежутка между финитными и трансфинитными числами: решение проблемы бесконечности» [1, 266]. В то время автору казалось, что самым логически слабым местом математики является понятие предельного перехода – ничем не обоснованные скачки от собственных элементов к несобственным. Поскольку формула Б + _0 = w + 0 этот вопрос закрывает, то можно выдвинуть гипотезу о том, что для любых математических объектов, которые строятся на основе N (а это вся цепочка натуральные --> рациональные --> действительные --> комплексные числа + к ним ещё трансфинитные и прочие) можно обоснованно (с точки зрения логики) использовать переход от собственных элементов к несобственным – достаточно только заменить везде N на IЪ. Справившись, по его собственному мнению, с проблемой бесконечности в такой постановке, автор на 8 лет забросил тему, хотя он понимал ещё тогда, что проблема математической бесконечности шире и не исчерпывается одними предельными переходами.
Поводом, заставившим автора вернуться к доработке математической модели бесконечности IЪ, стало обсуждение этого вопроса на Интернет-ресурсе «Философский штурм» в 2016. Участник этого форума vlopuhin написал тогда автору: «Есть подозрение, что и сам ряд ЯТЬ в логике "высшего порядка" (МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА) будет то же самое что и N со своей логикой, то есть w, w + 1, w + 2, w + 3 тождественно 0, 1, 2, 3..» [4].
Теперь мы предлагаем уже окончательное решение проблемы бесконечности:


2

Напомним, что имеет место нагромождение бесконечностей:
w, 2w, 3w, …, ww, ww + w, …
Вот формулировка проблемы бесконечности для IЪ:
.1. Проверить возможность построения нагромождения бесконечностей в IЪ по аналогии с этим нагромождением в N.
.2. Ответить на вопрос о конце нагромождения бесконечностей в IЪ в случае, если таковое можно будет математически корректно построить.
Вот результаты: Обобщённый ряд IЪ: IЪ-Н.
К вышеприведённому алфавиту добавим ещё одну букву: Н и буквенное бесконечное число Н (нагромождение).
Это ряд IЪ: < _0, 0, 1, 2, …, к, …, Ъ – 1, Ъ, Ь, Б >.
Это обобщённый ряд IЪ-Н: < _0, Н, 1, 2, …, к, …, Ъ – 1, Ъ, Ь, Б>, где Н - «Нагромождение».
Ряд IЪ-Н получается следующим образом:
По формуле Б + _0 = w + 0 из ; получаем:
_0 находится между Б и w + 0, поэтому его нужно поставить в начало IЪ-Н:
|…| = _0 и далее:
<[…]> = w, (w = w + 0)
<[w]> = w + 1
<w, [w + 1]> = w + 2
<w, w + 1, [w + 2]> = w + 3
…
w содержит в себе актуально бесконечное множество чисел из N. Актуальная бесконечность прибавлять к себе дополнительные числа непосредственно не может. Поэтому по ходу построения IЪ-Н число w само по себе не возрастает. А увеличение w на 1 происходит за счёт формирования еще одного такого же потенциала как N,  независимого от предыдущего w. Можно, поэтому, не выписывать постоянно w в позициях w + 1, w + 2, w + 3, …, коль скоро предыдущий бесконечный ряд уже построен. Достаточно w поставить на позицию аналогичную 0 в IЪ, а остальные числа строить аналогично ряду IЪ, но держа в уме то, что ряд IЪ уже построен и после 0 стоит число w.
Но всё же мы один раз покажем в старой нотации, как будет выглядеть  IЪ-Н. Как и в IЪ, обобщаем крайне правое место в ряду конечных чисел, но с учётом того, что сам ряд IЪ уже построен. «Общ:» - операция обобщения. Ъ – это численное выражение крайнего правого места в ряду конечных чисел. Ъ = (w + к) + Общ:1. w и к переходят в потенциал. Различие между Ъ в IЪ и Ъ в IЪ-Н состоит в том, что Ъ в IЪ содержит единственный бесконечный потенциал, а в IЪ-Н Ъ содержит в себе удвоенный бесконечный потенциал, который образовался за счёт присоединения того численного множества, которое перешло в IЪ-Н из Ъ в составе w:
<0, …, [w + к]> = Ъ (образовалось из <0, …, [w + к]> = (w + к) + 1 после
<0, …, [w + к]> = (w + к) + Общ:1).
Далее алгоритм построения IЪ-Н такой же самый, как и IЪ, но только везде (единственный) бесконечный потенциал/актуал из IЪ заменяется на удвоенный бесконечный потенциал/актуал в IЪ-Н.
По формуле Б + _0 = w + 0 будем иметь следующее нагромождение бесконечностей (в новой нотации):

. _0, 0, 1, 2, …, Ъ, Ь, Б. – IЪ: пустой бесконечный актуал (вырожденный случай).
. _0, w, 1, 2, …, Ъ, Ь, Б. - IЪ-Н: единственный бесконечный актуал.
. _0, 2w, 1, 2, …, Ъ, Ь, Б. - IЪ-Н: удвоенный бесконечный актуал.
. _0, 3w, 1, 2, …, Ъ, Ь, Б. - IЪ-Н: утроенный бесконечный актуал …
…
. _0, ww, 1, 2, …, Ъ, Ь, Б. - IЪ-Н…
…

В новой нотации проясняется, что IЪ – это ряд чисел, а IЪ-Н – это ряд рядов типа IЪ. Шаг ряда IЪ-Н: + 1w. Количество «w» в каждом ряде рядов указывает на число ранее построенных рядов IЪ-Н. Мы собирались проверить возможность построения нагромождения бесконечностей в IЪ по аналогии с этим нагромождением в N и получили положительный ответ. Теперь осталось ответить на вопрос о конце нагромождения бесконечностей в IЪ-Н. Чтобы это сделать, давайте уточним, как будут строиться отдельные числа в ряде рядов IЪ-Н.
При построении IЪ-Н числа проходят следующие позиции в каждом из рядов IЪ-Н:
<{позиция нагромождения (Н)}, позиция реальности, [позиция модальности]> = позиция ввода.
В позиции нагромождения собираются все числа, которые образуются по формуле Б + _0 = w + 0. Но для выражения чисел условно считается, что Н это единая одна позиция (подобно 0 в IЪ).
_0 рассматривается как промежуточный элемент между рядами, и потому он не занимает никакой позиции.
< { w } > = 1. w не имеет позиций ввода, модальности, реальности: зачем специально вводить w, если ряд IЪ, который выражается числом w, уже ранее построен; вместо позиции ввода число w сразу занимает позицию нагромождения. 1 не имеет позиции модальности: в этой позиции для 1 нет необходимости, потому что 1 возникает из w + 0 при реализации того потенциала который заключён в «+ 0» - потенциал прибавления 1, который имеется в позиции модальности при введении 1 в IЪ-Н излишен.
< { w }, [ 1 ] > = 2. 2 имеет позицию Н и позицию модальности, позицию реальности 2 не имеет.
< { w }, 1, [ 2 ] > = 3. 3 имеет позицию Н, позицию реальности, позицию модальности.
…
Все остальные числа вплоть до Б строятся аналогично ;.
…
По формуле Б + _0 = w + 0 имеем далее:
_0
< { 2w } > = 1.
< { 2w }, [ 1 ] > = 2.
< { 2w }, 1, [ 2 ] > = 3.
…
Представим позицию нагромождения в виде рада:
w, 2w, 3w, …, ww, …
Аналогично введению числа Ъ в ряд IЪ произведём обобщение позиции нагромождения:

Н = кw + Общ:(w + 0)

В данной формуле обратим внимание на то, что обобщается не только шаг ряда «+ 1w», но и возможность добавления 1 к w, которая выражается в формуле выражением «(w + 0)», при этом 1 занимает место 0.
При таком истолковании, Н получается абстрактным числом, не имеющим цифрового выражения и обладающим смыслом реализации всех возможных переходов от w к следующему w + w. При этом для каждого w все возможности «+ 1» уже исчерпаны. А если для каждого w все возможности «+ 1» уже исчерпаны, то и бесконечность уже не может продолжаться. Бесконечность закончилась.
Но тут и математика заканчивается, это уже граница между математикой и метафизикой – в виде ряда IЪ-Н мы получили математический аналог метафизического понятия бесконечности и построили её математическую модель. Конец бесконечности в этой модели существует – значит, проблема бесконечности решена. Вот решение:

IЪ-Н = < _0, Н, 1, 2, …, к, …, Ъ – 1, Ъ, Ь, Б>

2016


Литература

.1. Шуранов Б.М. Знания по философии и логике. - Ростов-на-Дону: ООО "Медиа-Полис", 2013.
.2. Шуранов Б.М. Знания по философии и логике. - Ростов-на-Дону: ООО "Медиа-Полис", 2013.// Файлообменник. URL: http://yadi.sk/d/3s2qHVwp582sk/ .
.3. Шуранов Б.М. Философ Шуранов Б.М.: сайт. URL: http://filosofshuranov.ru .
.4. Ссылка URL:  Ссылка URL: